Siebeneck nach Archimedes

Das Siebeneck nach Archimedes ist eine Weiterführung der sogenannten Konstruktion von Archimedes, ein Ansatz zur Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks. Der Ansatz beinhaltet prinzipiell (siehe nebenstehendes Bild) folgende Konstruktionsbausteine: Ein Quadrat AWRC mit einer Diagonalen AR, eine Verlängerung der Quadratseite AC über C hinaus und schließlich eine Halbgerade ab dem Eckpunkt W, die nach dem Schneiden der Diagonale AR in U und der Quadratseite CR in T auf die Verlängerung der Quadratseite AC im Punkt M trifft.

Das Problem besteht darin, die Halbgerade ab W bis auf die Verlängerung der Quadratseite AC so zu ziehen, dass die dabei erzeugten Dreiecke WRU und CTM (grün) den gleichen Flächeninhalt haben. Nur dann entspricht die Strecke CM gleich der Seitenlänge s (rot) eines regelmäßigen Siebenecks.

Allerdings ist dies – wie bei jedem regelmäßige Siebeneck – nicht allein mit den klassischen Hilfsmitteln Zirkel und unmarkiertem Lineal exakt darstellbar, wohl aber mit einem Hilfsmittel zur Dreiteilung des Winkels, zum Beispiel einem markierten Lineal.

Geschichte

Archimedes (287–212 v. Chr.) veröffentlichte die Konstruktion in seinem Werk „Siebeneck im Kreise ...“. Das in griechischer Sprache verfasste Buch ging aber, der Überlieferung von arabischen Gelehrten zufolge, verloren.^[1] Erst rund 1100 Jahre später, sprich im 9. Jahrhundert, hat Thabit ibn Qurra (826–901)^{[A 1]} das Werk von Archimedes ins Arabische übersetzt und somit den Beweis der Konstruktion von Archimedes für die Nachwelt erhalten (s. Abschnitt Beweis). Letztendlich vergingen nochmals rund 1100 Jahre, bis Carl Schoy (1877–1925) das Buch des Archimedes, das davon handelt, den Kreis in 7 gleiche Teile zu teilen, ins Deutsche übersetzte.^[1]

„In der Tat geschieht dieses Archimedischen Buches durch verschiedene arabische Gelehrte Erwähnung, die selbst Abhandlungen über das reguläre Siebeneck schrieben. Sämtliche dieser arabischen Texte sind uns erhalten, und so ist es möglich, den Anteil des A r c h i m e d e s an der Lösung des Siebeneckproblems in etwa festzustellen.“

– Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî^[1]

Konstruktion von Archimedes

In einem Quadrat $AWRC$ ^{[A 2]} mit beliebiger Seitenlänge wird eine Halbgerade ab dem Punkt $W$ gezogen, bis sie die Verlängerung der Quadratseite ${\overline {AC}}$ im Punkt $M$ schneidet. Für die dabei entstehenden Dreiecke gilt:

\left(1\right)

Flächeninhalt von

\triangle {WRU}=

Flächeninhalt von

\triangle {CTM}.

^[2]

Die geometrische Konstruktion von Archimedes beruht hauptsächlich auf der Teilung einer Strecke, für die er, so wird überliefert, die Konstruktionsmethode Einschiebung (Neusis) nutzte. Sie entspricht in der Algebra der Lösung einer kubischen Gleichung.^[2] Die Art und Weise, wie er diese Einschiebung durchführte, um die Teilungspunkte exakt zu erhalten, ist nicht überliefert.^[3] Alhazen, ein arabischer Mathematiker (965–1040), war der Meinung, dass eine Lösung nur mithilfe der Kegelschnitte möglich sei.

„Es gründet A r c h i m e d e s die Konstruktion des Siebenecks auf das Quadrat, das er zuerst behandelt; aber wir wissen nicht, wie wir das Quadrat auf die Eigenschaft hinarbeiten sollen, welche seine Vorschrift enthält. Und dies ist uns nicht klar, weil die Hinarbeitung des Quadrates auf die Eigenschaft, welche die Bedingung (der Lösung) enthält, nur mittels Kegelschnitte möglich ist. Aber der Autor (Archimedes) gibt in seinem Buche, in dem er das Siebeneck behandelt, keinen Hinweis auf sie, und er sah nicht, daß er in seinem Buche das vermengte, was nicht gleichartig war.“

