Was in dem Artikel über Euklid und Phythagoras gesagt wird, ist sicher überarbeitungsbedürftig. Leider kenne ich die Fakten auch nicht so genau. Wer es besser weiss, sollte den Artikel mal überarbeiten.

Franz Scheerer

Ok, ich habe den ersten Abschnitt mal geändert. Ich glaube, dass es in etwa korrekt ist. Klar, kann jeder noch was verbessern, der es besser weiss.

Franz Scheerer

Heey Kann Mir Ma Wer Den Beweis Erklären?? Machen das Grad In Mathe Und Ich Versteh Das Nicht.. Wäre Nett..

Lg natalie

Wäre es nicht viel übersichtlicher, Quantoren und Formelkram in eine Tabellenspalte und das Ausformulierte in eine eigen Tabellenspalte daneben zu setzen? 83.129.123.72 23:04, 26. Okt 2004 (CEST)

Bei aller Liebe: Das Euklid diesen Satz bewiesen hat bleibt genau so lange falsch bis mir einer den Text zeigt. Ausserdem konnte Euklid nicht beweisen das es irrationale Zahlen gibt. er stand ( wenn wir den mal glauben er hätte das gefunden) vor einem schlichten Rästsel. Kurz und gut: Ein Weltbild brachzusammen!

--Fibo1953 22:16, 22. Okt 2005 (CEST)

Fibo, schau mal in den Elementen, Buch III nach, s.a. http://www.math.toronto.edu/mathnet/plain/questionCorner/rootoftwo.html http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html

Euklid kannte doch inkommensurable Größen, also auch irrationale Zahlen? 80.143.115.252 19:59, 29. Okt 2005 (CEST)

Das bestreite ich nicht, aber der Beweis ist vermutlich erheblich älter. Irrationale Zahlen in unserem Sinn hat er vermutlich nicht akzeptiert. Es wird also nur gezeigt, das es bestimmte Zahlen nicht gibt.--Fibo1953 12:09, 30. Okt 2005 (CET)

Aus einer Antwort von Wolfgang Kirschenhofer in news:de.sci.mathematik

Historisches zur Entdeckung der irrationalen Zahlen in der Antike

Im 5. vorchristlichen Jahrhundert hat die Entdeckung, vermutlich durch den Pythagoreer HIPPASOS von METAPONT, dass sich nicht alles durch ganze bzw. rationale Zahlen erfassen lässt, eine Bildungs- und Weltanschauungskrise ausgelöst. Es handelte sich dabei um die Entdeckung inkommensurabler Streckenverhältnisse, das sind Verhältnisse von Streckenlängen, deren Wert nicht rational ist, wie beispielsweise beim Verhältnis zwischen Seite und Diagonale eines Quadrates. In pythagoreischen Kreisen soll diese Entdeckung einen Schock ausgelöst haben, denn es wurde dadurch die Annahme der pythagoreischen Philosophie in Frage gestellt, dass alle Dinge in ganzen Zahlen ausgedrückt werden könnten.

Die Pythagoreer wirkten nicht nur als einflussreiche Schule, welche die Forderung nach exakter mathematischer Wissenschaft erhoben und von ihren Mitgliedern eine strenge Ausbildung in Arithmetik, Geometrie, Astronomie und Musik verlangten. Sie verpflichteten sich außerdem zu einem ordensmäßig geregelten Lebenswandel und beherrschten im zweiten Viertel des 5. Jahrhunderts v.Chr. bis zum Aufstand gegen sie um 450 ganz Unteritalien.

Das Ordenssymbol der Pythagoreer war das Pentagramm. Es diente auch als Erkennungszeichen für die Mitglieder der pythagoreischen Bruderschaft. Vermutlich hat Hippasos an diesem Symbol festgestellt, dass zwei Strecken nicht kommensurabel sein müssen. --Fibo1953 10:18, 31. Okt 2005 (CET)

