Beschleunigung

Physikalische Größe
Name	Beschleunigung
Formelzeichen

Unter Beschleunigung versteht man die momentane zeitliche Änderungsrate der Geschwindigkeit. Die Beschleunigung ist eine vektorielle (also gerichtete) Größe. Sie spielt bei der Beschreibung von Bewegungsvorgängen und deren Zusammenhang mit Kräften eine zentrale Rolle.

In der Umgangssprache wird oft nur eine Geschwindigkeitszunahme als Beschleunigung bezeichnet. Im physikalischen Sinn ist aber jede Änderung einer Bewegung eine Beschleunigung. Dies schließt eine Abnahme der Geschwindigkeit – also beispielsweise einen Bremsvorgang – ebenso ein wie eine Richtungsänderung bei gleichbleibendem Geschwindigkeitsbetrag – beispielsweise bei einer Kurvenfahrt mit einem Auto.

Die SI-Einheit der Beschleunigung ist $\mathrm {\,m/s^{2}} .$ Bei einer Beschleunigung von $1\mathrm {\,m/s^{2}}$ verändert sich die Geschwindigkeit pro Sekunde um $1\mathrm {\,m/s}$ . In den Geowissenschaften ist daneben auch die Einheit Gal gebräuchlich.

Beschleunigungen kommen bei allen realen Bewegungsvorgängen, z. B. von Fahrzeugen, Flugzeugen oder Aufzügen, vor. Sie haben aufgrund der in diesem Zusammenhang auftretenden Trägheitskräfte mehr oder weniger deutliche Auswirkungen auf dabei beförderte Menschen und Sachen.

Berechnung

Die Beschleunigung ${\vec {a}}$ als Geschwindigkeitsänderung pro Zeitintervall, lässt sich besonders einfach im Spezialfall der geradlinigen Bewegung mit konstanter Beschleunigung berechnen. Wenn die Geschwindigkeiten $v(t_{1})$ zum Zeitpunkt $t_{1}$ sowie $v(t_{2})$ zum Zeitpunkt $t_{2}$ bekannt sind, so berechnet sich die Beschleunigung innerhalb der Zeitspanne $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ aus der Differenz der Geschwindigkeiten $\Delta v=v(t_{2})-v(t_{1})$ gemäß

a={\tfrac {\Delta v}{\Delta t}}

Bei einer konstanten Beschleunigung, die nicht in Richtung des Geschwindigkeitsvektors ${\vec {v}}$ erfolgt, muss die Differenz der Geschwindigkeiten $\Delta {\vec {v}}={\vec {v}}(t_{2})-{\vec {v}}(t_{1})$ vektoriell bestimmt werden, wie in der Abbildung veranschaulicht. Die Beschleunigung berechnet sich dann aus:

{\vec {a}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}

Wenn sich die Beschleunigung während der betrachteten Zeitspanne ändert, so erhält man mit obiger Rechnung die mittlere Beschleunigung, auch Durchschnittsbeschleunigung genannt.

Um die Beschleunigung für einen bestimmten Zeitpunkt, statt für ein Zeitintervall, zu berechnen, muss der Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten vollzogen werden. Die Beschleunigung ist dann die erste zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:

{\vec {a}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}(t)}{\mathrm {d} t}}={\dot {\vec {v}}}(t)

Da die Geschwindigkeit die Ableitung des Ortes nach der Zeit ist, kann man die Beschleunigung auch als zweite Ableitung des Ortsvektors ${\vec {r}}$ darstellen:

{\vec {a}}(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}={\ddot {\vec {r}}}(t)

Die zeitliche Ableitung der Beschleunigung ${\vec {j}}$ (also die dritte Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit) wird Ruck genannt:

{\vec {j}}(t)={\dot {\vec {a}}}(t)={\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}(t) \over \mathrm {d} t^{3}}

Zusammenhang zwischen Kraft und Beschleunigung

Isaac Newton beschrieb als Erster, dass zum Auftreten einer Beschleunigung eine Kraft notwendig ist. Sein Gesetz beschreibt die Proportionalität von Kraft und Beschleunigung für Körper in einem Inertialsystem. Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, bei dem sich kräftefreie Körper geradlinig gleichförmig bewegen. Die Beschleunigung ist dann das Verhältnis von Kraft $F$ zu Masse $m\colon$

{\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}

Soll die Beschleunigung in einem beschleunigten Bezugssystem berechnet werden, so sind zusätzlich Trägheitskräfte zu berücksichtigen.