„Carl Schoy“

– Alhazen: Auseinandersetzung von Alhazen [Kurzform des Namens] über die Prämissen (zur Konstruktion) der Seite des Siebenecks.^[3]

Eine Einschiebung mithilfe eines markierten Lineals, dessen Kante um den Punkt $W$ so gedreht ist, dass eine Linie ${\overline {WM}}$ die Bedingung liefert, die Dreiecke ${WRU}$ und ${CTM}$ haben gleich große Flächeninhalte, ist offensichtlich nicht zielführend.^[4]^[3] Das Anbringen einer Markierung auf das Lineal ist nur zweckmäßig, wenn die Streckenlänge, die sie damit bestimmen soll, konstruierbar ist. Die z. B. hierfür relevanten Streckenlängen $|{\overline {WT}}|$ oder $|{\overline {WM}}|$ erfüllen diese Bedingung nicht. Eine Möglichkeit der Einschiebung auf eine andere Art und Weise wird in Bestimmen des Punktes M mithilfe eines markierten Lineals beschrieben.

Die folgenden Ausführungen, dargestellt in moderner Sprache, lehnen sich an die Beschreibung von Thabit ibn Qurra an, die im Wesentlichen aus zwei Schritten besteht. Als ersten Schritt (Bild 1) machen wir uns zur Vorüberlegung eine Prinzipskizze der Strecke ${\overline {AM}}$ mit ihren Teilungspunkten $D$ und $C$ . Darin sei ${\overline {AC}}$ die Seitenlänge des Quadrates, ${\overline {AD}}<{\overline {AC}}$ und ${\overline {AM}}>{\overline {AC}},$ zugleich soll gelten:^[5]

\left(2\right)

{\overline {CM}}^{2}={\overline {AC}}\cdot {\overline {AD}}

und

\left(3\right)

{\overline {AD}}^{2}={\overline {CD}}\cdot {\overline {DM}}

Als zweiten Schritt (Bild 2) erweitern wir die soeben erstellte Prinzipskizze. Zuerst wird über die Strecke ${\overline {AC}}$ mithilfe ${\overline {CM}}$ das gleichschenklige Dreieck $ACB$ errichtet. Verbindet man nun den Punkt $B$ mit $M,$ ergibt sich das ebenfalls gleichschenklige Dreieck $CMB.$ Nach Thabit ibn Qurra haben – bei exakt bestimmten Teilungspunkt $D$ und Endpunkt $M$ – die Winkel an den Scheiteln $M$ und $B$ jeweils die Winkelweite $\mu ={\tfrac {\pi }{7}}$ und an den Scheiteln $C$ (Supplementwinkel, Nebenwinkel) und $A$ jeweils die Winkelweite $2\mu ={\tfrac {2\pi }{7}}.$ Somit ist der Winkel $2\mu$ der Zentriwinkel des Siebenecks.^[5]^[6]

Bestimmen des Teilungspunktes D

Hierzu bedarf es mindestens eines zusätzlichen Hilfsmittels, wie z. B. einer Parabel oder einer Parabel und Hyperbel^[7] oder des im Folgenden ermittelten Funktionsgraphen.^[6]

Die Dreiecke ${ACB}$ und ${CMB}$ sind nicht Teil der Lösung, sie dienen lediglich der Veranschaulichung.

Für eine exakte Konstruktion (Bild 3) zeichnet man – vorzugsweise mithilfe einer Dynamischen-Geometrie-Software – zuerst das Quadrat $AWRC$ mit der beliebigen Seitenlänge $a={\overline {AC}}$ und verlängert anschließend ${\overline {AC}}$ über $C$ hinaus. Um die Dreiecke ${WRU}$ und ${CTM}$ mit gleich großen Flächeninhalten zu erhalten, reicht es, den Teilungspunkt $D$ zu bestimmen. Der fehlende Punkt $M$ ist anschließend mithilfe eines Lots von $D$ mit Fußpunkt $V$ und einer Halbgeraden ab $W$ durch den erzeugten Kreuzungspunkt $U$ zu finden.

