Primorial

Mit Primorial (von englisch primorial), oder Primfakultät, bezeichnet man das Produkt aller Primzahlen, die eine bestimmte Zahl nicht übersteigen. Die Begriffe sind eng mit der Fakultät verwandt und kommen vor allem in dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie zum Einsatz.

Der Name Primorial ist das eingedeutschte englische Wort primorial. Das Produkt der Primzahlen kleiner gleich wird allerdings im Deutschen selten Primorial, noch seltener Primfakultät genannt. Meist wird es umschrieben als „Produkt der Primzahlen kleiner gleich n“.

Definition

Für eine natürliche Zahl ist die Primfakultät definiert als das Produkt aller Primzahlen kleiner gleich :

bzw. als

.

Beide unterschiedliche Definitionen sind in der mathematischen Schreibweise einfach zu unterscheiden und in sich konsistent, allerdings beide Definitionen nicht durch den Funktionsnamen (Primorial, Primefactorial wie Primfakultät) zu unterscheiden.

,
.

Manchmal unterscheidet man den Spezialfall, in dem Primzahl ist, und definiert nur für diesen analog das Primorial, das für nicht-prime undefiniert bleibt.

Im Fall liegt das leere Produkt vor, der Wert der Primfakultät und des Primorials beträgt dann 1. Für Argumente , die keine Primzahlen sind, besitzt das Primorial keine Werte. Die Primfakultät liefert für diese den Wert, den die nächstkleinere Primzahl liefern würde. Im praktischen Gebrauch werden jedoch beide Begriffe meist als Synonym verwendet.

Beispiel

Um den Wert des Primorials zu berechnen, bestimmt man zunächst alle Primzahlen kleiner gleich 7. Diese sind 2, 3, 5 und 7. Das Produkt dieser vier Primzahlen liefert . Für 9 könnte man dagegen kein Primorial, wohl aber die Primfakultät berechnen – da 9 keine Primzahl ist und die nächstkleinere Primzahl die 7 und die nächstgrößere Primzahl die 11 ist, gilt .

Eigenschaften

Vergleich der Fakultät (gelb) und der Primfakultät (rot)
  • Es seien und zwei benachbarte Primzahlen. Dann gilt für jede natürliche Zahl mit :
  • Für das Primorial kennt man folgende Abschätzung[1]
.
  • Ferner gilt:
Für sind die Werte kleiner als ,[2] aber mit größeren überschreiten die Werte der Funktion die Schranke und oszillieren später unendlich oft um .
  • Ist die -te Primzahl, dann hat genau Teiler.
Zum Beispiel hat die Zahl zwei Teiler, hat vier Teiler, hat acht Teiler und hat bereits Teiler, denn 97 ist die 25. Primzahl.
Die Engel-Entwicklung (eine spezielle Stammbruch-Entwicklung) dieser Zahl bildet die Folge der Primzahlen (Siehe Folge A064648 in OEIS)
  • Der Satz von Euklid nutzt den Ausdruck für den Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Funktionswerte bis 100

n n#
200 2
3…400 6
5…600 30
7…100 210
11…120 2.310
13…160 30.030
17…180 510.510
19…220 9.699.690
23…280 223.092.870
29…300 6.469.693.230
31…360 200.560.490.130
37…400 7.420.738.134.810
41…420 304.250.263.527.210
43…460 13.082.761.331.670.030
47…520 614.889.782.588.491.410
53…580 32.589.158.477.190.044.730
59…600 1.922.760.350.154.212.639.070
61…660 117.288.381.359.406.970.983.270
67…700 7.858.321.551.080.267.055.879.090
71…720 557.940.830.126.698.960.967.415.390
73…780 40.729.680.599.249.024.150.621.323.470
79…820 3.217.644.767.340.672.907.899.084.554.130
83…880 267.064.515.689.275.851.355.624.017.992.790
89…960 23.768.741.896.345.550.770.650.537.601.358.310
97…100 2.305.567.963.945.518.424.753.102.147.331.756.070
k pk pk#
1 2 2
2 3 6
3 5 30
4 7 210
5 11 2.310
6 13 30.030
7 17 510.510
8 19 9.699.690
9 23 223.092.870
10 29 6.469.693.230
11 31 200.560.490.130
12 37 7.420.738.134.810
13 41 304.250.263.527.210
14 43 13.082.761.331.670.030
15 47 614.889.782.588.491.410
16 53 32.589.158.477.190.044.730
17 59 1.922.760.350.154.212.639.070
18 61 117.288.381.359.406.970.983.270
19 67 7.858.321.551.080.267.055.879.090
20 71 557.940.830.126.698.960.967.415.390
21 73 40.729.680.599.249.024.150.621.323.470
22 79 3.217.644.767.340.672.907.899.084.554.130
23 83 267.064.515.689.275.851.355.624.017.992.790
24 89 23.768.741.896.345.550.770.650.537.601.358.310
25 97 2.305.567.963.945.518.424.753.102.147.331.756.070

(Siehe Folge A002110 in OEIS)

Quellen

  1. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.
    Theorem 415, S. 341
  2. L. Schoenfeld: Sharper bounds for the Chebyshev functions and . II. Math. Comp. Bd. 34, Nr. 134 (1976) 337–360; dort S. 359.
    Zitiert in: G. Robin: Estimation de la fonction de Tchebychef sur le -ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction , nombre de diviseurs premiers de . Acta Arithm. XLII (1983) 367–389 (PDF 731KB); dort S. 371