Messung der Beschleunigung

Es ergeben sich prinzipiell zwei Möglichkeiten, Beschleunigungen zu messen oder anzugeben. Die Beschleunigung eines Objekts kann kinematisch bezüglich eines Weges (Raumkurve) betrachtet werden. Dazu wird die Momentangeschwindigkeit bestimmt, die Änderung dieser entspricht der Beschleunigung. Die andere Möglichkeit ist, einen Beschleunigungssensor zu verwenden. Dieser bestimmt mit Hilfe einer Testmasse die Trägheitskraft. Mit Hilfe der newtonschen Grundgleichung der Mechanik wird aus dieser Trägheitskraft auf die Beschleunigung geschlossen.

Die Maßeinheit für die Angabe einer Beschleunigung ist standardmäßig die Einheit Meter pro Quadratsekunde (m/s²), also (m/s)/s. Allgemein können Belastungen technischer Geräte oder die Angabe von Belastungsgrenzen als g-Kraft, also als „Kraft pro Masse“, erfolgen. Diese wird als Vielfaches der normalen Erdbeschleunigung (Normfallbeschleunigung) g = 9,80665 m/s² angegeben. In den Geowissenschaften ist daneben auch die Einheit Gal = 0,01 m/s² gebräuchlich.

Rechenbeispiel zur Messung über die Geschwindigkeit

Ein Auto bewegt sich zum Zeitpunkt $t_{1}=0\,\mathrm {s}$ mit einer Geschwindigkeit von $v_{1}=10\,\mathrm {\tfrac {m}{s}}$ im Vergleich zur Straße (das sind 36 km/h). Zehn Sekunden später, zum Zeitpunkt $t_{2}=10\,\mathrm {s}$ besitzt es eine Geschwindigkeit von $v_{2}=30\,\mathrm {\tfrac {m}{s}}$ (das sind 108 km/h). Die durchschnittliche Beschleunigung des Autos ist dann

a={\frac {v_{2}-v_{1}}{t_{2}-t_{1}}}=2\,\mathrm {\tfrac {m}{s^{2}}} .

Dieser Wert der Beschleunigung bedeutet, dass die Geschwindigkeit des Autos pro Sekunde um $2\,\mathrm {\tfrac {m}{s}}$ (also um 7,2 km/h) zunimmt.

Rechenbeispiel zur Messung über die Trägheit

In einem Aufzug befindet sich eine Federwaage, an der eine Masse von einem Kilogramm hängt ( $m=1\,\mathrm {kg}$ ). Wenn der Aufzug im Vergleich zur Erde ruht, so zeigt die Waage eine Gewichtskraft von 9,81 Newton an. Die Schwerebeschleunigung beträgt demnach

a={\frac {F}{m}}=9,81\,\mathrm {\tfrac {m}{s^{2}}} .

Zeigt die Federwaage einen Moment später zum Beispiel eine Kraft von 14,7 Newton an, so ist die Beschleunigung des Aufzugs $4,9\,\mathrm {\tfrac {m}{s^{2}}}$ im Vergleich zur Erde nach oben. In diesem Beispiel kann die Beschleunigung des Aufzugs mit 0,5 g angegeben werden.

Anwendung von Beschleunigungsmessungen

Wenn die Anfangsgeschwindigkeit und -position bekannt ist, ermöglicht die Messung der Beschleunigung eine Positionsbestimmung. Die Position lässt sich dann einfach durch zweifache Integration über die Zeit bestimmen. Für den Fall, dass beispielsweise das GPS-System eines Flugzeugs ausfällt, ermöglicht diese Methode eine relativ genaue Ortsbestimmung über einen mittellangen Zeitraum. Ein Navigationssystem, das die Position durch Messung der Beschleunigung bestimmt, heißt Trägheitsnavigationssystem.