Es sei ${\overline {AD}}=x,$ ${\overline {AC}}=a$ und ${\overline {CM}}=y,$ so dass zugleich gilt

\left(4\right)

y^{2}=a\cdot x

und

\left(5\right)

x^{2}=\left(a-x\right)\cdot \left(a+y-x\right)

daraus y

$\;{\begin{aligned}\left(6\right)\;\;x^{2}&=\left(a-x\right)\cdot \left(a+y-x\right)\\0&=a^{2}+ay-2ax-xy\\2ax-a^{2}&=y\cdot \left(a-x\right)\\y&=\left({\frac {a\left(2x-a\right)}{a-x}}\right)=a\cdot \left({\frac {2x-a}{a-x}}\right)\\\end{aligned}}$

$y$ eingesetzt in $\left(4\right)$

$\;\;\;\;{\begin{aligned}\left(7\right)\;ax&=a^{2}\cdot \left({\frac {2x-a}{a-x}}\right)^{2}=a^{2}\cdot {\frac {\left(2x-a\right)^{2}}{\left(a-x\right)^{2}}}\\\end{aligned}}$

Gleichung $\left(7\right)$ multipliziert mit $\left(a-x\right)^{2}$ und anschließend dividiert durch $a$ ergibt:

${\begin{aligned}\left(8\right)\;\;\;x\cdot \left(a-x\right)^{2}&=a\cdot \left(2x-a\right)^{2},\\x\cdot \left(a^{2}-2ax+x^{2}\right)&=a\cdot \left(4x^{2}-4xa+a^{2}\right),\\xa^{2}-2ax^{2}+x^{3}&=4ax^{2}-4xa^{2}+a^{3},\\\end{aligned}}$

daraus folgt die kubische Gleichung

$\;\;\;\;{\begin{aligned}\left(9\right)\;x^{3}&-6ax^{2}+5a^{2}x-a^{3}=0\end{aligned}}.$ ^[6]

Die Funktion $f(x)=x^{3}-6ax^{2}+5a^{2}x-a^{3}$ hat innerhalb der Strecke ${\overline {AM}}$ zwei Nullstellen. Eine näher am Punkt $A$ und eine im Punkt $D.$ Die dritte Nullstelle liegt außerhalb der Strecke ${\overline {AM}}.$

Wenn $A=\left(0\mid 0\right)$ als Koordinatenursprung festgelegt wird, dann sind die kartesischen Koordinaten des relevanten Punktes $D$ des Funktionsgraphen

D=\left(a\cdot 0{,}643104132\ldots \mid 0\right).

^[8]

Beweis

Als Beweis für die Richtigkeit der Konstruktion von Archimedes, soll die folgende Teilung des Kreises in sieben gleich lange Bögen dienen.^[9]

Auf eine Gerade werden die gegebenen Strecken ${\overline {AM}},$ ${\overline {AD}}$ und ${\overline {AC}}=a$ abgetragen, anschließend das gleichschenklige Dreieck $ACB$ eingezeichnet sowie die Punkte $B$ mit $M$ und $B$ mit $D$ verbunden. Nach dem Bestimmen des Umkreismittelpunktes $O_{1}$ mithilfe der beiden Senkrechten durch $C$ und $D,$ wird der Umkreis eingezeichnet. Es folgen die Verlängerungen der Strecken ${\overline {BD}}$ und ${\overline {BC}}$ , bis sie in $E$ bzw. $Z$ den Umkreis schneiden. Nun wird $A$ mit $Z$ verbunden, dabei ergibt sich der Schnittpunkt $H,$ der sogleich mit $C$ verbunden wird. Der Mittelpunkt $O_{2}$ des kleinen Kreises ist der Schnittpunkt aus der Halbierung der Strecke ${\overline {BC}}$ in $L$ , der Senkrechten zu ${\overline {BC}}$ in $L$ und der abschließenden Linie ab $O_{1}$ durch $D$ .

Aus der Darstellung (Bild 4) ist zu entnehmen ( $arc=$ Kreisbogen):^[9]

MC=CB

im

\triangle {MBC}

daraus folgt:

\angle {BMC}=\angle {MBC},

arc\;O_{1}ZM=arc\;O_{1}BA,

folglich ist:

{\overline {CD}}\cdot {\overline {DM}}={\overline {DB}}^{2}={\overline {AD}}^{2}

(→ erfüllt (3)) und

\triangle {MBD}\sim \triangle {CBD},

denn

\angle {DMB}=\angle {CBD},

d. h.

arc\;O_{1}EZ=arc\;O_{1}BA.

