Alexandrov-Raum

Alexandrov-Räume sind metrische Räume, die in der Differentialgeometrie und in der Topologie von wesentlicher Bedeutung sind. Ein Alexandrov-Raum ist ein vollständiger Längenraum mit unterer Krümmungschranke und endlicher Hausdorff-Dimension. Sie sind nach Alexander Danilowitsch Alexandrow benannt.

Definition

Ein metrischer Raum heißt Längenraum, falls der Abstand je zweier Punkte in gegeben ist durch das Infimum der Längen aller (stetigen) Kurven, die diese Punkte miteinander verbinden. Eine kürzeste Geodätische zwischen zwei Punkten ist eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve von nach , deren Länge mit dem Abstand dieser Punkte übereinstimmt.

Ein Dreieck in einem Längenraum wird bestimmt durch drei Punkte und drei kürzeste Geodätische . Bezeichnet für eine gegebene reelle Zahl das Symbol die zweidimensionale Fläche konstanter Krümmung , so versteht man unter einem Vergleichsdreieck für ein Dreieck ein Dreieck in , dessen Seitenlängen mit den jeweiligen Seitenlängen des Dreiecks übereinstimmen. Vergleichsdreiecke existieren und sind für oder für und

bis auf Kongruenz eindeutig bestimmt.

Ein Längenraum heißt Raum mit unterer Krümmungsschranke , oder kurz Raum mit , falls jeder Punkt eine Umgebung besitzt, so dass für je vier Punkte die Vergleichswinkel von in den entsprechenden Vergleichsdreiecken in die folgende Ungleichung erfüllen:

Ist der Längenraum eine eindimensionale Mannigfaltigkeit und , so verlangt man aus Konsistenzgründen zusätzlich, dass in diesem Fall der Durchmesser den Wert nicht überschreitet. Es gilt dann in Verallgemeinerung der Sätze von Toponogov und Bonnet-Myers:

Der Durchmesser eines vollständigen Raumes mit beträgt höchstens .

Kehrt man in der obigen Ungleichung das Ungleichheitszeichen um, erhält man die Definition eines Raumes mit oberer Krümmungsschranke . Ist ein Raum mit und vollständig, so gilt die obige Ungleichung global, also für beliebige (verschiedene) Punkte .

Für lokalkompakte Räume stimmt die oben gegebene Definition von mit der üblichen Abstandsvergleichsdefinition überein, nach der ein lokalkompakter Längenraum ein Raum mit unterer Krümmungsschranke ist, falls jeder Punkt eine Umgebung besitzt, so dass für jedes Dreieck in und je zwei Punkte die Abstandsgleichung

erfüllt ist, wobei und den Punkten und entsprechende Punkte im zum Dreieck korrespondierenden -Vergleichsdreieck bezeichnen.

Erste Beispiele von Räumen mit sind gegeben durch Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Schnittkrümmung sowie Quotienten von Räumen mit im allgemeinen metrische und/oder topologische Singularitäten auf (?).

Oftmals bezeichnet man Räume mit einer unteren Krümmungsschranke synonym auch als Alexandrov-Räume.

(Definition zitiert aus [1], s. auch Weblink)

Besonderes

Jeder Punkt eines Alexandrov-Raumes besitzt eine offene Umgebung, welche zum Tangentialkegel dieses Punktes homöomorph ist. Ferner gilt: Ein Alexandrov-Raum besitzt eine Stratifikation in topologische Mannigfaltigkeiten. Die Strata der Dimension bestehen aus den Punkten, deren Tangentialkegel homöomorph ist zum Produkt eines Kegels mit einem euklidischen Raum einer Dimension .

Literatur

Einzelnachweise

  1. Wilderich Tuschmann: Endlichkeitssätze und positive Krümmung Habilitationsschrift Max-Planck-Institut für Mathematik, Leipzig 2000, S. 18–19.