Beschleunigung entlang eines Weges

Allgemeine Beschreibung

Tangenteneinheitsvektor und Normaleneinheitsvektor bei einer Kurve in zwei Dimensionen

Die Beschleunigung eines Körpers, der sich entlang eines Weges (Raumkurve) bewegt, lässt sich mit den Frenetschen Formeln berechnen. Dies ermöglicht eine Aufteilung der Beschleunigung in eine Beschleunigung in Bewegungsrichtung (Tangentialbeschleunigung) und eine Beschleunigung senkrecht zur Bewegungsrichtung (Normal- oder Radialbeschleunigung).

Der Vektor der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ kann als Produkt aus seinem Betrag $v$ und dem Tangenteneinheitsvektor ${\hat {t}}$ dargestellt werden:

{\vec {v}}=v\,{\hat {t}}

Der Tangenteneinheitsvektor ist ein Vektor der Länge $1$ , der an jedem Punkt des Weges die Richtung der Bewegung anzeigt. Die Ableitung dieses Ausdrucks nach der Zeit ist die Beschleunigung:

{\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=\left({\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right){\hat {t}}+v\left({\frac {\mathrm {d} {\hat {t}}}{\mathrm {d} t}}\right)

Die zeitliche Ableitung des Tangenteneinheitsvektors kann über die Bogenlänge $s$ berechnet werden:

{\frac {\mathrm {d} {\hat {t}}}{\mathrm {d} t}}=\underbrace {\frac {\mathrm {d} {\hat {t}}}{\mathrm {d} s}} _{{\hat {n}}/\rho }\underbrace {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}} _{v}={\frac {v}{\rho }}{\hat {n}}

Dabei führt man den Krümmungsradius $\rho$ und den Normaleneinheitsvektor ${\hat {n}}$ ein. Der Krümmungsradius ist ein Maß für die Stärke der Krümmung und der Normaleneinheitsvektor zeigt senkrecht zur Bahnkurve in Richtung des Krümmungsmittelpunkts. Man definiert die Tangentialbeschleunigung $a_{t}$ und Radialbeschleunigung $a_{n}$ als

a_{t}={\dot {v}}

a_{n}={\frac {v^{2}}{\rho }}.

Die Beschleunigung lässt sich damit in beide Komponenten aufteilen:

{\vec {a}}=a_{t}{\hat {t}}+a_{n}{\hat {n}}

Ist die Tangentialbeschleunigung Null, so ändert der Körper nur seine Bewegungsrichtung. Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt dabei erhalten. Um den Betrag der Geschwindigkeit zu ändern, muss also eine Kraft wirken, die eine Komponente in Richtung des Tangentialvektors besitzt.

Zentrifugalbeschleunigung

Ein Sonderfall obenstehender Überlegung ist eine Kreisbewegung mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag. In diesem Fall ist die Beschleunigung nach innen auf den Kreismittelpunkt hin gerichtet, also immer senkrecht zur momentanen Bewegungsrichtung auf der Kreisbahn, sie heißt Zentripetalbeschleunigung. Durch sie wird nicht der Betrag der Geschwindigkeit verändert, sondern nur deren Richtung, was eben gerade eine Kreisbahn ergibt. Bezüglich eines mitrotierenden (und daher beschleunigten) Bezugssystemes wird ein Objekt vom Mittelpunkt weg nach außen beschleunigt, dann wird die Bezeichnung Zentrifugalbeschleunigung verwendet.

Eine Zentrifuge nutzt diesen Effekt, um Dinge konstanter Beschleunigung auszusetzten. Der Krümmungsradius entspricht dabei dem Abstand $r$ des Zentrifugiergutes zur Drehachse. Die Beschleunigung, der das Zentrifugiergut ausgesetzt ist, lässt sich dann auch durch die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ausdrücken:

a_{n}={\frac {v^{2}}{r}}=r\,\omega ^{2}

Negative und positive Beschleunigung

Bei einem Körper, der sich entlang einer Linie bewegt, wird der Tangenteneinheitsvektor üblicherweise in Bewegungsrichtung gewählt. Ist die Tangentialbeschleunigung negativ, so verringert sich die Geschwindigkeit des Körpers. Bei Fahrzeugen spricht man von einer Verzögerung oder Bremsung des Fahrzeugs. Wird in diesem Zusammenhang dann der Begriff Beschleunigung gebraucht, so ist meist eine positive Tangentialbeschleunigung gemeint, welche die Geschwindigkeit des Fahrzeugs erhöht.

