Methode von Chester-Friedman-Ursell

Die Methode von Chester-Friedman-Ursell ist eine Methode aus der asymptotischen Analysis um asymptotische Entwicklungen für Kontur-Integrale zu finden. Sie wurde als Erweiterung der klassischen Methode des steilsten Anstieges für den Fall entwickelt, wenn sich die Sattelpunkte verbinden (englisch coalescing saddle points). Das Verfahren wurde 1957 von Clive R. Chester, Bernard Friedman und Fritz Ursell veröffentlicht.[1] Die in der Methode eingeführte kubische Transformation ist heute eine Standardtechnik der asymptotischen Analysis.

Methode

Ausgangslage

Im Kern geht es um Integrale der Form

mit Kontur , einer stetigen Kurve in der komplexen -Ebene, wobei

Angenommen, man hat zwei Sattelpunkte mit Multiplizität , d. h. es sind Nullstellen von , und wendet die Methode des steilsten Anstieges an, so hängen diese von dem Parameter ab. Falls nun ein existiert, so dass die beiden Sattelpunkte übereinstimmen, d. h. der neue Sattelpunkt hat Multiplizität , so erhält man mit der Methode des steilsten Anstieges asymptotische Entwicklungen, die nicht mehr für alle in der Region um uniform übereinstimmen. Die Methode von Chester-Friedman-Ursell behebt dieses Problem.

Vorgehen

Nehmen wir an, es gibt zwei einfache Sattelpunkte von , d. h. es gilt , die im Punkt verschmelzen.

Wir starten mit der kubischen Transformation von , dies bedeutet wir führen eine komplexe Variable ein und schreiben als folgendes Polynom

wobei wir und herleiten werden.

Es gilt

damit die kubische Transformation analytisch und injektiv sein wird, dürfen und nicht oder sein.

Somit müssen und mit den Nullstellen von übereinstimmen, d. h. mit und . Dies führt zu folgendem Gleichungssystem

um die Koeffizienten und zu bestimmen. Ein Satz von Chester-Friedman-Ursell garantiert nun die Analytizität und Injektivität der kubischen Transformation in einer lokalen Umgebung um den kritischen Punkt .

Das Integral sieht nach der Transformation wie folgt aus

wobei die neue Kontur für ist und

Die Funktion ist eine analytische Funktion an den Stellen für und am verschmelzenden Punkt für , somit können wir das Integral in die Form

bringen.

Hier endet die Methode von Chester-Friedman-Ursell.

Der Ausdruck der Exponentialfunktion ist die Integraldarstellung der Airy-Funktion . Nun kann man mit Partielle-Integrations-Methoden wie zum Beispiel der Bleistein-Methode das Integral in eine Summe von und verwandeln.

Zusätzliches

Falls man die Bleistein-Methode nicht benützt, so sollte man gemäß Chester-Friedman-Ursell nicht als eine einzige Potenzreihe schreiben, sondern in folgende Form

bringen, damit man auch wirklich asymptotische Entwicklungen erhält.[2]

Satz von Chester-Friedman-Ursell

Seien und wie oben. Die kubische Transformation

mit den oben hergeleiteten Werten für und , so dass mit übereinstimmt, besitzt genau eine Verzweigung , so dass für alle in einer Umgebung von die Transformation analytisch und injektiv ist.[3]

Weitere Methoden

Für den Fall, wenn die Sattelpunkte sich in der Nähe einer Polstelle oder Singularität von verbinden, existieren andere Methoden.[4]

Literatur

  • C. Chester, B. Friedman und F. Ursell: An extension of the method of steepest descents. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Band 53, Nr. 3, 1957, S. 599–611, doi:10.1017/S0305004100032655.
  • Frank W. J. Olver: Asymptotics and Special Functions. Hrsg.: A K Peters/CRC Press. 1997, S. 351, doi:10.1201/9781439864548 (Kapitel 9.11).
  • R. Wong: Asymptotic Approximations of Integrals. Hrsg.: Society for Industrial and Applied Mathematics. 2001, doi:10.1137/1.9780898719260.

Einzelnachweise

  1. C. Chester, B. Friedman und F. Ursell: An extension of the method of steepest descents. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Band 53, Nr. 3, 1957, S. 599–611, doi:10.1017/S0305004100032655.
  2. C. Chester, B. Friedman und F. Ursell: An extension of the method of steepest descents. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Band 53, Nr. 3, 1957, S. 601, doi:10.1017/S0305004100032655.
  3. C. Chester, B. Friedman und F. Ursell: An extension of the method of steepest descents. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Band 53, Nr. 3, 1957, S. 604, doi:10.1017/S0305004100032655.
  4. R. Wong: Asymptotic Approximations of Integrals. Hrsg.: Society for Industrial and Applied Mathematics. 2001, doi:10.1137/1.9780898719260 (Kapitel 7).