Der satz "Dieser Beweis wird durch Widerspruch geführt und besticht durch seine Kürze." wurde mehrfach um den zweiten teil gekürzt mit dem argument, es die "Persönliche Meinung" sei hier nicht gefragt. Es geht bei diesem artikel nicht in erster linie darum, den beweis selber darzustellen, sondern interessant ist vor allem die zusammenfassung der bedeutung dieses beweises. Dazu gehört auch, dass er in der mathematik als elegant, schön oder was auch immer angesehen wird. Von mir aus kann das auch anders formiert werden - jedenfalls geht es nicht eine "persönliche", sondern eine verbreitete meinung. --Nikolaus 16:35, 14. Jan 2006 (CET)

Das Prinzip des neutral point of view besagt, dass sich ein Artikel keine persönlichen Einschätzungen zueigen machen darf. Also nicht: "Dieser Beweis ist der schönste der ganzen Mathematik", sondern: "Dieser Beweis wird allgemein als einer der schönsten der ganzen Mathematik angesehen." Diese Aussage muss darüberhinaus belegbar sein. Es geht aber nicht nur um die Formulierung, sondern ich glaube auch nicht, dass die gestrichene Aussage tatsächlich die vorherrschende Meinung wiedergibt; schließlich gibt es kürzere Beweise (wäre mit teilerfremden und , also wäre ; da und auch teilerfremd sind, folgt , Widerspruch).--Gunther 15:13, 15. Jan 2006 (CET)

Naja, bei aller Kürze sollte der Beweis auch noch verständlich und vor allem mathematisch korrekt sein.

Franz Scheerer

Ist er doch 87.179.151.36 22:37, 8. Mär. 2008 (CET)Beantworten

Die Formulierung ist kein gutes Deutsch, mir würde "Euklids Beweis für die Irrationalität von Wurzel 2" oder noch besser "Euklids Beweis der Irrationalität von Wurzel 2" mehr zusagen. Einwände gegen eine Verschiebung? Traitor 11:04, 5. Jun 2006 (CEST)

"von Wurzel 2" ist auch nicht gerade korrekt, richtiger wäre "der (Quadrat-)Wurzel aus 2".--Gunther 10:53, 6. Jun 2006 (CEST)

Ich habe es jetzt mal nach Doppel-der verschoben. Gestelzt, aber sauber. Traitor 12:56, 28. Jul 2006 (CEST)

Abschnitt erledigt, off-topic 14:01, 16. Mai 2010 (CEST)

Ich zitiere: "Falls Zähler und Nenner des Bruchs einen gemeinsamen Teiler haben, kann der Bruch durch diesen Teiler gekürzt werden." Soweit, sogut, doch dann reisst die Argumentationskette: "Es gibt also zwei teilerfremde, natürliche Zahlen p und q". Aha? Fehlt zwischen diesen beiden Feststellungen nicht eine Erklärung? Bitte, bitte, etwas ausführlicher. Holt die Leute dort ab, wo sie stehen! Danke. --134.155.99.41 12:05, 27. Nov. 2006 (CET)Beantworten

Habe den Beweis mal ein bisschen anders formuliert. Damit ergibt sich ein viel offensichtlicherer Widerspruch (bzw. der Widerspruch wird deutlicher sichtbar). FreT 15:28, 7. Nov. 2008 (CET)Beantworten

Ist dann aber wohl leider nicht mehr Euklids Beweis, wie es doch das Lemma behauptet. Es geht hier nicht darum, irgendwie zu beweisen, dass irrational ist, sondern (einigermaßen) so, wie es Euklid getan hat. Dies hat mich ermutigt, die Elemente zu durchstöbern, wonach der allgemein so genannte Euklidische Beweis wohl gar nicht „genau“ so dort steht (oder findet jemand die richtige(re) Stelle?). Am nächsten scheint mir Proposition 8 aus Buch VIII zu kommen, die wohl ins Moderne übersetzt inetwa lautet:

Proposition 8: Ist und sind sowie natürliche Zahlen und gilt sowie , so gibt es Zahlen mit .

Wendet man dies auf einen angenommenen (noch nicht einmal notwendigerweise gekürzten!) Bruch an, so folgt wegen und die Existenz einer natürlichen Zahl mit ; wie man sofort einsieht, müsste dieses zwischen 1 und 2 liegen, was nicht möglich ist. (Streng genommen galt damals die 1 noch nicht als Zahl, so dass man möglicherweise eher mit argumentieren müsste).