Beschleunigung in einem Potential

Zweidimensionaler Querschnitt durch ein Gravitationspotential einer homogenen Kugel. Die Wendepunkte befinden sich an der Oberfläche der Kugel.

Beschleunigungsfeld und Potential

Ist eine Kraft auf ein Teilchen proportional zu seiner Masse, dies ist zum Beispiel bei der Gravitation der Fall, so lässt sie sich auch durch ein Beschleunigungsfeld beschreiben. Dieses Vektorfeld ordnet jedem Ort ${\vec {r}}$ im Raum eine Beschleunigung ${\vec {a}}({\vec {r}})$ zu. Es lässt sich häufig als Gradient eines Potentials $\Phi ({\vec {r}})$ schreiben. Anschaulich lässt sich das Potential als Schüssel wie im Bild rechts auffassen. Der negative Gradient ist ein Vektor, der in Richtung der geringsten Steigung zeigt. Er gibt also an, in welche Richtung eine Kugel rollen würde, die in die Schüssel gelegt wird. Mit einem Potential oder Beschleunigungsfeld lässt sich dann für jede Anfangsbedingung, also Anfangsgeschwindigkeit und -position, die Bewegung eines Teilchens (Trajektorie) vorherberechnen.

Auch wenn die Kraft auf ein Teilchen nicht proportional zu seiner Masse ist, lässt sich häufig ein Kraftfeld und ein Potential aufstellen, beispielsweise ein Coulombpotential für ein elektrisch geladenes Teilchen. In diesem Fall ist die Beschleunigung jedoch von der Masse $m$ und von der Ladung $q$ des Teilchens abhängig:

{\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\,{\vec {r}}=-{\frac {q}{m}}\nabla \Phi ({\vec {r}})

.

Konstante Beschleunigung

Trajektorie (Anfangsposition ${\vec {r}}_{0}$ und Anfangsgeschwindigkeit ${\vec {v}}_{0}$ ) in einem homogenen Beschleunigungsfeld

Bei einer gleichmäßigen Beschleunigung ist das Beschleunigungsfeld zeitlich konstant und homogen, also an allen Punkten des Raums in Betrag und Richtung dasselbe, beispielsweise gleich dem Vektor ${\vec {g}}$ :

{\vec {a}}({\vec {r}})={\vec {g}}

für alle

{\vec {r}}

Mit einem solchen Ansatz lässt sich lokal (nicht global) das Gravitationsfeld der Erde beschreiben. Ein Teilchen in einem solchen Feld bewegt sich auf einer parabelförmigen Bahn, bei einem Gravitationsfeld auch Wurfparabel genannt. Im Rahmen der klassischen Mechanik wächst die Geschwindigkeit in Richtung ${\vec {g}}$ dabei gleichförmig an. Für Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit muss die spezielle Relativitätstheorie berücksichtigt werden.

Gravitationspotential

Bei einem freien Fall (ohne Luftwiderstand) werden alle Körper gleich beschleunigt. Auf der Erde beträgt die Beschleunigung in Richtung Erdmittelpunkt ungefähr 9,81 Meter pro Quadratsekunde. Das Potential der Erde ist jedoch nicht kugelsymmetrisch, da die Erdgestalt von einer Kugel abweicht (Erdabplattung) und der innere Aufbau der Erde nicht völlig homogen ist (Schwereanomalie). Die Erdbeschleunigung kann daher regional leicht unterschiedlich sein. Unabhängig vom Potential muss bei Messungen gegebenenfalls auch die Beschleunigung durch die Erdrotation berücksichtigt werden. Ein Beschleunigungsmesser zur Bestimmung der Schwerebeschleunigung wird Gravimeter genannt.

Äquivalenzprinzip und allgemeine Relativitätstheorie

Das Äquivalenzprinzip besagt, dass in einem frei fallenden Bezugssystem keine Gravitationsfelder existieren. Es geht auf die Überlegungen von Galileo Galilei und Isaac Newton zurück, die erkannt haben, dass alle Körper unabhängig von ihrer Masse von der Gravitation gleich beschleunigt werden. Ein Beobachter in einem Labor kann nicht feststellen, ob sich sein Labor in der Schwerelosigkeit oder im freien Fall befindet.

