„Siebeneck nach Archimedes“ – Versionsunterschied

Das Siebeneck nach Archimedes (auch bekannt als Siebeneck im Kreise) bezeichnet das Konstruktionsverfahren von Archimedes, mit dem die Seitenlänge eines regelmäßigen Siebenecks durch Generieren der Flächengleichheit zweier Dreiecke bestimmt wird. Die bekannte Darstellung der Konstruktion (siehe nebenstehendes Bild) ist der überlieferten Ausarbeitung von Thabit ibn Qurra nachempfunden.

Hierfür wird eine beliebige Strecke ${\overline {AM}}$ in den Punkten $C$ und $D$ so geteilt, dass gilt:

|{\overline {CM}}|^{2}=|{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {AD}}|

und

|{\overline {AD}}|^{2}=|{\overline {CD}}|\cdot |{\overline {DM}}|

.

Um die Bedingung der Flächengleichheit der Dreiecke (grün) zu erfüllen, gibt es vom Grundsatz her zwei mögliche Vorgehensweisen. Eine davon ist den hierfür erforderlichen Teilungspunkt $D$ einer Quadratseite zu ermitteln, um durch den im Weiteren erzeugten Schnittpunkt $U$ , mithilfe der Linie ab dem Eckpunkt $W$ durch $U$ , den Punkt $M$ zu erhalten. Die andere ist die, den Punkt $M$ direkt zu bestimmen. Beide Möglichkeiten werden im Folgenden auf unterschiedliche Art und Weise erörtert.

Allerdings ist dies – wie bei jedem regelmäßigen Siebeneck – nicht allein mit den klassischen Hilfsmitteln Zirkel und unmarkiertem Lineal exakt darstellbar, wohl aber zum Beispiel mit einem Hilfsmittel zur Dreiteilung des Winkels, einem markierten Lineal.

Geschichte

In der Geschichte der Mathematik ist zum regelmäßigen Siebeneck wenig zu finden. Insbesondere zu der Archimedes (287–212 v. Chr.) zugeschriebenen und im Folgenden beschriebenen Konstruktion aus seinem Buch über das „Siebeneck im Kreise ...“. Das in griechischer Sprache verfasste Werk ging, der Überlieferung von arabischen Gelehrten zufolge, verloren.^[1]

„In der Tat geschieht dieses Archimedischen Buches durch verschiedene arabische Gelehrte Erwähnung, die selbst Abhandlungen über das reguläre Siebeneck schrieben. Sämtliche dieser arabischen Texte sind uns erhalten, und so ist es möglich, den Anteil des A r c h i m e d e s an der Lösung des Siebeneckproblems in etwa festzustellen.“

– Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî^[1]

Erst rund 1100 Jahre später, sprich im 9. Jahrhundert, hat Thabit ibn Qurra (826–901)^{[A 1]} das Werk von Archimedes – er nannte es „Buch des Archimedes“ – ins Arabische übersetzt und somit den Beweis der Konstruktion von Archimedes für die Nachwelt erhalten (s. Abschnitt Beweis zu Punkt D). Das Buch des Archimedes zählt zu den ältesten arabischen Übersetzungen. Thabit ibn Qurra hatte viel Mühe aufgebracht, um die von „verständnislosen Abschreibern entstellten Sätze und Figuren“ aus dem Griechischen zu übertragen. Letztendlich vergingen nochmals rund 1100 Jahre, bis Carl Schoy (1877–1925) das Buch des Archimedes, das davon handelt, den Kreis in 7 gleiche Teile zu teilen, ins Deutsche übertrug. Schoy erhielt wertvolle Unterstützung von dem in Kairo lebenden Max Meyerhof der ihm alle arabischen Schriften über das Siebeneck überließ.^[1]

Konstruktion von Archimedes

In einem Quadrat $AWRC$ ^{[A 2]} mit beliebiger Seitenlänge wird eine Halbgerade ab dem Punkt $W$ gezogen, bis sie die Verlängerung der Quadratseite ${\overline {AC}}$ im Punkt $M$ schneidet. Für die dabei entstehenden Dreiecke gilt:

${\begin{aligned}\left(1\right)&&{\text{Flächeninhalt von }}\triangle {WRU}&={\text{Flächeninhalt von }}\triangle {CTM}.\end{aligned}}$ ^[2]

Die geometrische Konstruktion von Archimedes beruht hauptsächlich auf das Bestimmen der Streckenlänge $|{\overline {CM}}|$ . Hierzu nutzte er, so wird überliefert, die Konstruktionsmethode Einschiebung (Neusis). Sie entspricht in der Algebra der Lösung einer kubischen Gleichung.^[2] Die Art und Weise, wie er diese Einschiebung durchführte, um den maßgebenden Punkt $M$ exakt zu erhalten, ist nicht überliefert.^[3] Alhazen, ein arabischer Mathematiker (965–1040), war der Meinung, dass eine Lösung nur mithilfe der Kegelschnitte möglich sei.

„Es gründet A r c h i m e d e s die Konstruktion des Siebenecks auf das Quadrat, das er zuerst behandelt; aber wir wissen nicht, wie wir das Quadrat auf die Eigenschaft hinarbeiten sollen, welche seine Vorschrift enthält. Und dies ist uns nicht klar, weil die Hinarbeitung des Quadrates auf die Eigenschaft, welche die Bedingung (der Lösung) enthält, nur mittels Kegelschnitte möglich ist. Aber der Autor (Archimedes) gibt in seinem Buche, in dem er das Siebeneck behandelt, keinen Hinweis auf sie, und er sah nicht, daß er in seinem Buche das vermengte, was nicht gleichartig war.“

„Carl Schoy“

– Alhazen: Auseinandersetzung von Alhazen [Kurzform des Namens] über die Prämissen (zur Konstruktion) der Seite des Siebenecks.^[3]

Im Jahr 1992 schreibt Christoph J. Scriba den Aufsatz „Einige Bemerkungen zu antiken Konstruktionen“ in Amphora, einer Festschrift für Hans Wußing zu seinem 65. Geburtstag. Darin zitiert er Johannes Tropfke aus dessen Werk Die Siebeneckabhandlung des Archimedes:

„Aber diese Beziehung mit dem Schneiden eines Quadrates durch
eine Transversale – ein glänzender Einfall, der Bewunderung
verdient, dessen Entstehung man leider nicht mehr verfolgen
kann.“

– Christoph J. Scriba: 3.2 Erklärungsvorschlag zur Konstruktion des Archimedes^[4]

Eine Einschiebung mithilfe eines markierten Lineals, dessen Kante um den Punkt $W$ so gedreht ist, dass eine Strecke ${\overline {WM}}$ die Bedingung liefert, die Dreiecke ${WRU}$ und $CTM$ haben gleich große Flächeninhalte, ist offensichtlich nicht zielführend.^[5]^[3] Dies ist deshalb so, weil für jede Einschiebung die Voraussetzung besteht, dass der für die Markierung des Lineals erforderliche Abstand der beiden Marken konstruierbar ist. Die z. B. hierfür relevanten Streckenlängen $|{\overline {WT}}|$ oder $|{\overline {WM}}|$ erfüllen diese Bedingung nicht. Eine Möglichkeit der Einschiebung auf eine andere Art und Weise wird in Bestimmen des Punktes M mithilfe eines markierten Lineals beschrieben.

Die folgenden Ausführungen, dargestellt in moderner Sprache, lehnen sich an die Beschreibung von Thabit ibn Qurra an, die im Wesentlichen aus zwei Schritten besteht. Als ersten Schritt (Bild 1) wird zur Vorüberlegung eine Prinzipskizze der Strecke ${\overline {AM}}$ mit ihren Teilungspunkten $D$ und $C$ angefertigt. Darin sei $|{\overline {AC}}|$ die Seitenlänge des Quadrates, $|{\overline {AD}}|<|{\overline {AC}}|$ und $|{\overline {AM}}|>|{\overline {AC}}|,$ zugleich soll gelten:^[6]

${\begin{aligned}\left(2\right)&&|{\overline {CM}}|^{2}&=|{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {AD}}|\quad {\text{und}}\\\left(3\right)&&|{\overline {AD}}|^{2}&=|{\overline {CD}}|\cdot |{\overline {DM}}|\end{aligned}}$

Im zweiten Schritt (Bild 2) erweitert man die soeben erstellte Prinzipskizze. Hierzu wird zuerst über die Strecke ${\overline {AC}}$ mithilfe ${\overline {CM}}$ das gleichschenklige Dreieck $ACB$ errichtet. Verbindet man nun den Punkt $B$ mit $M,$ ergibt sich das ebenfalls gleichschenklige Dreieck $CMB.$ Nach Thabit ibn Qurra haben – bei exakt bestimmten Teilungspunkt $D$ und Endpunkt $M$ – die Winkel an den Scheiteln $M$ und $B$ jeweils die Winkelweite $\mu ={\tfrac {\pi }{7}}$ und an den Scheiteln $C$ (Supplementwinkel, Nebenwinkel) und $A$ jeweils die Winkelweite $2\mu ={\tfrac {2\pi }{7}}.$ Somit ist der Winkel $2\mu$ der Zentriwinkel des Siebenecks.^[7]

Bestimmen des Teilungspunktes D

Es bedarf dazu mindestens eines zusätzlichen Hilfsmittels, wie z. B. einer Parabel oder einer Parabel und Hyperbel^[8] oder des im Folgenden ermittelten Funktionsgraphen.^[7] Die Dreiecke ${ACB}$ und ${CMB}$ sind nicht Teil der Lösung, sie dienen lediglich der Veranschaulichung.