Somit sind

arc\;O_{1}BA,arc\;O_{1}ZM

und

arc\;O_{1}ZE

drei gleich lange Bögen. Darüber hinaus ist:

{\overline {AZ}}\parallel {\overline {BM}}

und

\angle {BMC}=\angle {DBC}=\angle {HAC},

{\overline {BD}}={\overline {AD}};\;{\overline {CD}}={\overline {HD}};\;{\overline {BC}}={\overline {AH}},

dies bedeutet die vier Punkte $A,B,C$ und $H$ liegen auf demselben Kreis mit Mittelpunkt $O_{2}.$ Wegen der Ähnlichkeit

\triangle {ACB}\sim \triangle {HBA}

folgt:

{\overline {AC}}\cdot {\overline {AD}}={\overline {CB}}^{2}={\overline {CM}}^{2}

(→ erfüllt (2)),

sowie der Ähnlichkeit

\triangle {BHC}\sim \triangle {CBD}

folgt:

{\overline {HB}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {BC}}^{2}.

Des Weiteren ist:

{\overline {CA}}={\overline {HB}}

und

\angle {BCD}=\angle {CHB}=2\cdot \angle {BMC},

\angle {CHD}=\angle {DAB}=2\cdot \angle {BMC},

folglich ist:

arc\;O_{1}MB=2\cdot arc\;O_{1}BA,

wegen

\angle {ABD}=\angle {DAB},

ist auch

arc\;O_{1}AE=2\cdot arc\;O_{1}BA,

also ist jeder der Bögen

arc\;O_{1}MB

und

\;arc\;O_{1}AE=2\cdot O_{1}BA.

Somit ist der Kreis $MBAEZ$ in sieben gleichlange Teile geteilt. Was zu beweisen war.

Bestimmen des Endpunktes M der Strecke AM

Das nebenstehende Bild zeigt eine alternative Lösung. Darin wird der Punkt $M$ anstatt des Punktes $D$ bestimmt.

Die Dreiecke ${ACB}$ und ${CMB}$ sowie die Punkte $D$ und $V$ sind nicht Teil der Lösung, sie dienen lediglich der Veranschaulichung.

Für eine exakte Konstruktion zeichnet man – vorzugsweise mithilfe einer Dynamischen-Geometrie-Software – zuerst das Quadrat $AWRC$ mit der beliebigen Seitenlänge $a={\overline {AC}}$ und verlängert ${\overline {AC}}$ über $C$ hinaus. Um die Dreiecke ${WRU}$ und ${CTM}$ mit gleich großen Flächeninhalten zu erhalten, reicht es den Punkt $M$ zu bestimmen. Abschließend wird die Verbindungslinie von Punkt $W$ bis Punkt $M$ eingetragen.

Vorüberlegung

Gesucht ist eine Funktion $f(x)$ deren Graph die x-Achse eines kartesischen Koordinatensystems in $M$ schneidet (Nullstelle) und somit die Strecke ${\overline {AM}}$ erzeugt.

Ansatz

Sei $a=1,$ dann ist die Länge der Strecke ${\overline {AM}}$ gleich der Wurzel der sogenannten Silver Constant $S$ ^[10]. Der Term $2\cos \left({\tfrac {\pi }{7}}\right)$ ist das Längenverhältnis der kleinsten Diagonale ${\overline {BM}}$ zur Seitenlänge $s$ des regelmäßigen Siebenecks (siehe hierzu Bild 4 für Teilungspunkt D).^[11]

{\sqrt {S}}={\sqrt {2+2\cos \left({\tfrac {2\pi }{7}}\right)}}=2\cos \left({\tfrac {\pi }{7}}\right)=1{,}801\,937\,735\ldots

.

Dies führt über die kubische Gleichung^[12]^[13]

x^{3}-x^{2}-2x+1=0

schließlich zur Funktion^[12]

f(x)=x^{3}-x^{2}-2x+1

mit deren dritten Nullstelle in $M=\left({\sqrt {S}}\mid 0\right).$

Funktionsgraph, allgemein

Für $a>0$ , also wenn die Seitenlänge $a$ des Quadrates $AWRC$ beliebig gewählt werden soll, ist eine Lineartransformation erforderlich.

In die kubischen Gleichung wird hierzu die Variable $a$ in der Potenz $a^{1},\;a^{2}$ und $a^{3}$ eingefügt

x^{3}-ax^{2}-2a^{2}x+a^{3}=0,

daraus folgt die Funktion

f(x)=x^{3}-ax^{2}-2a^{2}x+a^{3}.

Somit gilt für die Länge der Strecke

{\overline {AM}}=a\cdot {\sqrt {S}}

.

