Primzahlzwillings-Bi-Kette

In der Zahlentheorie ist eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge eine Primzahlenfolge der Form

(der Ausdruck kommt vom englischen Bi-twin chain bzw. Bitwin chain).[1]

Beispiele

  • Die kleinsten , welche eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 2 generieren (also auf die beiden Paare führen), sind die folgenden:
6, 30, 660, 810, 2130, 2550, 3330, 3390, 5850, 6270, 10530, 33180, 41610, 44130, 53550, 55440, 57330, 63840, 65100, 70380, 70980, 72270, 74100, 74760, 78780, 80670, 81930, 87540, 93240, 102300, 115470, 124770, 133980, 136950, 156420, … (Folge A066388 in OEIS)
  • Die kleinsten Primzahlzwillings-Bi-Ketten der Länge sind die folgenden (dabei ist das Produkt aller Primzahlen bis (Primfakultät)):[2]
kleinste bekannte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge
(Stand: 20. Juni 2017)
Dezimal-
stellen
Entdeckungs-
datum
Entdecker
(also ) --- ---
mit (also ) und --- ---
mit September 1998 Henri Lifchitz
mit bis September 1998 Henri Lifchitz
mit bis Dezember 1998 Jack Brennen
mit bis Dezember 1998 Jack Brennen
mit bis Oktober 1999 Paul Jobling
mit bis Februar 2002 Paul Jobling, Phil Carmody
mit bis Dezember 2008 Jaroslaw Wroblewski
  • Die größten Primzahlzwillings-Bi-Ketten der Länge sind die folgenden:[2]
größte bekannte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge
(Stand: 20. Juni 2017)
Dezimal-
stellen
Entdeckungs-
datum
Entdecker Quelle
September 2016 Tom Greer [3][4][5]
mit und Juni 2017 Oscar Östlin
mit und Juli 2016 Didier Boivin
mit und Februar 2017 Didier Boivin
mit und April 2015 Andrey Balyakin
mit
und
April 2014 Primecoin
mit
und
April 2015 Andrey Balyakin
mit
und
Dezember 2008 Jaroslaw Wroblewski
mit
und
Dezember 2008 Jaroslaw Wroblewski
Die Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 9 ist momentan (Stand: 20. Juni 2017) die längste bekannte Kette. Es ist auch gleichzeitig die einzige bekannte Kette dieser Länge.

Eigenschaften

  • Eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 1 hat die Form . Man nennt sie Primzahlzwilling.
  • Jedes der Paare mit ist ein Primzahlzwilling.
  • Die Zahlen bilden eine Cunningham-Kette der ersten Art mit Gliedern.
  • Die Zahlen bilden eine Cunningham-Kette der zweiten Art mit Gliedern.
  • Jede Primzahl der Form mit ist eine Sophie-Germain-Primzahl.
  • Jede Primzahl der Form mit ist eine sichere Primzahl.
  • Sei mit , sodass mindestens eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 2 ist. Dann gilt:[6]
mit

Verallgemeinerung

Eine verallgemeinerte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge ist eine Primzahlenfolge der Form

mit

Beispiele

  • Die größten verallgemeinerten Primzahlzwillings-Bi-Ketten der Länge sind die folgenden:[2]
größte bekannte verallgemeinerte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge
(Stand: 20. Juni 2017)
Dezimal-
stellen
Entdeckungs-
datum
Entdecker
mit und und September 2004 Phil Carmody, Jens K. Andersen

mit und
und Oktober 2004 Ralph Twain
mit und und August 2004 Jens K. Andersen
mit und und August 2004 Jens K. Andersen
mit und und August 2004 Jens K. Andersen
mit und und August 2004 Jens K. Andersen

Einzelnachweise

  1. Eric W. Weisstein: CRC Concise Ennyclopedia of Mathematics. Chapman & Hall/CRC, 2015, S. 249, abgerufen am 4. Juli 2018.
  2. a b c Henri Lifchitz: BiTwin records. 2017, abgerufen am 4. Juli 2018.
  3. Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Twin Primes. Prime Pages, abgerufen am 4. Juli 2018.
  4. 2996863034895 •21290000 - 1 auf Prime Pages
  5. 2996863034895 •21290000 + 1 auf Prime Pages
  6. Neil Sloane: Numbers n such that n and 2n are both between a pair of twin primes. (Comments). OEIS, 2018, abgerufen am 5. Juli 2018.