Für eine exakte Konstruktion (Bild 3) zeichnet man zuerst das Quadrat $AWRC$ mit der beliebigen Seitenlänge $a=|{\overline {AC}}|$ und verlängert anschließend ${\overline {AC}}$ über $C$ hinaus. Um die Dreiecke ${WRU}$ und ${CTM}$ mit gleich großen Flächeninhalten zu erhalten, reicht es, den Teilungspunkt $D$ zu bestimmen. Der fehlende Punkt $M$ ist anschließend mithilfe eines Lots von $D$ mit Fußpunkt $V$ und einer Halbgeraden ab $W$ durch den erzeugten Kreuzungspunkt $U$ zu finden.

Es sei $|{\overline {AD}}|=x,$ $|{\overline {AC}}|=a$ und $|{\overline {CM}}|=y,$ so dass gilt

${\begin{aligned}\left(4\right)&&y^{2}&=a\cdot x\quad {\text{und}}\\\left(5\right)&&x^{2}&=\left(a-x\right)\cdot \left(a+y-x\right)\end{aligned}}.$

Daraus ergibt sich für $y$

${\begin{aligned}\left(6\right)&&x^{2}&=\left(a-x\right)\cdot \left(a+y-x\right)\\&&0&=a^{2}+ay-2ax-xy\\&&2ax-a^{2}&=y\cdot \left(a-x\right)\\\left(7\right)&&y&=\left({\frac {a\left(2x-a\right)}{a-x}}\right)=a\cdot \left({\frac {2x-a}{a-x}}\right).\\\end{aligned}}$

Gleichung $\left(7\right)$ eingesetzt in $\left(4\right)$ ergibt:

${\begin{aligned}\left(8\right)&&ax&=a^{2}\cdot \left({\frac {2x-a}{a-x}}\right)^{2}=a^{2}\cdot {\frac {\left(2x-a\right)^{2}}{\left(a-x\right)^{2}}}.\\\end{aligned}}$

Gleichung $\left(8\right)$ multipliziert mit $\left(a-x\right)^{2}$ und anschließend dividiert durch $a$ ergibt:

${\begin{aligned}\left(9\right)&&x\cdot \left(a-x\right)^{2}&=a\cdot \left(2x-a\right)^{2},\\&&x\cdot \left(a^{2}-2ax+x^{2}\right)&=a\cdot \left(4x^{2}-4xa+a^{2}\right),\\&&xa^{2}-2ax^{2}+x^{3}&=4ax^{2}-4xa^{2}+a^{3},\\\end{aligned}}$

daraus folgt die kubische Gleichung

${\begin{aligned}\left(10\right)&&x^{3}&-6ax^{2}+5a^{2}x-a^{3}=0\end{aligned}}.$ ^[7]

Die Funktion $f(x)=x^{3}-6ax^{2}+5a^{2}x-a^{3}$ hat im Intervall $[0,|{\overline {AM}}|]$ zwei Nullstellen $x_{1}<x_{2}$ . Es gilt $D=(x_{2}\mid 0).$ Die dritte Nullstelle liegt außerhalb des Intervalls $[0,|{\overline {AM}}|]$ .

Wenn $A=\left(0\mid 0\right)$ als Koordinatenursprung festgelegt wird, sind die kartesischen Koordinaten des relevanten Punktes $D$ des Funktionsgraphen

${\begin{aligned}\quad &&D&=\left(a\cdot 0{,}643104132\ldots \mid 0\right)\end{aligned}}.$ ^[9]

Beweis zu Punkt D

Als Beweis für die Richtigkeit der Konstruktion von Archimedes, soll die folgende Teilung des Kreises in sieben gleich lange Bögen dienen.^[10]

Auf eine Gerade werden die Strecken mit den gegebenen Längen $|{\overline {AM}}|$ , $|{\overline {AD}}|$ und $|{\overline {AC}}|=a$ abgetragen, anschließend das gleichschenklige Dreieck $ACB$ mit $|{\overline {BC}}|=|{\overline {CM}}|$ eingezeichnet sowie die Punkte $B$ mit $M$ und $B$ mit $D$ verbunden. Nach dem Bestimmen des Umkreismittelpunktes $O_{1}$ mithilfe der beiden Senkrechten auf ${\overline {BM}}$ durch $C$ sowie auf ${\overline {AB}}$ durch $D,$ wird der Umkreis eingezeichnet. Es folgen die Verlängerungen der Strecken ${\overline {BD}}$ und ${\overline {BC}}$ , bis sie in $E$ bzw. $Z$ den Umkreis schneiden. Nun wird $A$ mit $Z$ verbunden, dabei ergibt sich der Schnittpunkt $H,$ der sogleich mit $C$ verbunden wird. Der Mittelpunkt $O_{2}$ des kleinen Kreises ergibt sich aus der Halbierung der Strecke ${\overline {BC}}$ in $L$ und der anschließenden Senkrechten zu ${\overline {BC}}$ in $L$ .

Aus der Darstellung (Bild 4) ist zu entnehmen ( $\operatorname {arc} =$ Kreisbogen):^[10]

|{\overline {MC}}|=|{\overline {CB}}|

im

\triangle {MBC}

daraus folgt:

\angle {BMC}=\angle {CBM},

\operatorname {arc} O_{1}ZM=\operatorname {arc} O_{1}BA,

folglich ist:

|{\overline {CD}}|\cdot |{\overline {DM}}|=|{\overline {DB}}|^{2}=|{\overline {AD}}|^{2}

und

\triangle {MBD}\sim \triangle {CBD},

denn

\angle {BMD}=\angle {DBC},

d. h.

\operatorname {arc} O_{1}EZ=\operatorname {arc} O_{1}BA.

Somit sind

\operatorname {arc} O_{1}BA,\operatorname {arc} O_{1}ZM

und

\operatorname {arc} O_{1}ZE

drei gleich lange Bögen. Darüber hinaus ist:

|{\overline {AZ}}|\parallel |{\overline {BM}}|

und

\angle {BMC}=\angle {DBC}=\angle {HAC},

|{\overline {BD}}|=|{\overline {AD}}|;\;|{\overline {CD}}|=|{\overline {HD}}|;\;|{\overline {BC}}|=|{\overline {AH}}|,

dies bedeutet die vier Punkte $A,B,C$ und $H$ liegen auf demselben Kreis mit Mittelpunkt $O_{2}.$ Wegen der Ähnlichkeit

\triangle {ACB}\sim \triangle {HBA}

folgt:

|{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {AD}}|=|{\overline {CB}}|^{2}=|{\overline {CM}}|^{2}

,

sowie der Ähnlichkeit

\triangle {BHC}\sim \triangle {CBD}

folgt:

|{\overline {HB}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {BC}}|^{2}.

Des Weiteren ist:

|{\overline {CA}}|=|{\overline {HB}}|

und

\angle {BCD}=\angle {CHB}=2\cdot \angle {BMC},

\angle {CHD}=\angle {DAB}=2\cdot \angle {BMC},

folglich ist:

\operatorname {arc} O_{1}MB=2\cdot \operatorname {arc} O_{1}BA,

wegen

\angle {ABD}=\angle {DAB},

ist auch

\operatorname {arc} O_{1}AE=2\cdot \operatorname {arc} O_{1}BA,

also ist jeder der Bögen

\operatorname {arc} O_{1}MB

und

\operatorname {arc} O_{1}AE=2\cdot O_{1}BA.

^[10]

Somit ist der Kreis $MBAEZ$ in sieben gleich lange Teile geteilt, was zu beweisen war.

Bestimmen des Endpunktes M der Strecke AM

Das nebenstehende Bild zeigt eine alternative Lösung. Darin wird der Punkt $M$ anstatt des Punktes $D$ bestimmt. Die Dreiecke ${ACB}$ und ${CMB}$ sowie die Punkte $D$ und $V$ sind nicht Teil der Lösung, sie dienen lediglich der Veranschaulichung.

Für eine exakte Konstruktion zeichnet man zuerst das Quadrat $AWRC$ mit der beliebigen Seitenlänge $a=|{\overline {AC}}|$ und verlängert ${\overline {AC}}$ über $C$ hinaus. Um die Dreiecke ${WRU}$ und ${CTM}$ mit gleich großen Flächeninhalten zu erhalten, reicht es den Punkt $M$ zu bestimmen. Abschließend wird die Verbindungslinie von Punkt $W$ bis Punkt $M$ eingetragen.

Vorüberlegung

Gesucht ist eine Funktion $f(x)$ deren Graph die x-Achse eines kartesischen Koordinatensystems in $M$ schneidet (Nullstelle) und somit die Strecke ${\overline {AM}}$ erzeugt.

Ansatz

Sei $a=1,$ dann ist die Länge der Strecke ${\overline {AM}}$ gleich dem Längenverhältnis der kleinsten Diagonale ${\overline {BM}}$ zur Seitenlänge $s$ des regelmäßigen Siebenecks (siehe hierzu Bild 4: Beweis durch Kreisteilung).^[11]

|{\overline {AM}}|={\tfrac {|{\overline {BM}}|}{s}}=2\cos \left({\tfrac {\pi }{7}}\right)=1{,}801\,937\,735\ldots

.