Bestimmen des Punktes M mithilfe eines markierten Lineals

Wie im Abschnitt Konstruktion von Archimedes erwähnt, gibt es keine Überlieferung wie er ein markiertes Lineal in seiner speziellen Neusis-Konstruktion nutzte, um den Punkt $M$ zu erhalten.

Nichtsdestotrotz gibt es die Möglichkeit der Einschiebung (Bild 6) mithilfe der bereits bekannten Methode für ein Siebeneck mit gegebener Seitenlänge von David Johnson Leisk (auch Crockett Johnson genannt). In seiner Veröffentlichung aus dem Jahr 1975 beschreibt er den Lösungsweg für das Bestimmen des Umfangswinkels eines Siebenecks^[14] – und somit auch indirekt den des Zentriwinkels.

Konstruktionsbeschreibung

Es beginnt mit dem Quadrat $AWRC$ mit der Seitenlänge $a$ und der Diagonalen ${\overline {AR}}$ . Es folgt der Kreisbogen $b$ um $C$ mit dem Radius $|CW|$ und die Mittelsenkrechte der Strecke ${\overline {AC}}$ . Nun wird das Lineal mit der Markierung der Seitenlänge $a$ so platziert, dass ein Endpunkt der Markierung auf der Mittelsenkrechten, der zweite auf dem Kreisbogen $b$ liegt und die Kante des Lineals durch den Punkt $A$ verläuft. Die Bezeichnung der so gefundenen Punkte $E$ und $F$ sowie die Verbindungen des Punktes $E$ mit $A$ und $C$ schließen sich an. Somit ergibt sich am Winkelscheitel $E$ der Umfangswinkel $\phi$ .

Weiter geht es mit der Halbierung der Strecke ${\overline {AE}}$ in $G$ und dem Errichten einer Orthogonalen (Senkrechte) auf ${\overline {AE}}$ in $G$ mit Schnittpunkt $O$ auf der Mittelsenkrechten. Nach dem anschließenden Ziehen des Kreises $k_{1}$ um $O$ mit dem Radius ${\overline {OE}}$ und Schnittpunkt $I$ , ist das Dreieck $ECA$ einbeschrieben. Ab dem Punkt $I$ trägt man einmal in Richtung $E$ die Seitenlänge $a$ des Quadrates auf dem Kreis ab; der Schnittpunkt ist $J$ . Es bedarf noch einer Verlängerung der Strecke ${\overline {AC}}$ ab $C$ und einer Halbgeraden ab $J$ durch $I$ bis sie die Verlängerung ab $C$ im gesuchten Punkt $M$ trifft.

Beweis

Ein möglicher Beweis ist (Bild 7), wenn nachgewiesen werden kann, dass das Dreieck $MAI$ ein gleichschenkliges Dreieck ist. Mit anderen Worten:

Die Sehne ${\overline {AI}}$ des Kreises $k_{1}$ und die Strecke ${\overline {AM}}$ müssen gleich lang sein.

Im gleichschenkligen Dreieck $AIC$ mit den Schenkeln $a$ ist die Sehne ${\overline {AI}}$ eine Diagonale über zwei Seiten eines Siebenecks mit dem Innenwinkel $\alpha ={\tfrac {5}{7}}\cdot 180^{\circ }$ . Die Seitenlänge c = ${\overline {AI}}$ ergibt sich aus:

{\overline {AI}}=2\cdot a\cdot \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=a\cdot 1{,}801937735\ldots [LE]\;\;

Ergebnis der Berechnung der Strecke ${\overline {AM}}$ aus dem Abschnitt Bestimmen des Endpunktes M der Strecke AM, Absatz Funktionsgraph, allgemein:

{\overline {AM}}=a\cdot 1{,}801937735\ldots [LE]

daraus folgt

{\overline {AI}}={\overline {AM}}

Was zu beweisen war.