Allgemeiner hat man auf dieselbe Weise sofort: Falls und , so mit , d.h. nur Quadratwurzeln aus Quadratzahlen sind rational (und sogar ganz).

Wie gesagt, sieht das ein wenig anders aus als die „übliche“ moderne Fassung, aber m.E. kommt diese dem Original doch noch verhältnismäßig nahe – was ich für die Variante mit dem „viel offensichtlicheren Widerspruch“ nicht unterschreiben würde--Hagman 14:30, 8. Nov. 2008 (CET)Beantworten

"Da die rechte Seite der Gleichung gerade ist, ist auch die linke Seite p2 gerade. Daraus folgt, dass bereits die Zahl p gerade ist.[1]"

Diese Aussage ist grundlegend falsch. P und Q können beide ungerade sein, da sie bei einem Quadrat [(p/q)²] eine gerade Zahl ergeben. Minus mal Minus, beziehungsweise Minus geteilt durch Minus ist gleich Plus. Sollte dieser Artikel nicht sofort richtiggestellt oder gelöscht werden? Das ist schlichtweg nicht wahr.

-- 88.130.41.111 03:40, 6. Jun. 2010 (CEST)Beantworten

Gib mir ein Beispiel mit P,Q ungerade und [(p/q)²] gerade. --NeoUrfahraner 08:51, 6. Jun. 2010 (CEST)Beantworten

Tut mir leid, mir fällt jetzt auf, dass ich gerade/ungerade mit positiv/negativ verwechselt habe. Schande über mein Haupt! Ich hatte irgendwie ein Minus im Kopf. Entschuldigt bitte meinen Zwischenruf.

--88.130.18.107 12:27, 6. Jun. 2010 (CEST)Beantworten

Zur Beweisführung wird die folgende Alternative zur Diskussion gestellt.

Eine ganze Zahl wird gerade bzw. ungerade genannt, je nachdem sie durch 2 teilbar bzw. nicht teilbar ist. D.h.: Eine gerade Zahl hat die Form 2m und eine ungerade Zahl die Form 2m + 1, wobei m eine natürliche Zahl 1, 2, 3, .... ist.

Da und ist, ist das Quadrat einer ganzen Zahl z genau dann gerade, wenn z selbst gerade ist.

Die Quadratwurzel aus 2 ist keine rationale Zahl. Oder anders ausgedrückt: Es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist. Eine solche Zahl nennt man irrational.

Die Beweisführung erfolgt nach der Methode des Widerspruchsbeweises: Um eine Behauptung B zu beweisen, nimmt man an, B sei falsch, es gelte also nicht-B. Man versucht nun, aus dieser Annahme einen Widerspruch zu einer der zugrunde liegenden Voraussetzungen oder zu einer schon als wahr bekannten Aussage abzuleiten. Ein solcher Widerspruch zeigt, dass die Annahme nicht-B falsch ist und somit B wahr sein muß.

Wir nehmen also an, dass die Quadratwurzel von 2 eine rationale Zahl ist und sich somit als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen läßt. Wir nehmen ferner an, dass und teilerfremd sind, d.h. die beiden Zahlen und besitzen keinen gemeinsamen Teiler, der Bruch liegt in gekürzter Form vor:

Durch Quadrieren erhält man:

oder umgeformt:

Daraus folgt, dass gerade ist und somit muss, nach unserer Vorbemerkung, auch gerade sein und sich durch

darstellen lassen, wobei eine ganze Zahl ist.

Wird dies in obige Gleichung eingesetzt, dann erhält man:

oder

Da gerade und somit auch gerade ist, läßt sich schreiben:

mit ganzzahligem .

Der Bruch liegt daher, entgegen unserer Voraussetzung, nicht in gekürzter Form vor, und haben den gemeinsamen Teiler 2.

Dieser Widerspruch zeigt, dass unsere Annahme, die Wurzel aus 2 ist eine rationale Zahl, falsch ist. Die Wurzel aus 2 ist keine rationale, sondern eine irrationale Zahl. Die Gleichung

wird nur durch ein irrationales x gelöst. Was zu beweisen war. --DG 84.178.154.100 13:21, 3. Mai 2011 (CEST)Beantworten