Dies führt über die kubische Gleichung^[12]

x^{3}-x^{2}-2x+1=0

schließlich zur Funktion

f(x)=x^{3}-x^{2}-2x+1

mit deren dritten Nullstelle in $M=\left(1{,}801\,937\,735\ldots \mid 0\right).$ Für allgemeine $a>0$ ergibt sich aufgrund linearer Skalierung entsprechend: $|{\overline {AM}}|=a\cdot 2\cos \left({\tfrac {\pi }{7}}\right)=a\cdot 1{,}801\,937\,735\ldots$ .^[13]

Bestimmen des Punktes M mithilfe eines markierten Lineals

Wie im Abschnitt Konstruktion von Archimedes erläutert, gibt es keine Überlieferung wie er ein markiertes Lineal in seiner speziellen Neusis-Konstruktion nutzte, um den Punkt $M$ zu erhalten.

Nichtsdestotrotz gibt es die Möglichkeit der Einschiebung (Bild 6) mithilfe der bereits bekannten Methode für ein Siebeneck mit gegebener Seitenlänge von David Johnson Leisk (auch Crockett Johnson genannt). In seiner Veröffentlichung aus dem Jahr 1975 beschreibt er den Lösungsweg zum Bestimmen der Hälfte des Zentriwinkels $\mu ={\tfrac {\pi }{7}}$ mithilfe eines Quadrats und z. B. des gleichschenkligen Dreiecks $AEC$ . Die Weiterführung liefert den Umkreismittelpunkt $O$ des Siebenecks.^[14]

Konstruktionsbeschreibung

Es beginnt mit dem Quadrat $AWRC$ mit der Seitenlänge $a$ und der Diagonalen ${\overline {AR}}$ . Es folgt der Kreisbogen $b$ um $C$ mit dem Radius $|{\overline {CW}}|$ und die Mittelsenkrechte der Strecke ${\overline {AC}}$ . Nun wird das Lineal mit der Markierung der Seitenlänge $a$ so platziert, dass ein Endpunkt der Markierung auf der Mittelsenkrechten, der zweite auf dem Kreisbogen $b$ liegt und die Kante des Lineals durch den Punkt $A$ verläuft. Die Bezeichnung der so gefundenen Punkte $E$ und $F$ sowie die Verbindungen des Punktes $E$ mit $A$ und $C$ schließen sich an. Somit ergibt sich am Winkelscheitel $E$ die Hälfte des Zentriwinkels $\mu ={\tfrac {\pi }{7}}$ .

Weiter geht es mit der Halbierung der Strecke ${\overline {AE}}$ in $G$ und dem Errichten einer Orthogonalen (Senkrechte) auf ${\overline {AE}}$ in $G$ mit Schnittpunkt $O$ auf der Mittelsenkrechten. Anschließend um $O$ den Umkreis $k_{1}$ des Dreiecks $ECA$ mit dem Radius $|{\overline {OE}}|$ ziehen; der Schnittpunkt ist $I$ . Ab dem Punkt $I$ trägt man einmal in Richtung $E$ die Seitenlänge $a$ des Quadrates auf dem Kreis ab; es ergibt den Schnittpunkt $J$ . Nun bedarf es noch einer Verlängerung der Strecke ${\overline {AC}}$ ab $C$ und einer Halbgeraden ab $J$ durch $I$ bis sie die Verlängerung ab $C$ im gesuchten Punkt $M$ trifft.

Beweis zu Punkt M

Ein möglicher Beweis ist (Bild 7), wenn nachgewiesen werden kann, dass das Dreieck $MAI$ ein gleichschenkliges Dreieck ist. Mit anderen Worten:

Die Sehne ${\overline {AI}}$ des Kreises $k_{1}$ und die Strecke ${\overline {AM}}$ müssen gleich lang sein.

Im gleichschenkligen Dreieck $AIC$ mit den Schenkeln $a$ ist die Sehne ${\overline {AI}}$ eine Diagonale über zwei Seiten eines Siebenecks mit dem Innenwinkel $\alpha ={\tfrac {5}{7}}\cdot 180^{\circ }$ . Die Seitenlänge c = $|{\overline {AI}}|$ ergibt sich aus:

|{\overline {AI}}|=2\cdot a\cdot \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=a\cdot 1{,}801937735\ldots

.^{[A 3]}

Ergebnis der Berechnung der Strecke $|{\overline {AM}}|$ aus dem Abschnitt Bestimmen des Endpunktes M der Strecke AM, Absatz Funktionsgraph, allgemein:

|{\overline {AM}}|=a\cdot 1{,}801\,937\,735\ldots

.,

daraus folgt

|{\overline {AI}}|=|{\overline {AM}}|

.

Was zu beweisen war.

Bestimmen des Punktes M mithilfe zweier Zickzacklinien in einem gleichschenkligen Dreieck

Archibald H. Finlay veröffentlichte 1959 in The Mathematical Gazette unter dem Titel 2863. Zig-Zag-paths. einen Kreis mit acht speziellen Kreissektoren die unterschiedliche Zickzacklinien beinhalten. Ein Kreissektor zeigt ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Zentriwinkel ${\tfrac {180^{\circ }}{7}}=\phi$ eines Vierzehnecks, den beiden Basiswinkeln mit je $3\phi$ sowie zwei sich kreuzende, vom Dreieck umschriebene Zickzacklinien mit sieben gleich langen Geradenabschnitten.^[15]

Das Zusammenspiel des Dreiecks $ABB'$ mit Seite $a$ des Quadrates und den beiden Zickzacklinien, ermöglicht das Finden des Punktes $M$ der Strecke $|{\overline {AM}}|$ .^[16] Es ist vorteilhaft die Konstruktion (Bild 8) mittels einer Dynamischen-Geometrie-Software zu erstellen. Für eine Konstruktion auf Papier gäbe es z. B. auch die Möglichkeit den beweglichen Winkelschenkel durch einen Papierstreifen zu ersetzen oder man nimmt dazu – für eine pragmatische Lösung – einfach sieben gleich lange Zahnstocher.^[17] Die weitere Vorgehensweise wäre gleich wie die im Folgenden beschriebene bzw. wie die in der Animation (Bild 8) gezeigte.

Vorgehensweise

Nach der Konstruktion des Quadrates $AWRC$ und dem Einzeichnen der Diagonalen ${\overline {AR}}$ , wird die Seite $a=|{\overline {AC}}|$ des Quadrates mittels einer Halbgeraden über $C$ hinaus verlängert. Dies ergibt den feststehenden Winkelschenkel für den späteren Winkels $\phi$ . Eine nun folgende zweite Halbgerade ab dem Scheitel $A$ , sprich, der bewegliche Winkelschenkel, schließt einen Winkel mit noch unbestimmter Winkelweite ein.

Es geht weiter mit den zwei sich kreuzenden Zickzacklinien, d. h. mit dem Eintragen der vorerst fünf Seitenlängen $a$ – eine ist die Quadratseite. Beginnend mit der ersten Zickzacklinie beim Scheitel $A$ , wird zuerst auf dem beweglichen Winkelschenkel die Länge $a$ abgetragen; dabei ergibt sich der Schnittpunkt $X$ . Es folgt, wieder mithilfe $a$ , das vorläufige Bestimmen der Punkte $M$ und $B'$ . Auf die gleiche Art und Weise werden die Punkte $Y$ und $B$ der zweiten Zickzacklinie eingetragen. Die siebte Länge $a$ (rot, Grundlinie des gesuchten Dreiecks $ABB'$ ) wird nahe $B$ auf dem feststehenden Winkelschenkel platziert.

Um das Dreieck $ABB'$ zu erhalten, bedarf es noch der Verbindung der Grundlinie $a$ (rot) mit den Endpunkten $B$ und $B'$ der beiden Zickzacklinien. Die Animation (Bild 8) zeigt ein Beispiel, wie dies erreicht werden kann.

Mit dem fertiggestellten Dreieck $ABB'$ ist der Punkt $M$ so platziert, dass die Dreiecke $WRU$ und $TMC$ nun den gewünschten gleichen Flächeninhalt haben.^{[A 4]}

Weiterführende Konstruktion bei gegebenem Umkreis bzw. bei gegebener Seitenlänge

Umkreis gegeben

Siehe hierzu Bild 9

Ausgehend von den konstruierten Punkten $D$ und $M$ , zieht man zuerst ab dem Winkelscheitel $A$ die Halbgerade $g_{1}$ mit der Winkelweite ${\tfrac {\mu }{2}}.$ Es folgt das Abtragen des gegebenen Umkreisradius $r$ auf die Halbgerade $g_{1}$ ab $A;$ dabei ergibt sich der Mittelpunkt $O$ des Umkreises. Nun zieht man um $O$ den Umkreis des gesuchten Siebenecks mit dem Radius $r=|{\overline {AO}}|.$ Schneidet der Umkreis die Strecke ${\overline {AB}}$ in $E,$ so ist die Seitenlänge $s$ hiermit gefunden. Schneidet der Umkreis die Strecke ${\overline {AB}}$ nicht, wird ab $B$ die Halbgerade $g_{2}$ gezogen, bis sie den Umkreis in $E$ schneidet und so die Seitenlänge $s$ liefert. Abschließend wird die Seitenlänge $s$ fünfmal gegen den Uhrzeigersinn abgetragen und die noch fehlenden Seiten des Siebenecks eingezeichnet.