Bestimmen des Punktes M mithilfe zweier Zickzacklinien in einem gleichschenkligen Dreieck

Archibald H. Finlay veröffentlichte 1959 in The Mathematical Gazette unter dem Titel 2863. Zig-Zag-paths. einen Kreis mit acht speziellen Kreissektoren die unterschiedliche Zickzacklinien beinhalten. Ein Kreissektor zeigt ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Zentriwinkel ${\tfrac {180^{\circ }}{7}}=\phi$ eines Vierzehnecks, den beiden Basiswinkeln mit je $3\phi$ sowie zwei sich kreuzende, vom Dreieck umschriebene Zickzacklinien mit sieben gleich langen Geradenabschnitten.^[15]

Das Zusammenspiel des Dreiecks $ABB'$ mit Seite $a$ des Quadrates und den beiden Zickzacklinien, ermöglicht das Finden des Punktes $M$ der Strecke ${\overline {AM}}$ .^[16] Es ist vorteilhaft die Konstruktion (Bild 8) mittels einer Dynamischen-Geometrie-Software zu erstellen. Für eine Konstruktion auf Papier gäbe es z. B. auch die Möglichkeit den beweglichen Winkelschenkel durch einen Papierstreifen zu ersetzen. Die weitere Vorgehensweise wäre gleich wie die im Folgenden beschrieben bzw. wie die in der Animation (Bild 8) gezeigte.

Vorgehensweise

Nach der Konstruktion des Quadrates $AWRC$ und dem Einzeichnen der Diagonalen ${\overline {AR}}$ , wird die Seite $a={\overline {AC}}$ des Quadrates mittels einer Halbgeraden über $C$ hinaus verlängert. Dies ergibt den feststehenden Winkelschenkel für den späteren Winkels $\phi$ . Eine nun folgende zweite Halbgerade ab dem Scheitel $A$ , sprich, der bewegliche Winkelschenkel, schließt einen Winkel mit noch unbestimmter Winkelweite ein.

Es geht weiter mit den zwei sich kreuzenden Zickzacklinien, d. h. mit dem Eintragen der vorerst fünf Seitenlängen $a$ – eine ist die Quadratseite. Beginnend mit der ersten Zickzacklinie beim Scheitel $A$ , wird zuerst auf dem beweglichen Winkelschenkel die Länge $a$ abgetragen; dabei ergibt sich der Schnittpunkt $X$ . Es folgt, wieder mithilfe $a$ , das vorläufige Bestimmen der Punkte $M$ und $B'$ . Auf die gleiche Art und Weise werden die Punkte $Y$ und $B$ der zweiten Zickzacklinie eingetragen. Die siebte Länge $a$ (rot, Grundlinie des gesuchten Dreiecks $ABB'$ ) wird nahe $B$ auf dem feststehenden Winkelschenkel platziert.

Um das Dreieck $ABB'$ zu erhalten, bedarf es noch der Verbindung der Grundlinie $a$ (rot) mit den Endpunkten $B$ und $B'$ der beiden Zickzacklinien. Die Animation (Bild 8) zeigt ein Beispiel, wie dies erreicht werden kann.

Mit dem fertiggestellten Dreieck $ABB'$ ist der Punkt $M$ so platziert, dass die Dreiecke $WRU$ und $TMC$ nun den gewünschten gleichen Flächeninhalt haben.^{[A 3]}

Weiterführende Konstruktion bei gegebenem Umkreis bzw. bei gegebener Seitenlänge

Umkreis gegeben

Siehe hierzu Bild 9

Ausgehend von den konstruierten Punkten $D$ und $M$ , zieht man zuerst ab dem Winkelscheitel $A$ die Halbgerade $g_{1}$ mit der Winkelweite ${\tfrac {\mu }{2}}.$ Es folgt das Abtragen des gegebenen Umkreisradius $r$ auf der Halbgeraden $g_{1}$ ab $A;$ dabei ergibt sich der Mittelpunkt $O$ des Umkreises. Nun zieht man um $O$ den Umkreis des gesuchten Siebenecks mit dem Radius $r={\overline {AO}}.$ Schneidet der Umkreis die Strecke ${\overline {AB}}$ in $E,$ so ist die Seitenlänge $s$ somit gefunden. Schneidet der Umkreis die Strecke ${\overline {AB}}$ nicht, wird anschließend ${\overline {AB}}$ mithilfe der Halbgeraden $g_{2}$ verlängert, bis sie den Umkreis in $E$ schneidet und so die Seitenlänge $s$ liefert. Abschließend wird die Seitenlänge $s$ fünfmal gegen den Uhrzeigersinn abgetragen und die noch fehlenden Seiten des Siebenecks eingezeichnet.

