„Kubische Gleichung“ – Versionsunterschied
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:<math>x_{1,2,3}=\frac{p}{3u_{1,2,3}}-u_{1,2,3}-{b\over 3a}</math> |
:<math>x_{1,2,3}=\frac{p}{3u_{1,2,3}}-u_{1,2,3}-{b\over 3a}</math> |
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::<math>u_{1,2,3}=\sqrt[3]{{q\over 2} + \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}</math> |
::<math>u_{1,2,3}=\sqrt[3]{{q\over 2} + \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}</math> |
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:::wobei unter den beiden Lösungen der Quadratwurzel |
:::wobei unter den beiden Lösungen der Quadratwurzel so zu wählen ist, dass der Wert der Kubikwurzel nicht Null wird, |
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:::wobei bei der kubischen Wurzel alle drei, nicht notwendig paarweise verschiedenen Lösungen benötigt werden (siehe [[Kubikwurzel]]) |
:::wobei bei der kubischen Wurzel alle drei, nicht notwendig paarweise verschiedenen Lösungen benötigt werden (siehe [[Kubikwurzel]]) |
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Version vom 13. März 2005, 00:12 Uhr
Defintion
Kubische Gleichungen sind algebraische Gleichungen 3. Grades, also Gleichungen der allgemeinen Form mit . (für ergeht die Leseempfehlung: quadratische Gleichung, da der kubische Summand verschwunden ist, so dass höchstens (man bedenke, dass auch der quadratische Summand verschwinden kann) noch eine ebensolche vorliegen kann).
Lösungsverfahren
Lösung einer kubischen Gleichung mit Hilfe der cardanischen Formeln
Kubische Gleichung:
Durch äquivalente Umformung nach
-
- ( ist zuvor ausgeschlossen worden)
und Substitution von
ergibt sich
- mit
- .
Ansatz 1
Es zeigt sich, dass aus dem Vorzeichen der so genannten Diskriminante auf die Zahl der reellen Lösungen geschlossen werden kann.
- Fall 1:
- In diesem Fall existiert also nur eine reelle Lösung (neben zwei weiteren, komplexen Lösungen):
![{\displaystyle x={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{{-{q \over 2}}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}-{b \over {3\cdot a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be78bd7b5c7d351281cf8f4953bc88b2e60ef2e)
- Fall 2:
- In diesem Fall kann es zwei verschiedene reelle Lösungen geben (im allgemeinen Fall gilt dies freilich nicht (etwa für )):
- Im Sonderfall existiert nur eine reelle Lösung, nämlich (dreifache Nullstelle).
- (doppelte Nullstelle)
- (einfache Nullstelle)
![{\displaystyle x_{1}={\sqrt[{3}]{q \over 2}}-{b \over {3\cdot a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c61f43c2fa7f0823150492eaf5ffe48ece3da266)
![{\displaystyle x_{2}=-{\sqrt[{3}]{4\cdot q}}-{b \over {3\cdot a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9263fe67401cce7c6ab7a301f6ce0f9460bd6b97)
- Fall 3: (Casus irreducibilis)
- In diesem Fall existieren drei verschiedene reelle Lösungen:
Ansatz 2
Überraschend kommt die Formel für
- mit
-
- wobei unter den beiden Lösungen der Quadratwurzel so zu wählen ist, dass der Wert der Kubikwurzel nicht Null wird,
- und
- wobei bei der kubischen Wurzel alle drei, nicht notwendig paarweise verschiedenen Lösungen benötigt werden (siehe Kubikwurzel)
-
- und
![{\displaystyle u_{1,2,3}={\sqrt[{3}]{{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31b707130bcb2ae6fc4b4871bd706aeea3cb60c)
(Auflösung siehe englische Version dieses Artikels in der englischen Bruder Wikipedia).
Literatur
siehe Cardanische Formeln