Seitenlänge gegeben

Siehe hierzu Bild 10

Ausgehend von den konstruierten Punkten $D$ und $M$ , zieht man zuerst ab dem Winkelscheitel $A$ die Halbgerade $g_{1}$ mit der Winkelweite ${\tfrac {\mu }{2}}.$ Nun soll die gegebene Seitenlänge $s$ bestimmt werden. Ist die Seitenlänge $s=|{\overline {AE}}|\leq |{\overline {AB}}|,$ wird sie auf ${\overline {AB}}$ abgetragen. Andernfalls ist zuvor ab $B$ die Halbgerade $g_{2}$ zu ziehen, um drauf $E$ platzieren zu können. Nach dem Einzeichnen eines Kreisbogens mit dem Radius $|{\overline {AE}}|$ um $A$ bis die Strecke ${\overline {AM}}$ in $F$ geschnitten wird, zieht man eine Linie ab $E$ durch $F$ auf die Halbgerade $g_{1}$ . Dabei ergibt sich der Schnittpunkt $O$ sowie das Dreieck ${AOE}$ . Wegen Ähnlichkeit der Dreiecke ${AOE}\sim {AFE}$ entspricht der am Eckpunkt $O$ eingeschlossene Winkel dem Zentriwinkel $2\mu ={\tfrac {2\pi }{7}}$ des Siebenecks und $O$ dem Mittelpunkt des gesuchten Umkreises. Abschließend wird der Umkreis um $O$ mit dem Radius $r=|{\overline {AO}}|$ gezogen, die Seitenlänge $s$ fünfmal gegen den Uhrzeigersinn abgetragen und die noch fehlenden Seiten des Siebenecks eingezeichnet.

Literatur

Johannes Tropfke: Die Siebeneckabhandlung des Archimedes, The University of Chicago Press Journals, Osiris Band 1
Christoph J. Scriba: Einige Bemerkungen zu antiken Konstruktionen in 3 Die Siebeneckskonstruktion nach Archimedes, Amphora Festschrift für Hans Wußing zu seinem 65. Geburtstag, S. 677–692, 1992 Springer Basel AG, ISBN 978-3-0348-9696-2.
J. L. Berggren: Geometrische Konstruktionen in der Islamischen Welt. (PDF) §4 Abu Sahl al-Quhi über das regelmäßige Siebeneck. spektrum.de, 2011, S. 83–89, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 20. August 2021; abgerufen am 18. Juni 2023.
Jan P. Hogendijk: Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon in 4. Arabic Constructions of the Regular Heptagon, JSTOR Journal Article in Archive for History of Exact Sciences, Band.30, Nr. 3/4 (1984), S. 217 ff., Springer
Christian Marinus Taisbak: Analysis of the So-called “Lemma of Archimedes” for Constructing a Regular Heptagon Wiley Online Library, Centaurus, Juli 1993, Band 36, S. 191–199
Wilbur R. Knorr: On Archimedes' Construction of the Regular Heptagon Wiley Online Library, Centaurus, Oktober 1989, Band 32, S. 257–271 am 20. August 2021

Weblinks

Commons: Siebeneck nach Archimedes – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Siebeneck nach David Johnson Leisk

Einzelnachweise

↑ ^a ^b ^c Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî, Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 74, Digitalisat (PDF; 4,2 MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 14. Oktober 2019.
↑ ^a ^b H.-W. Alten, A. Djafari Naini, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wußing: 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen. 2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch ”Einschiebung“ von Archimedes. Springer–Verlag, Berlin/ Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-43554-9, S. 80.
↑ ^a ^b ^c Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî, Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 85 (Abschnitt: Übersetzung), Digitalisat (PDF; 4,2 MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 16. Mai 2023.
↑ Christoph J. Scriba: Einige Bemerkungen zu antiken Konstruktionen, J. TROPFKE schrieb in [TROPFKE 1936], S. 684 „über diese archimedische Konstruktion:“
↑ J. L. Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. (PDF) §4 Abu Sahl über das regelmäßige Siebeneck. archive.org, 20. August 2021, S. 83, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 20. August 2021; abgerufen am 22. Oktober 2021.
↑ H.-W. Alten, A. Djafari Naini, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wußing: 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen. 2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch ”Einschiebung“ von Archimedes. Springer–Verlag, Berlin/ Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-43554-9, S. 81.
↑ ^a ^b ^c H.-W. Alten, A. Djafari Naini, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wußing: 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen. 2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch ”Einschiebung“ von Archimedes. Springer–Verlag, Berlin/ Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-43554-9, S. 81–82.
↑ Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî, Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 84 ff., Digitalisat (PDF; 4,2 MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 14. Oktober 2019.
↑ 3 Nullstellen des Funktionsgraphen. Wolfram Alpha, abgerufen am 13. Juli 2020.
↑ ^a ^b ^c Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî, Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 83, Digitalisat (PDF; 4,2 MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 14. Oktober 2019.
↑ OEIS COMMENTS, rho(7):= 2*cos(Pi/7) is the length ratio (smallest diagonal)/side in the regular 7-gon (heptagon).
↑ OEIS COMMENTS, An algebraic integer of degree 3 with minimal polynomial x^3 - x^2 - 2x + 1.
↑ OEIS COMMENTS, rho(7):= 2*cos(Pi/7)
↑ Crockett Johnson: A Construction for a Regular Heptagon. (PDF) In: The Mathematical Gazette. Florida Atlantic University, März 1975, S. 17–19, abgerufen am 19. Dezember 2021.
↑ Archibald H. Finlay: 2863. Zig-Zag paths. (PDF) In: The Mathematical Gazette. Cambridge University Press, 3. November 2016, S. 199, abgerufen am 25. Januar 2022.
↑ Crockett Johnson: A Construction for a Regular Heptagon. (PDF) In: The Mathematical Gazette. Florida Atlantic University, März 1975, S. 19–20, abgerufen am 10. März 2022.
↑ Eric W. Weisstein: Regular Heptagon. In: The Mathematical Gazette. MathWorld, A Wolfram Web Resource, abgerufen am 21. Juni 2023.

Anmerkungen

↑ In der Literatur findet man häufig auch 836 A.D. als Geburtsjahr
↑ Die Bezeichnungen der Punkte sind dem Buch von H.-W. Alten 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen, S. 81 entnommen.
↑ = Längeneinheit
↑ ^a ^b Das Dreieck ABC in A Construction for a Regular Heptagon. wird durch den Zentriwinkel ${\tfrac {180^{\circ }}{7}}=\phi$ des Vierzehnecks und der Seitenlänge $a$ des Quadrates bestimmt. Es müsste daher richtig heißen auf S. 20, Ende des letzten Absatzes: If AY equals BF then AX is BA, XY is AF, YB is AE.

Dieser Artikel befindet sich in einer Auszeichnungskandidatur und wird neu bewertet, beteilige dich an der Diskussion!

[Carl_Schoy-1] Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî, Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 74, Digitalisat (PDF; 4,2 MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 14. Oktober 2019.

[H.-W._Alten-4] H.-W. Alten, A. Djafari Naini, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wußing: 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen. 2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch ”Einschiebung“ von Archimedes. Springer–Verlag, Berlin/ Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-43554-9, S. 80.

[Carl-5] Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî, Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 85 (Abschnitt: Übersetzung), Digitalisat (PDF; 4,2 MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 16. Mai 2023.

[6] Christoph J. Scriba: Einige Bemerkungen zu antiken Konstruktionen, J. TROPFKE schrieb in [TROPFKE 1936], S. 684 „über diese archimedische Konstruktion:“

[7] J. L. Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. (PDF) §4 Abu Sahl über das regelmäßige Siebeneck. archive.org, 20. August 2021, S. 83, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 20. August 2021; abgerufen am 22. Oktober 2021.

[Alten-8] H.-W. Alten, A. Djafari Naini, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wußing: 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen. 2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch ”Einschiebung“ von Archimedes. Springer–Verlag, Berlin/ Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-43554-9, S. 81.

[Naini-9] H.-W. Alten, A. Djafari Naini, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wußing: 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen. 2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch ”Einschiebung“ von Archimedes. Springer–Verlag, Berlin/ Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-43554-9, S. 81–82.

[10] Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî, Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 84 ff., Digitalisat (PDF; 4,2 MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 14. Oktober 2019.

[11] 3 Nullstellen des Funktionsgraphen. Wolfram Alpha, abgerufen am 13. Juli 2020.

[Schoy-12] Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî, Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 83, Digitalisat (PDF; 4,2 MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 14. Oktober 2019.

[13] OEIS COMMENTS, rho(7):= 2*cos(Pi/7) is the length ratio (smallest diagonal)/side in the regular 7-gon (heptagon).

[OEIS_COMMENTS-14] OEIS COMMENTS, An algebraic integer of degree 3 with minimal polynomial x^3 - x^2 - 2x + 1.

[15] OEIS COMMENTS, rho(7):= 2*cos(Pi/7)

[Crockett_Johnson-16] Crockett Johnson: A Construction for a Regular Heptagon. (PDF) In: The Mathematical Gazette. Florida Atlantic University, März 1975, S. 17–19, abgerufen am 19. Dezember 2021.