Seitenlänge gegeben

Siehe hierzu Bild 10

Ausgehend von den konstruierten Punkten $D$ und $M$ , zieht man zuerst ab dem Winkelscheitel $A$ die Halbgerade $g_{1}$ mit der Winkelweite ${\tfrac {\mu }{2}}.$ Nun soll die gegebene Seitenlänge $s$ abgetragen werden. Ist die Seitenlänge $s={\overline {AE}}\leq {\overline {AB}},$ kann sie direkt auf ${\overline {AB}}$ abgetragen werden. Andernfalls wird zuvor die Strecke ${\overline {AB}}$ mithilfe der Halbgeraden $g_{2}$ verlängert. Nach dem Einzeichnen eines Kreisbogens um $A$ mit dem Radius ${\overline {AE}}$ bis die Strecke ${\overline {AM}}$ in $F$ geschnitten wird, zieht man eine Linie ab $E$ durch $F$ auf die Halbgerade $g_{1}$ ; dabei ergibt sich, wegen Ähnlichkeit der Dreiecke ${AFE}\sim {AOE},$ der Mittelpunkt $O$ des gesuchten Siebenecks. Abschließend wird der Umkreis um $O$ mit dem Radius $r={\overline {AO}}$ gezogen, die Seitenlänge $s$ fünfmal gegen den Uhrzeigersinn abgetragen und die noch fehlenden Seiten des Siebenecks eingezeichnet.

Weblinks

Commons: Siebeneck nach Archimedes – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Siebeneck nach David Johnson Leisk

Einzelnachweise

↑ ^a ^b ^c Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî, Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 74, Digitalisat (PDF; 4,2 MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 14. Oktober 2019.
↑ ^a ^b H.-W. Alten, A. Djafari Naini, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wußing: 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen. 2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch ”Einschiebung“ von Archimedes. Springer–Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-43554-9, S. 80.
↑ ^a ^b ^c Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî, Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 85 (Abschnitt: Übersetzung), Digitalisat (PDF; 4,2 MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 16. Mai 2023.
↑ J. L. Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. (PDF) §4 Abu Sahl über das regelmäßige Siebeneck. archive.org, 20. August 2021, S. 83, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 20. August 2021; abgerufen am 22. Oktober 2021.
↑ ^a ^b H.-W. Alten, A. Djafari Naini, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wußing: 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen. 2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch ”Einschiebung“ von Archimedes. Springer–Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-43554-9, S. 81.
↑ ^a ^b ^c H.-W. Alten, A. Djafari Naini, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wußing: 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen. 2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch ”Einschiebung“ von Archimedes. Springer–Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-43554-9, S. 82.
↑ Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî, Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 84 ff., Digitalisat (PDF; 4,2 MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 14. Oktober 2019.
↑ 3 Nullstellen des Funktionsgraphen. Wolfram Alpha, abgerufen am 13. Juli 2020.
↑ ^a ^b Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî, Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 83, Digitalisat (PDF; 4,2 MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 14. Oktober 2019.
↑ Silver Constant auf wolframalpha.com.
↑ OEIS COMMENTS, rho(7):
↑ ^a ^b OEIS COMMENTS, An algebraic integer of degree 3 with minimal polynomial
↑ kubische Gleichung auf wolframalpha.com.
↑ Crockett Johnson: A Construction for a Regular Heptagon. (PDF) In: The Mathematical Gazette. Florida Atlantic University, März 1975, S. 17–19, abgerufen am 19. Dezember 2021.
↑ Archibald H. Finlay: 2863. Zig-Zag paths. (PDF) In: The Mathematical Gazette. Cambridge University Press, 3. November 2016, S. 199, abgerufen am 25. Januar 2022.
↑ Crockett Johnson: A Construction for a Regular Heptagon. (PDF) In: The Mathematical Gazette. Florida Atlantic University, März 1975, S. 19–20, abgerufen am 10. März 2022.

Anmerkungen

↑ In der Literatur findet man häufig auch 836 A.D. als Geburtsjahr
↑ Die Bezeichnungen der Punkte sind dem Buch von H.-W. Alten 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen, S. 81 entnommen.
↑ ^a ^b Das Dreieck ABC in A Construction for a Regular Heptagon. wird durch den Zentriwinkel ${\tfrac {180^{\circ }}{7}}=\phi$ des Vierzehnecks und der Seitenlänge $a$ des Quadrates bestimmt. Es müsste daher richtig heißen auf S. 20, Ende des letzten Absatzes: If AY equals BF then AX is BA, XY is AF, YB is AE.

[Carl_Schoy-1] Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî, Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 74, Digitalisat (PDF; 4,2 MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 14. Oktober 2019.

