„Drehstreckung“ – Versionsunterschied
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Für <math>r=1</math> und <math>\phi=0\pmod{360^\circ}</math> beschreiben die Formeln eine [[Parallelverschiebung]], die nicht zu den Drehstreckungen gezählt wird, da sie sich nicht aus einer Drehung und einer Streckung zusammensetzen lässt. Ist allerdings zugleich <math>t_x=t_y=0</math> (bzw. <math>t=0</math>), stellen die Formeln die [[identische Abbildung]] dar, die als Spezialfall zu den Drehstreckungen zählt, zusammensetzbar aus einer Drehung um 0° und einer Streckung mit dem Faktor 1. |
Für <math>r=1</math> und <math>\phi=0\pmod{360^\circ}</math> beschreiben die Formeln eine [[Parallelverschiebung]], die nicht zu den Drehstreckungen gezählt wird, da sie sich nicht aus einer Drehung und einer Streckung zusammensetzen lässt. Ist allerdings zugleich <math>t_x=t_y=0</math> (bzw. <math>t=0</math>), stellen die Formeln die [[identische Abbildung]] dar, die als Spezialfall zu den Drehstreckungen zählt, zusammensetzbar aus einer Drehung um 0° und einer Streckung mit dem Faktor 1. |
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=== Ein wichtiger Satz === |
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Zwei gleichsinnig ähnliche Figuren (das sind ähnliche Figuren mit gleicher Orientierung) entstehen auseinander entweder duch eine Verschiebung oder eine Drehstreckung <ref>{{Cite book | title =Zeitlose Geometrie | edition = 1 |last=Coxeter & Greitzer|publisher=Ernst Klett|year=1983|location = Stuttgart|pages=101|language = deutsch}}</ref>. |
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== Siehe auch == |
== Siehe auch == |
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Version vom 20. September 2023, 23:14 Uhr
Eine Drehstreckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung, die sich als Kombination der beiden geometrischen Operationen Drehung und Streckung darstellen lässt.
Im 2D-Raum (Ebene) ist sie durch 2 Transformationsparameter charakterisiert, bei zusätzlicher Parallelverschiebung durch 4 Parameter.
Im hier nicht behandelten 3D-Fall sind es 4 bzw. 7 Parameter, siehe 7-Parameter-Transformation.
Euklidische Ebene
Zentrum im Ursprung
Jede Drehstreckung (mit Ausnahme der Identität) hat genau einen Fixpunkt, auch Zentrum genannt. Liegt dieser Fixpunkt im Koordinatenursprung, so lässt sich die Drehstreckung als Matrixmultiplikation schreiben:
Dabei ist der Skalierungsfaktor und der Drehwinkel.
In der komplexen Ebene lässt sich die gleiche Abbildung als komplexe Multiplikation schreiben:
Zentrum beliebig
Liegt der Fixpunkt der Drehstreckung außerhalb des Ursprungs, so muss man entweder noch eine Translation der Koordinaten vornehmen, oder mit homogenen Koordinaten rechnen:
Die Koordinaten beschreiben dabei eine abschließende Verschiebung. Der Fixpunkt der Abbildung lässt sich daraus durch Lösen eines linearen Gleichungssystems ermitteln.
Auch die allgemeine Form einer Drehstreckung mit beliebigem Zentrum kann man in der komplexen Ebene ausdrücken:
In dieser Form findet sich die Position des Zentrums als Lösung der Fixpunktgleichung besonders einfach:
Für und beschreiben die Formeln eine Parallelverschiebung, die nicht zu den Drehstreckungen gezählt wird, da sie sich nicht aus einer Drehung und einer Streckung zusammensetzen lässt. Ist allerdings zugleich (bzw. ), stellen die Formeln die identische Abbildung dar, die als Spezialfall zu den Drehstreckungen zählt, zusammensetzbar aus einer Drehung um 0° und einer Streckung mit dem Faktor 1.