[19] Archibald H. Finlay: 2863. Zig-Zag paths. (PDF) In: The Mathematical Gazette. Cambridge University Press, 3. November 2016, S. 199, abgerufen am 25. Januar 2022.

[20] Crockett Johnson: A Construction for a Regular Heptagon. (PDF) In: The Mathematical Gazette. Florida Atlantic University, März 1975, S. 19–20, abgerufen am 10. März 2022.

[21] Eric W. Weisstein: Regular Heptagon. In: The Mathematical Gazette. MathWorld, A Wolfram Web Resource, abgerufen am 21. Juni 2023.

[Qurra-2] In der Literatur findet man häufig auch 836 A.D. als Geburtsjahr

[3] Die Bezeichnungen der Punkte sind dem Buch von H.-W. Alten 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen, S. 81 entnommen.

[17] = Längeneinheit

[Johnson-18] Das Dreieck ABC in A Construction for a Regular Heptagon. wird durch den Zentriwinkel ${\tfrac {180^{\circ }}{7}}=\phi$ des Vierzehnecks und der Seitenlänge $a$ des Quadrates bestimmt. Es müsste daher richtig heißen auf S. 20, Ende des letzten Absatzes: If AY equals BF then AX is BA, XY is AF, YB is AE.

[1]

[A 1]

[A 2]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[A 3]

[A 4]

[15]

[16]

[17]