[H.-W._Alten-4] H.-W. Alten, A. Djafari Naini, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wußing: 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen. 2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch ”Einschiebung“ von Archimedes. Springer–Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-43554-9, S. 80.

[Carl-5] Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî, Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 85 (Abschnitt: Übersetzung), Digitalisat (PDF; 4,2 MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 16. Mai 2023.

[6] J. L. Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. (PDF) §4 Abu Sahl über das regelmäßige Siebeneck. archive.org, 20. August 2021, S. 83, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 20. August 2021; abgerufen am 22. Oktober 2021.

[Alten-7] H.-W. Alten, A. Djafari Naini, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wußing: 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen. 2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch ”Einschiebung“ von Archimedes. Springer–Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-43554-9, S. 81.

[Naini-8] H.-W. Alten, A. Djafari Naini, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wußing: 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen. 2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch ”Einschiebung“ von Archimedes. Springer–Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-43554-9, S. 82.

[9] Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî, Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 84 ff., Digitalisat (PDF; 4,2 MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 14. Oktober 2019.

[10] 3 Nullstellen des Funktionsgraphen. Wolfram Alpha, abgerufen am 13. Juli 2020.

[Schoy-11] Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî, Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 83, Digitalisat (PDF; 4,2 MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 14. Oktober 2019.

[12] Silver Constant auf wolframalpha.com.

[13] OEIS COMMENTS, rho(7):

[OEIS_COMMENTS-14] OEIS COMMENTS, An algebraic integer of degree 3 with minimal polynomial

[15] ubische Gleichung auf wolframalpha.com.

[Crockett_Johnson-16] Crockett Johnson: A Construction for a Regular Heptagon. (PDF) In: The Mathematical Gazette. Florida Atlantic University, März 1975, S. 17–19, abgerufen am 19. Dezember 2021.

[18] Archibald H. Finlay: 2863. Zig-Zag paths. (PDF) In: The Mathematical Gazette. Cambridge University Press, 3. November 2016, S. 199, abgerufen am 25. Januar 2022.

[19] Crockett Johnson: A Construction for a Regular Heptagon. (PDF) In: The Mathematical Gazette. Florida Atlantic University, März 1975, S. 19–20, abgerufen am 10. März 2022.

[Qurra-2] In der Literatur findet man häufig auch 836 A.D. als Geburtsjahr

[3] Die Bezeichnungen der Punkte sind dem Buch von H.-W. Alten 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen, S. 81 entnommen.

[Johnson-17] Das Dreieck ABC in A Construction for a Regular Heptagon. wird durch den Zentriwinkel ${\tfrac {180^{\circ }}{7}}=\phi$ des Vierzehnecks und der Seitenlänge $a$ des Quadrates bestimmt. Es müsste daher richtig heißen auf S. 20, Ende des letzten Absatzes: If AY equals BF then AX is BA, XY is AF, YB is AE.

[1]

[A 1]

[A 2]

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[6]

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[9]

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[13]

[14]

[A 3]

[15]

[16]

Deutschland – Kaiserreich

Siebeneck nach Archimedes

Inhaltsverzeichnis

Geschichte

Konstruktion von Archimedes

Bestimmen des Teilungspunktes D

Beweis

Bestimmen des Endpunktes M der Strecke AM

Bestimmen des Punktes M mithilfe eines markierten Lineals

Konstruktionsbeschreibung

Beweis

Bestimmen des Punktes M mithilfe zweier Zickzacklinien in einem gleichschenkligen Dreieck

Weiterführende Konstruktion bei gegebenem Umkreis bzw. bei gegebener Seitenlänge

Umkreis gegeben

Seitenlänge gegeben

Weblinks

Einzelnachweise

Anmerkungen

What are your Feelings

Siebeneck nach Archimedes

Geschichte

Konstruktion von Archimedes

Bestimmen des Teilungspunktes D

Beweis

Bestimmen des Endpunktes M der Strecke AM

Bestimmen des Punktes M mithilfe eines markierten Lineals

Konstruktionsbeschreibung

Beweis

Bestimmen des Punktes M mithilfe zweier Zickzacklinien in einem gleichschenkligen Dreieck

Weiterführende Konstruktion bei gegebenem Umkreis bzw. bei gegebener Seitenlänge

Umkreis gegeben

Seitenlänge gegeben

Weblinks

Einzelnachweise

Anmerkungen

What are your Feelings

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