Mit der allgemeinen Relativitätstheorie lässt sich ein Gravitationsfeld durch die Metrik der Raumzeit, also die Maßvorschrift in einem vierdimensionalen Raum aus Orts- und Zeitkoordinaten ausdrücken. Ein Inertialsystem hat eine flache Metrik. Nichtbeschleunigte Beobachter bewegen sich immer auf dem kürzesten Weg (Geodäte) durch die Raumzeit. In einem flachen Raum, also einem Inertialsystem, ist dies eine gerade Weltlinie. Gravitation bewirkt eine Raumkrümmung. Das bedeutet, dass die Metrik des Raumes nicht mehr flach ist. Dies führt dazu, dass der Weg, den ein nichtbeschleunigtes Objekt im dreidimensionalen Anschauungsraum durchläuft, meist als gekrümmte Kurve wahrgenommen wird.

Beispiele

Größenordnung typischer Beschleunigungen aus dem Alltag:^[1]

Der ICE erreicht eine Beschleunigung von etwa 0,5 m/s², ein moderner S-Bahn-Triebwagen sogar 1,0 m/s².
Während der ersten Schritte eines Sprints wirken Beschleunigungen von etwa 4 m/s² auf den Sportler.
Die Kugel beim Kugelstoßen wird in der Abstoßphase mit etwa 10 m/s² beschleunigt.
Bei einer Waschmaschine wirken im Schleudergang mehr als 300 g (≈ 3.000 m/s²) auf den Trommelinhalt.
Bei Nähmaschinen wirken auf die Nadel Beschleunigungen von bis zu 6000 g (≈ 59 km/s²).
Ein Tennisball kann Beschleunigungen bis zu 10.000 m/s² erfahren.
Bei Nesselzellen wird der Stachel mit bis zu 5.410.000 g (≈ 53 Millionen m/s²) beschleunigt.

Umgangssprachliche Verwendung

Der Begriff Beschleunigung wird umgangssprachlich auch für „Geschwindigkeitszunahmen“ benutzt, die nicht die zweite zeitliche Ableitung eines Ortes sind. Dies kann zum Beispiel die zweite zeitliche Ableitung einer dimensionslosen Größe, wie die erste zeitliche Ableitung einer Frequenz oder Wachstumsrate sein. Beispiele:

Die Winkelbeschleunigung ist die Änderung der Winkelgeschwindigkeit, also die zweite zeitliche Ableitung eines Winkels.
Die „Beschleunigung“ einer chemischen Reaktion bezeichnet die Erhöhung der Reaktionsgeschwindigkeit, beispielsweise durch einen Katalysator.
Die PAL-Beschleunigung ist eine Technik, bei der die Bildfrequenz erhöht wird, also die „Geschwindigkeit“, mit der ein Bild wechselt.
In der Psychologie wird der Begriff Beschleunigung für die subjektiv empfundene zunehmende Geschwindigkeit im täglichen Leben benutzt, die mit der Alterung in Verbindung gebracht wird (siehe hierzu auch Entschleunigung, Gerontologie).
Bei Kraftfahrzeugen wird die erreichbare positive Beschleunigung als ein wesentlicher Parameter zur Klassifizierung der Leistung verwendet. Angegeben wird meist ein Mittelwert in der Form „In … Sekunden von 0 auf 100 km/h“ (auch 160 oder 200 km/h).

Weblinks

Wiktionary: Beschleunigung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Untersuchungen zur Beschleunigung an der Atwoodschen Fallmaschine (PDF-Datei; 325 kB)
Umrechnen zwischen den verschiedenen Einheiten der Beschleunigung
Lernvideo der Khan Academy zum Thema Beschleunigung

Quellen

↑ nanotribo Kurs zu Beschleunigung. (PDF; 260 kB) Abgerufen am 5. Februar 2013.

[nano-1] nanotribo Kurs zu Beschleunigung. (PDF; 260 kB) Abgerufen am 5. Februar 2013.

[1]

Deutschland – Kaiserreich