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 Das '''Siebeneck nach [[Archimedes]]''' (auch bekannt als '''Siebeneck im Kreise''') bezeichnet das Konstruktionsverfahren von Archimedes, mit dem die Seitenlänge eines regelmäßigen [[Siebeneck]]s durch Generieren der Flächengleichheit zweier Dreiecke bestimmt wird. Die bekannte Darstellung der Konstruktion (siehe nebenstehendes Bild) ist der überlieferten Ausarbeitung von [[Thabit ibn Qurra]] nachempfunden.
-Hierfür wird eine beliebige Strecke ''{{Oberstrich|AM}}'' in den Punkten ''C'' und ''D'' so geteilt, dass gilt:
+Hierfür wird eine beliebige Strecke <math>\overline{AM}</math> in den Punkten <math>C</math> und <math>D</math> so geteilt, dass gilt:
 : <math>|\overline{CM}|^2 = |\overline{AC}|\cdot |\overline{AD}|</math> und <math> |\overline{AD}|^2 = |\overline{CD}|\cdot |\overline{DM}|</math>.
-Um die Bedingung der Flächengleichheit der Dreiecke (grün) zu erfüllen, gibt es vom Grundsatz her zwei mögliche Vorgehensweisen. Eine davon ist den hierfür erforderlichen Teilungspunkt ''D'' einer Quadratseite zu ermitteln, um durch den im Weiteren erzeugten Schnittpunkt ''U'', mithilfe der Linie ab dem Eckpunkt ''W'' durch ''U'', den Punkt ''M'' zu erhalten. Die andere ist die, den Punkt ''M'' direkt zu bestimmen. Beide Möglichkeiten werden im Folgenden auf unterschiedliche Art und Weise erörtert.
+Um die Bedingung der Flächengleichheit der Dreiecke (grün) zu erfüllen, gibt es vom Grundsatz her zwei mögliche Vorgehensweisen. Eine davon ist den hierfür erforderlichen Teilungspunkt <math>D</math> einer Quadratseite zu ermitteln, um durch den im Weiteren erzeugten Schnittpunkt <math>U</math>, mithilfe der Linie ab dem Eckpunkt <math>W</math> durch <math>U</math>, den Punkt <math>M</math> zu erhalten. Die andere ist die, den Punkt <math>M</math> direkt zu bestimmen. Beide Möglichkeiten werden im Folgenden auf unterschiedliche Art und Weise erörtert.
 Allerdings ist dies – wie bei jedem regelmäßigen Siebeneck – nicht allein mit den klassischen Hilfsmitteln [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Zirkel und unmarkiertem Lineal]] exakt darstellbar, wohl aber zum Beispiel mit einem Hilfsmittel zur [[Dreiteilung des Winkels#Nichtklassische Verfahren|Dreiteilung des Winkels]], einem markierten Lineal.
@@ Zeile 23: / Zeile 23: @@
 == Konstruktion von Archimedes ==
-[[Datei:01 Siebeneck-Archimedes-Animation.gif|hochkant=1.8|mini|Konstruktion von Archimedes, erst wenn die Dreiecke <math>WRU</math> und <math>CTM</math> den gleichen Flächeninhalt haben (grün), entspricht die Strecke <math>|\overline{CM}|</math> der Seitenlänge eines regelmäßigen Siebenecks, Animation mit 10 s Pause am Ende.]]
+[[Datei:01 Siebeneck-Archimedes-Animation.gif|hochkant=1.8|mini|Konstruktion von Archimedes, erst wenn die Dreiecke <math>WRU</math> und <math>CTM</math> den gleichen Flächeninhalt haben (grün), entspricht die Strecke <math>\overline{CM}</math> der Seitenlänge eines regelmäßigen Siebenecks, Animation mit 10 s Pause am Ende.]]
 In einem Quadrat <math>AWRC</math><ref group="A">Die Bezeichnungen der Punkte sind dem Buch von H.-W. Alten ''4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen'', S. 81 entnommen.</ref> mit beliebiger Seitenlänge wird eine Halbgerade ab dem Punkt <math>W</math> gezogen, bis sie die Verlängerung der Quadratseite <math>\overline{AC}</math> im Punkt <math>M</math> schneidet. Für die dabei entstehenden Dreiecke gilt:
@@ Zeile 48: / Zeile 48: @@
 Eine Einschiebung mithilfe eines markierten Lineals, dessen Kante um den Punkt <math>W</math> so gedreht ist, dass eine Strecke <math>\overline{WM}</math> die Bedingung liefert, die Dreiecke <math>{WRU}</math> und  <math>CTM</math> haben gleich große Flächeninhalte, ist offensichtlich nicht zielführend.<ref>{{Internetquelle |autor=J. L. Berggren |url=https://www.spektrum.de/sixcms/media.php/370/Leseprobe.833837.pdf |titel=Mathematik im mittelalterlichen Islam |titelerg=§4 Abu Sahl über das regelmäßige Siebeneck |hrsg=archive.org |datum=2021-08-20 |seiten=83 |format=PDF |offline=1 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20210820001132/https://www.spektrum.de/sixcms/media.php/370/Leseprobe.833837.pdf |archiv-datum=2021-08-20 |abruf=2021-10-22}}</ref><ref name="Carl">Carl Schoy: ''Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî'', Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 85 (Abschnitt: ''Übersetzung''), [http://www.jphogendijk.nl/arabsci/Schoy-TL-74-91.pdf#page=2&zoom=auto,561,763 Digitalisat] (PDF; 4,2&nbsp;MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 16. Mai 2023.</ref> Dies ist deshalb so, weil für jede Einschiebung die Voraussetzung besteht, dass der für die Markierung des Lineals erforderliche [[Abstand]] der beiden Marken [[Konstruierbare Zahl|konstruierbar]] ist. Die z.&nbsp;B. hierfür relevanten Streckenlängen <math>|\overline{WT}|</math> oder <math>|\overline{WM}|</math> erfüllen diese Bedingung nicht. Eine Möglichkeit der Einschiebung auf eine andere Art und Weise wird in ''[[#Bestimmen des Punktes M mithilfe eines markierten Lineals|Bestimmen des Punktes M mithilfe eines markierten Lineals]]'' beschrieben.
-Die folgenden Ausführungen, dargestellt ''in moderner Sprache'', lehnen sich an die Beschreibung von Thabit ibn Qurra an, die im Wesentlichen aus zwei Schritten besteht. Als ersten Schritt (Bild 1) wird zur Vorüberlegung eine Prinzipskizze der Strecke <math>\overline{AM}</math> mit ihren Teilungspunkten <math>D</math> und <math>C</math> angefertigt. Darin sei <math>|\overline{AC}|</math> die Seitenlänge |des Quadrates, <math>|\overline{AD}| < |\overline{AC}|</math> und <math>|\overline{AM}| > |\overline{AC}|,</math> zugleich soll gelten:<ref name="Alten">{{Literatur |Autor=H.-W. Alten, A. Djafari Naini, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wußing |Titel=4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen |TitelErg=2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch ”Einschiebung“ von Archimedes |Verlag=Springer–Verlag |Ort=Berlin/ Heidelberg |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-43554-9 |Seiten=81}}</ref>
+Die folgenden Ausführungen, dargestellt ''in moderner Sprache'', lehnen sich an die Beschreibung von Thabit ibn Qurra an, die im Wesentlichen aus zwei Schritten besteht. Als ersten Schritt (Bild 1) wird zur Vorüberlegung eine Prinzipskizze der Strecke <math>\overline{AM}</math> mit ihren Teilungspunkten <math>D</math> und <math>C</math> angefertigt. Darin sei <math>|\overline{AC}|</math> die Seitenlänge des Quadrates, <math>|\overline{AD}| < |\overline{AC}|</math> und <math>|\overline{AM}| > |\overline{AC}|,</math> zugleich soll gelten:<ref name="Alten">{{Literatur |Autor=H.-W. Alten, A. Djafari Naini, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wußing |Titel=4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen |TitelErg=2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch ”Einschiebung“ von Archimedes |Verlag=Springer–Verlag |Ort=Berlin/ Heidelberg |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-43554-9 |Seiten=81}}</ref>
 <math>\begin{align}\left(2 \right) &&|\overline{CM}|^2 &= |\overline{AC}|\cdot |\overline{AD}| \quad\text{und}\\
@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
 Es bedarf dazu mindestens eines zusätzlichen Hilfsmittels, wie z.&nbsp;B. einer [[Parabel (Mathematik)|Parabel]] oder einer Parabel und [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]]<ref>Carl Schoy: ''Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî'', Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 84 ff., [http://www.jphogendijk.nl/arabsci/Schoy-TL-74-91.pdf#page=7&zoom=auto,567,947 Digitalisat] (PDF; 4,2&nbsp;MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 14. Oktober 2019.</ref> oder des im Folgenden ermittelten [[Funktionsgraph]]en.<ref name="Naini" /> Die Dreiecke <math>{ACB}</math> und <math>{CMB}</math> sind nicht Teil der Lösung, sie dienen lediglich der Veranschaulichung.
-Für eine exakte Konstruktion (Bild 3) zeichnet man zuerst das Quadrat <math>AWRC</math> mit der beliebigen Seitenlänge <math>a = |\overline{AC}|</math> und verlängert anschließend <math>|\overline{AC}|</math> über <math>C</math> hinaus. Um die Dreiecke <math>{WRU}</math> und <math>{CTM}</math> mit gleich großen Flächeninhalten zu erhalten, reicht es, den Teilungspunkt <math>D</math> zu bestimmen. Der fehlende Punkt <math>M</math> ist anschließend mithilfe eines Lots von <math>D</math> mit Fußpunkt <math>V</math> und einer Halbgeraden ab <math>W</math> durch den erzeugten Kreuzungspunkt <math>U</math> zu finden.
+Für eine exakte Konstruktion (Bild 3) zeichnet man zuerst das Quadrat <math>AWRC</math> mit der beliebigen Seitenlänge <math>a = |\overline{AC}|</math> und verlängert anschließend <math>\overline{AC}</math> über <math>C</math> hinaus. Um die Dreiecke <math>{WRU}</math> und <math>{CTM}</math> mit gleich großen Flächeninhalten zu erhalten, reicht es, den Teilungspunkt <math>D</math> zu bestimmen. Der fehlende Punkt <math>M</math> ist anschließend mithilfe eines Lots von <math>D</math> mit Fußpunkt <math>V</math> und einer Halbgeraden ab <math>W</math> durch den erzeugten Kreuzungspunkt <math>U</math> zu finden.
 Es sei <math>|\overline{AD}| = x, </math> <math>|\overline{AC}| = a </math> und <math>|\overline{CM}| = y,</math> so dass gilt
@@ Zeile 103: / Zeile 103: @@
 === Beweis zu Punkt D ===
-[[Datei:01 Siebeneck-Archimedes-Beweis.svg|hochkant=1.8|mini|Bild 4: Beweis durch Kreisteilung, darin ist <math>|\overline{AC}| = a </math> und die<br />Seitenlänge <math>s = |\overline{CM}| = |\overline{AB}|</math>, <math>|\overline{BM}|</math> ist die kleinste Diagonale.]]
+[[Datei:01 Siebeneck-Archimedes-Beweis.svg|hochkant=1.8|mini|Bild 4: Beweis durch Kreisteilung, darin ist <math>|\overline{AC}| = a </math> und die<br />Seitenlänge <math>s = |\overline{CM}| = |\overline{AB}|</math>, <math>\overline{BM}</math> ist die kleinste Diagonale.]]
 Als Beweis für die Richtigkeit der Konstruktion von Archimedes, soll die folgende Teilung des Kreises in sieben gleich lange Bögen dienen.<ref name="Schoy">Carl Schoy: ''Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî'', Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 83, [http://www.jphogendijk.nl/arabsci/Schoy-TL-74-91.pdf#page=6&zoom=auto,100,771 Digitalisat] (PDF; 4,2&nbsp;MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 14. Oktober 2019.</ref>
-Auf eine Gerade werden die gegebenen Strecken <math>|\overline{AM}|, </math> <math>|\overline{AD}|</math> und <math>|\overline{AC}| = a</math> abgetragen, anschließend das gleichschenklige Dreieck <math>ACB</math> mit <math>|\overline{BC}| = |\overline{CM}|</math> eingezeichnet sowie die Punkte <math>B</math> mit <math>M</math> und <math>B</math> mit <math>D</math> verbunden. Nach dem Bestimmen des Umkreismittelpunktes <math>O_1</math> mithilfe der beiden Senkrechten auf <math>|\overline{BM}|</math> durch <math>C</math> sowie auf <math>|\overline{AB}|</math> durch <math>D,</math> wird der Umkreis eingezeichnet. Es folgen die Verlängerungen der Strecken <math>\overline{BD}</math> und <math>\overline{BC}</math>, bis sie in <math>E</math> bzw. <math>Z</math> den Umkreis schneiden. Nun wird <math>A</math> mit <math>Z</math> verbunden, dabei ergibt sich der Schnittpunkt <math>H,</math> der sogleich mit <math>C</math> verbunden wird. Der Mittelpunkt <math>O_2</math> des kleinen Kreises ergibt sich aus der Halbierung der Strecke <math>\overline{BC}</math> in <math>L</math> und der anschließenden Senkrechten zu <math>|\overline{BC}|</math> in <math>L</math>.
+Auf eine Gerade werden die Strecken mit den gegebenen Längen <math>|\overline{AM}|</math>, <math>|\overline{AD}|</math> und <math>|\overline{AC}| = a</math> abgetragen, anschließend das gleichschenklige Dreieck <math>ACB</math> mit <math>|\overline{BC}| = |\overline{CM}|</math> eingezeichnet sowie die Punkte <math>B</math> mit <math>M</math> und <math>B</math> mit <math>D</math> verbunden. Nach dem Bestimmen des Umkreismittelpunktes <math>O_1</math> mithilfe der beiden Senkrechten auf <math>\overline{BM}</math> durch <math>C</math> sowie auf <math>\overline{AB}</math> durch <math>D,</math> wird der Umkreis eingezeichnet. Es folgen die Verlängerungen der Strecken <math>\overline{BD}</math> und <math>\overline{BC}</math>, bis sie in <math>E</math> bzw. <math>Z</math> den Umkreis schneiden. Nun wird <math>A</math> mit <math>Z</math> verbunden, dabei ergibt sich der Schnittpunkt <math>H,</math> der sogleich mit <math>C</math> verbunden wird. Der Mittelpunkt <math>O_2</math> des kleinen Kreises ergibt sich aus der Halbierung der Strecke <math>\overline{BC}</math> in <math>L</math> und der anschließenden Senkrechten zu <math>\overline{BC}</math> in <math>L</math>.
 Aus der Darstellung (Bild 4) ist zu entnehmen (<math> \operatorname{arc} = </math> Kreisbogen):<ref name="Schoy" />
@@ Zeile 140: / Zeile 140: @@
 === Bestimmen des Endpunktes M der Strecke {{Overline|AM}} ===
-[[Datei:01 Siebeneck-Archimedes-Punkt M-a-Animation.gif|mini|hochkant=1.8|Bild 5: Bestimmen der Strecke <math>|\overline{AM}|</math> mithilfe des Graphen der Funktion <math>f(x)</math> als Animation]]
+[[Datei:01 Siebeneck-Archimedes-Punkt M-a-Animation.gif|mini|hochkant=1.8|Bild 5: Bestimmen der Strecke <math>\overline{AM}</math> mithilfe des Graphen der Funktion <math>f(x)</math> als Animation]]
 Das nebenstehende Bild zeigt eine alternative Lösung. Darin wird der Punkt <math>M</math> anstatt des Punktes <math>D</math> bestimmt. Die Dreiecke <math>{ACB}</math> und <math>{CMB}</math> sowie die Punkte <math>D</math> und <math>V</math> sind nicht Teil der Lösung, sie dienen lediglich der Veranschaulichung.
-Für eine exakte Konstruktion zeichnet man zuerst das Quadrat <math>AWRC</math> mit der beliebigen Seitenlänge <math>a = |\overline{AC}|</math> und verlängert <math>|\overline{AC}|</math> über <math>C</math> hinaus. Um die Dreiecke <math>{WRU}</math> und <math>{CTM}</math> mit gleich großen Flächeninhalten zu erhalten, reicht es den Punkt <math>M</math> zu bestimmen. Abschließend wird die Verbindungslinie von Punkt <math>W</math> bis Punkt <math>M</math> eingetragen.
+Für eine exakte Konstruktion zeichnet man zuerst das Quadrat <math>AWRC</math> mit der beliebigen Seitenlänge <math>a = |\overline{AC}|</math> und verlängert <math>\overline{AC}</math> über <math>C</math> hinaus. Um die Dreiecke <math>{WRU}</math> und <math>{CTM}</math> mit gleich großen Flächeninhalten zu erhalten, reicht es den Punkt <math>M</math> zu bestimmen. Abschließend wird die Verbindungslinie von Punkt <math>W</math> bis Punkt <math>M</math> eingetragen.
 ;Vorüberlegung
-Gesucht ist eine Funktion <math>f(x)</math> deren Graph die x-Achse eines kartesischen Koordinatensystems in <math>M</math> schneidet (Nullstelle) und somit die Strecke <math>|\overline{AM}|</math> erzeugt.
+Gesucht ist eine Funktion <math>f(x)</math> deren Graph die x-Achse eines kartesischen Koordinatensystems in <math>M</math> schneidet (Nullstelle) und somit die Strecke <math>\overline{AM}</math> erzeugt.
 ;Ansatz
-Sei <math>a = 1,</math> dann ist die Länge der Strecke <math>|\overline{AM}|</math> gleich dem Längenverhältnis der kleinsten Diagonale <math>|\overline{BM}|</math> zur Seitenlänge <math>s</math> des regelmäßigen Siebenecks (siehe hierzu [[#Beweis zu Punkt D|Bild 4: Beweis durch Kreisteilung]]).<ref>[https://oeis.org/A160389 OEIS COMMENTS, rho(7):= 2*cos(Pi/7)] ''is the length ratio (smallest diagonal)/side in the regular 7-gon (heptagon)''.</ref>
+Sei <math>a = 1,</math> dann ist die Länge der Strecke <math>\overline{AM}</math> gleich dem Längenverhältnis der kleinsten Diagonale <math>\overline{BM}</math> zur Seitenlänge <math>s</math> des regelmäßigen Siebenecks (siehe hierzu [[#Beweis zu Punkt D|Bild 4: Beweis durch Kreisteilung]]).<ref>[https://oeis.org/A160389 OEIS COMMENTS, rho(7):= 2*cos(Pi/7)] ''is the length ratio (smallest diagonal)/side in the regular 7-gon (heptagon)''.</ref>
 : <math>|\overline{AM}| = \tfrac{|\overline{BM}|}{s} = 2\cos\left(\tfrac{\pi}{7}\right) = 1{,}801\,937\,735\ldots</math>.
@@ Zeile 172: / Zeile 172: @@
 === Konstruktionsbeschreibung ===
-Es beginnt mit dem Quadrat <math>AWRC</math> mit der Seitenlänge <math>a</math> und der Diagonalen <math>|\overline{AR}|</math>. Es folgt der Kreisbogen <math>b</math> um <math>C</math> mit dem Radius <math>|CW|</math> und die [[Mittelsenkrechte]] der Strecke <math>|\overline{AC}|</math>. Nun wird das Lineal mit der Markierung der Seitenlänge <math>a</math> so platziert, dass ein Endpunkt der Markierung auf der Mittelsenkrechten, der zweite auf dem Kreisbogen <math>b</math> liegt und die Kante des Lineals durch den Punkt <math>A</math> verläuft. Die Bezeichnung der so gefundenen Punkte <math>E</math> und <math>F</math> sowie die Verbindungen des Punktes <math>E</math> mit <math>A</math> und <math>C</math> schließen sich an. Somit ergibt sich am [[Winkel]]scheitel <math>E</math> die Hälfte des Zentriwinkels <math>\mu=\tfrac{\pi}{7}</math>.
+Es beginnt mit dem Quadrat <math>AWRC</math> mit der Seitenlänge <math>a</math> und der Diagonalen <math>\overline{AR}</math>. Es folgt der Kreisbogen <math>b</math> um <math>C</math> mit dem Radius <math>|\overline{CW}|</math> und die [[Mittelsenkrechte]] der Strecke <math>\overline{AC}</math>. Nun wird das Lineal mit der Markierung der Seitenlänge <math>a</math> so platziert, dass ein Endpunkt der Markierung auf der Mittelsenkrechten, der zweite auf dem Kreisbogen <math>b</math> liegt und die Kante des Lineals durch den Punkt <math>A</math> verläuft. Die Bezeichnung der so gefundenen Punkte <math>E</math> und <math>F</math> sowie die Verbindungen des Punktes <math>E</math> mit <math>A</math> und <math>C</math> schließen sich an. Somit ergibt sich am [[Winkel]]scheitel <math>E</math> die Hälfte des Zentriwinkels <math>\mu=\tfrac{\pi}{7}</math>.
-Weiter geht es mit der Halbierung der Strecke <math>|\overline{AE}|</math> in <math>G</math> und dem Errichten einer [[Orthogonalität|Orthogonalen]] (Senkrechte) auf <math>|\overline{AE}|</math> in <math>G</math> mit Schnittpunkt <math>O</math> auf der Mittelsenkrechten. Anschließend um <math>O</math> den Umkreis <math>k_1</math> des Dreiecks <math>ECA</math> mit dem Radius <math>|OE|</math> ziehen; der Schnittpunkt ist <math>I</math>. Ab dem Punkt <math>I</math> trägt man einmal in Richtung <math>E</math> die Seitenlänge <math>a</math> des Quadrates auf dem Kreis ab; es ergibt den Schnittpunkt <math>J</math>. Nun bedarf es noch einer Verlängerung der Strecke <math>|\overline{AC}|</math> ab <math>C</math> und einer [[Halbgerade]]n ab <math>J</math> durch <math>I</math> bis sie die Verlängerung ab <math>C</math> im gesuchten Punkt <math>M</math> trifft.
+Weiter geht es mit der Halbierung der Strecke <math>\overline{AE}</math> in <math>G</math> und dem Errichten einer [[Orthogonalität|Orthogonalen]] (Senkrechte) auf <math>\overline{AE}</math> in <math>G</math> mit Schnittpunkt <math>O</math> auf der Mittelsenkrechten. Anschließend um <math>O</math> den Umkreis <math>k_1</math> des Dreiecks <math>ECA</math> mit dem Radius <math>|\overline{OE}|</math> ziehen; der Schnittpunkt ist <math>I</math>. Ab dem Punkt <math>I</math> trägt man einmal in Richtung <math>E</math> die Seitenlänge <math>a</math> des Quadrates auf dem Kreis ab; es ergibt den Schnittpunkt <math>J</math>. Nun bedarf es noch einer Verlängerung der Strecke <math>\overline{AC}</math> ab <math>C</math> und einer [[Halbgerade]]n ab <math>J</math> durch <math>I</math> bis sie die Verlängerung ab <math>C</math> im gesuchten Punkt <math>M</math> trifft.
 === Beweis zu Punkt M ===
@@ Zeile 181: / Zeile 181: @@
 Ein möglicher Beweis ist (Bild 7), wenn nachgewiesen werden kann, dass das Dreieck <math>MAI</math> ein [[gleichschenkliges Dreieck]] ist. Mit anderen Worten:
-Die Sehne <math>|\overline{AI}|</math> des Kreises <math>k_1</math> und die Strecke <math>|\overline{AM}|</math> müssen gleich lang sein.
+Die Sehne <math>\overline{AI}</math> des Kreises <math>k_1</math> und die Strecke <math>\overline{AM}</math> müssen gleich lang sein.
-Im gleichschenkligen Dreieck <math>AIC</math> mit den Schenkeln <math>a</math> ist die Sehne <math>|\overline{AI}|</math> eine Diagonale über zwei Seiten eines Siebenecks mit dem [[Siebeneck#Mathematische Zusammenhänge|Innenwinkel]] <math>\alpha = \tfrac{5}{7} \cdot 180^\circ</math>. Die [[Gleichschenkliges Dreieck#Berechnung und Konstruktion|Seitenlänge c = <math>|\overline{AI}|</math>]] ergibt sich aus:
+Im gleichschenkligen Dreieck <math>AIC</math> mit den Schenkeln <math>a</math> ist die Sehne <math>\overline{AI}</math> eine Diagonale über zwei Seiten eines Siebenecks mit dem [[Siebeneck#Mathematische Zusammenhänge|Innenwinkel]] <math>\alpha = \tfrac{5}{7} \cdot 180^\circ</math>. Die [[Gleichschenkliges Dreieck#Berechnung und Konstruktion|Seitenlänge c = <math>|\overline{AI}|</math>]] ergibt sich aus:
 : <math>|\overline{AI}| = 2\cdot a \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)= a\cdot 1{,}801937735\ldots</math>.<ref group="A"> = Längeneinheit</ref>
@@ Zeile 202: / Zeile 202: @@
 '''Vorgehensweise'''
-Nach der Konstruktion des Quadrates <math>AWRC</math> und dem Einzeichnen der Diagonalen <math>|\overline{AR}|</math>, wird die Seite <math>a = |\overline{AC}|</math> des Quadrates mittels einer Halbgeraden über <math>C</math> hinaus verlängert. Dies ergibt den feststehenden Winkelschenkel für den späteren Winkels <math>\phi</math>. Eine nun folgende zweite Halbgerade ab dem Scheitel <math>A</math>, sprich, der bewegliche Winkelschenkel, schließt einen Winkel mit noch unbestimmter Winkelweite ein.
+Nach der Konstruktion des Quadrates <math>AWRC</math> und dem Einzeichnen der Diagonalen <math>\overline{AR}</math>, wird die Seite <math>a = |\overline{AC}|</math> des Quadrates mittels einer Halbgeraden über <math>C</math> hinaus verlängert. Dies ergibt den feststehenden Winkelschenkel für den späteren Winkels <math>\phi</math>. Eine nun folgende zweite Halbgerade ab dem Scheitel <math>A</math>, sprich, der bewegliche Winkelschenkel, schließt einen Winkel mit noch unbestimmter Winkelweite ein.
 Es geht weiter mit den zwei sich kreuzenden Zickzacklinien, d.&nbsp;h. mit dem Eintragen der vorerst fünf Seitenlängen <math>a</math> – eine ist die Quadratseite. Beginnend mit der ersten Zickzacklinie beim Scheitel <math>A</math>, wird zuerst auf dem beweglichen Winkelschenkel die Länge <math>a</math> abgetragen; dabei ergibt sich der Schnittpunkt <math>X</math>. Es folgt, wieder mithilfe <math>a</math>, das vorläufige Bestimmen der Punkte <math>M</math> und <math>B'</math>. Auf die gleiche Art und Weise werden die Punkte <math>Y</math> und <math>B</math> der zweiten Zickzacklinie eingetragen. Die siebte Länge <math>a</math> (rot, Grundlinie des gesuchten Dreiecks <math>ABB'</math>) wird nahe <math>B</math> auf dem feststehenden Winkelschenkel platziert.
@@ Zeile 214: / Zeile 214: @@
 Siehe hierzu Bild 9
-Ausgehend von den konstruierten Punkten <math>D</math> und <math>M</math>, zieht man zuerst ab dem Winkelscheitel <math>A</math> die [[Halbgerade]] <math>g_1</math> mit der Winkelweite <math>\tfrac{\mu}{2}.</math> Es folgt das Abtragen des gegebenen Umkreisradius <math>r</math> auf die Halbgerade <math>g_1</math> ab <math>A;</math> dabei ergibt sich der Mittelpunkt <math>O</math> des Umkreises. Nun zieht man um <math>O</math> den Umkreis des gesuchten Siebenecks mit dem Radius <math>r = |AO|.</math> Schneidet der Umkreis die Strecke <math>|\overline{AB}|</math> in <math>E,</math> so ist die Seitenlänge <math>s</math> hiermit gefunden. Schneidet der Umkreis die Strecke <math>|\overline{AB}|</math> nicht, wird ab <math>B</math> die Halbgerade <math>g_2</math> gezogen, bis sie den Umkreis in <math>E</math> schneidet und so die Seitenlänge <math>s</math> liefert. Abschließend wird die Seitenlänge <math>s</math> fünfmal gegen den [[Drehrichtung|Uhrzeigersinn]] abgetragen und die noch fehlenden Seiten des Siebenecks eingezeichnet.
+Ausgehend von den konstruierten Punkten <math>D</math> und <math>M</math>, zieht man zuerst ab dem Winkelscheitel <math>A</math> die [[Halbgerade]] <math>g_1</math> mit der Winkelweite <math>\tfrac{\mu}{2}.</math> Es folgt das Abtragen des gegebenen Umkreisradius <math>r</math> auf die Halbgerade <math>g_1</math> ab <math>A;</math> dabei ergibt sich der Mittelpunkt <math>O</math> des Umkreises. Nun zieht man um <math>O</math> den Umkreis des gesuchten Siebenecks mit dem Radius <math>r = |\overline{AO}|.</math> Schneidet der Umkreis die Strecke <math>\overline{AB}</math> in <math>E,</math> so ist die Seitenlänge <math>s</math> hiermit gefunden. Schneidet der Umkreis die Strecke <math>\overline{AB}</math> nicht, wird ab <math>B</math> die Halbgerade <math>g_2</math> gezogen, bis sie den Umkreis in <math>E</math> schneidet und so die Seitenlänge <math>s</math> liefert. Abschließend wird die Seitenlänge <math>s</math> fünfmal gegen den [[Drehrichtung|Uhrzeigersinn]] abgetragen und die noch fehlenden Seiten des Siebenecks eingezeichnet.
 <div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Siebeneck-Archimedes-D-Umkreis.gif|mini|500px|ohne|Bild 9: Siebeneck bei gegebenem Umkreisradius <math>r</math>, Weiterführung der ''Konstruktion von Archimedes'' (Bild 3 oder 5), Animation am Ende 30 s Pause]]</div>
 <div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Siebeneck-Archimedes-D-Seite.gif|mini|500px|ohne|Bild 10: Siebeneck bei gegebener Seitenlänge <math>s</math>, Weiterführung der ''Konstruktion von Archimedes'' (Bild 3 oder 5), Animation am Ende 30 s Pause]]</div>
@@ Zeile 222: / Zeile 222: @@
 Siehe hierzu Bild 10
-Ausgehend von den konstruierten Punkten <math>D</math> und <math>M</math>, zieht man zuerst ab dem Winkelscheitel <math>A</math> die Halbgerade <math>g_1</math> mit der Winkelweite <math>\tfrac{\mu}{2}.</math> Nun soll die gegebene Seitenlänge <math>s</math> bestimmt werden. Ist die Seitenlänge <math> s = |\overline{AE}|\leq|\overline{AB}|,</math> wird sie auf <math>|\overline{AB}|</math> abgetragen. Andernfalls ist zuvor ab <math>B</math> die Halbgerade <math>g_2</math> zu ziehen, um drauf <math>E</math> platzieren zu können. Nach dem Einzeichnen eines Kreisbogens mit dem Radius <math>|AE|</math> um <math>A</math> bis die Strecke <math>|\overline{AM}|</math> in <math>F</math> geschnitten wird, zieht man eine Linie ab <math>E</math> durch <math>F</math> auf die Halbgerade <math>g_1</math>. Dabei ergibt sich der Schnittpunkt <math>O</math> sowie das Dreieck <math>{AOE}</math>. Wegen Ähnlichkeit der Dreiecke <math>{AOE}\sim{AFE}</math> entspricht der am Eckpunkt <math>O</math> eingeschlossene Winkel dem Zentriwinkel <math>2\mu =\tfrac{2\pi}{7}</math> des Siebenecks und <math>O</math> dem Mittelpunkt des gesuchten Umkreises. Abschließend wird der Umkreis um <math>O</math> mit dem Radius <math>r = |AO|</math> gezogen, die Seitenlänge <math>s</math> fünfmal gegen den Uhrzeigersinn abgetragen und die noch fehlenden Seiten des Siebenecks eingezeichnet.
+Ausgehend von den konstruierten Punkten <math>D</math> und <math>M</math>, zieht man zuerst ab dem Winkelscheitel <math>A</math> die Halbgerade <math>g_1</math> mit der Winkelweite <math>\tfrac{\mu}{2}.</math> Nun soll die gegebene Seitenlänge <math>s</math> bestimmt werden. Ist die Seitenlänge <math> s = |\overline{AE}|\leq|\overline{AB}|,</math> wird sie auf <math>\overline{AB}</math> abgetragen. Andernfalls ist zuvor ab <math>B</math> die Halbgerade <math>g_2</math> zu ziehen, um drauf <math>E</math> platzieren zu können. Nach dem Einzeichnen eines Kreisbogens mit dem Radius <math>|\overline{AE}|</math> um <math>A</math> bis die Strecke <math>\overline{AM}</math> in <math>F</math> geschnitten wird, zieht man eine Linie ab <math>E</math> durch <math>F</math> auf die Halbgerade <math>g_1</math>. Dabei ergibt sich der Schnittpunkt <math>O</math> sowie das Dreieck <math>{AOE}</math>. Wegen Ähnlichkeit der Dreiecke <math>{AOE}\sim{AFE}</math> entspricht der am Eckpunkt <math>O</math> eingeschlossene Winkel dem Zentriwinkel <math>2\mu =\tfrac{2\pi}{7}</math> des Siebenecks und <math>O</math> dem Mittelpunkt des gesuchten Umkreises. Abschließend wird der Umkreis um <math>O</math> mit dem Radius <math>r = |\overline{AO}|</math> gezogen, die Seitenlänge <math>s</math> fünfmal gegen den Uhrzeigersinn abgetragen und die noch fehlenden Seiten des Siebenecks eingezeichnet.
 == Literatur ==

Deutschland – Kaiserreich

„Siebeneck nach Archimedes“ – Versionsunterschied

Version vom 27. Juni 2023, 22:00 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Geschichte

Konstruktion von Archimedes

Bestimmen des Teilungspunktes D

Beweis zu Punkt D

Bestimmen des Endpunktes M der Strecke AM

Bestimmen des Punktes M mithilfe eines markierten Lineals

Konstruktionsbeschreibung

Beweis zu Punkt M

Bestimmen des Punktes M mithilfe zweier Zickzacklinien in einem gleichschenkligen Dreieck

Weiterführende Konstruktion bei gegebenem Umkreis bzw. bei gegebener Seitenlänge

Umkreis gegeben

Seitenlänge gegeben

Literatur

Weblinks

Einzelnachweise

Anmerkungen

What are your Feelings

„Siebeneck nach Archimedes“ – Versionsunterschied

Version vom 27. Juni 2023, 22:00 Uhr

Geschichte

Konstruktion von Archimedes

Bestimmen des Teilungspunktes D

Beweis zu Punkt D

Bestimmen des Endpunktes M der Strecke AM

Bestimmen des Punktes M mithilfe eines markierten Lineals

Konstruktionsbeschreibung

Beweis zu Punkt M

Bestimmen des Punktes M mithilfe zweier Zickzacklinien in einem gleichschenkligen Dreieck

Weiterführende Konstruktion bei gegebenem Umkreis bzw. bei gegebener Seitenlänge

Umkreis gegeben

Seitenlänge gegeben

Literatur

Weblinks

Einzelnachweise

Anmerkungen

What are your Feelings

Share This Article :