„Beschleunigung“ – Versionsunterschied

Physikalische Größe
Name	Beschleunigung
Formelzeichen

Beschleunigung bedeutet die Änderung einer Geschwindigkeit pro Zeiteinheit. In der Umgangssprache wird meistens nur eine Zunahme der Geschwindigkeit als Beschleunigung bezeichnet. Im physikalischen Sinn ist jede Änderung einer Bewegung eine Beschleunigung. Dies schließt eine Verminderung der Geschwindigkeit – also beispielsweise einen Bremsvorgang – ebenso ein wie eine Richtungsänderung – beispielsweise bei einer Kurvenfahrt mit einem Auto.

Die Beschleunigung wird häufig als Vektor, also durch einen Betrag und eine Richtung angegeben. Die SI-Einheit der Beschleunigung ist $\mathrm {\,{\tfrac {m}{s^{2}}}}$ (Meter pro Quadratsekunde). Beschleunigung hängt über das zweite Newtonsche Gesetz mit Trägheitskräften zusammen. Demnach ist eine Beschleunigung proportional zu der Kraft, die auf einen Körper einwirkt.

Definition

Die Beschleunigung ${\vec {a}}$ ist definiert als Geschwindigkeitsänderung pro Zeitintervall. Erfährt ein Objekt eine konstante Beschleunigung, so kann diese aus der Differenz der Geschwindigkeiten $\Delta {\vec {v}}={\vec {v}}(t_{2})-{\vec {v}}(t_{1})$ zu zwei verschiedenen Zeitpunkten $t_{1}$ und $t_{2}$ dividiert durch die Länge des durch die beiden Zeitpunkte begrenzten Zeitintervalls $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ berechnet werden:

{\vec {a}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}

Ändert sich die Beschleunigung während dieser Zeitspanne, so erhält man mit dieser Rechnung das arithmetische Mittel der Beschleunigung, also die Durchschnittsbeschleunigung.

Um die Beschleunigung, statt für ein Zeitintervall, für einen bestimmten Zeitpunkt zu berechnen, muss der Übergang vom Differenzenquotient zum Differentialquotienten vollzogen werden. Die Beschleunigung ist dann die erste zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:

{\vec {a}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}(t)}{\mathrm {d} t}}={\dot {\vec {v}}}(t)

Da die Geschwindigkeit die Ableitung des Ortes nach der Zeit ist, kann man die Beschleunigung auch als zweite Ableitung des Ortsvektors ${\vec {r}}$ darstellen:

{\vec {a}}(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}={\ddot {\vec {r}}}(t)

Die zeitliche Ableitung der Beschleunigung ${\vec {j}}$ (also die dritte Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit) wird Ruck genannt.

{\vec {j}}(t)={\dot {\vec {a}}}(t)={\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}(t) \over \mathrm {d} t^{3}}

Abhängigkeit vom Bezugssystem

Isaac Newton beschrieb als erster, dass zum Auftreten einer Beschleunigung eine Kraft notwendig ist. Sein Gesetz beschreibt nichtrelativistisch das Verhältnis von Beschleunigung und Kraft für Körper in einem Inertialsystem. Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, bei dem sich kräftefreie Körper geradlinig, gleichförmig bewegen. Die Beschleunigung ist dann das Verhältnis von Kraft $F$ zu Masse $m$ :

{\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}

Das Gegenteil von Inertialsystemen sind beschleunigte Bezugssysteme. Das Bezugssystem eines Beobachters, der auf der Erde ruht ist ein beschleunigtes Bezugssystem, da auf ihn eine Schwerebeschleunigung wirkt. Im Alltag wird, wenn von einer Beschleunigung gesprochen wird, meist ein solches Bezugssystem vorausgesetzt. Ist dagegen die Beschleunigung bezüglich eines Inertialsystems gemeint, spricht man auch von g-Kraft. Der Name „Kraft“, kommt von der Tatsache, dass Menschen die Beschleunigung als Kraft erfahren. Die Beschleunigung bezüglich eines Inertialsystems lässt sich durch die Kraft, die auf einen Körper mit bekannter Masse wirkt, mithilfe von obenstehender Gleichung bestimmen.

Messung der Beschleunigung

Möglichkeiten und Anwendungen

Für Anwendungen ergeben sich daher zwei Möglichkeiten eine Beschleunigung zu Messen beziehungsweise anzugeben. Eine Möglichkeit ist, die Beschleunigung eines Objekts bezüglich eines Weges (Raumkurve) zu betrachten. Dazu wird die Geschwindigkeit bezüglich des Weges und die Zeit bestimmt, die für eine Änderung der Geschwindigkeit benötigt wird. Die andere Möglichkeit ist, einen Beschleunigungssensor zu verwenden. Dieser bestimmt, ähnlich einer Waage, die Trägheitskraft, die auf eine Testmasse wirkt. Solche Sensoren ermöglichen die Messung von Beschleunigungen in einem großen Messbereich und eignen sich daher für eine Vielzahl von verschiedenen Anwendungen.

Wenn der Weg bekannt ist, lassen sich beide Beschleunigungsangaben ineinander umrechnen. Wenn die Anfangsgeschwindigkeit und -Position bekannt ist, ermöglicht die Messung der Beschleunigung eine Positionsbestimmung. Die Position lässt sich dann einfach durch zweifache Integration über die Zeit bestimmen. Für den Fall dass beispielsweise das GPS-System eines Flugzeugs ausfällt, ermöglicht diese Methode eine relativ genaue Ortsbestimmung über einen mittellangen Zeitraum. Ein Navigationssystem, das die Position durch Messung der Beschleunigung bestimmt heißt Trägheitsnavigationssystem.

Die Maßeinheit für die Angabe einer Beschleunigung ist standardmäßig die Einheit Meter pro Quadratsekunde (m/s²), also (m/s)/s. In technischen und populärwissenschaftlichen Zusammenhängen wird eine Beschleunigung bezüglich eines Inertialsystems häufig als Vielfaches der Erdbeschleunigung (Normfallbeschleunigung) g = 9,80665 m/s² angegeben. In den Geowissenschaften ist daneben auch die Einheit Gal = 0,01 m/s² gebräuchlich.

Rechenbeispiel zur Messung über die Geschwindigkeit

Ein Auto bewegt sich zum Zeitpunkt $t_{1}=0\,\mathrm {s}$ mit einer Geschwindigkeit von $v_{1}=0\,\mathrm {\tfrac {m}{s}}$ im Vergleich zur Straße (das Auto steht still). Zehn Sekunden später, zum Zeitpunkt $t_{2}=10\,\mathrm {s}$ besitzt es eine Geschwindigkeit von $v_{2}=20\,\mathrm {\tfrac {m}{s}}$ (entspricht 72 km/h). Die durchschnittliche Beschleunigung des Autos ist dann

a={\frac {v_{2}-v_{1}}{t_{2}-t_{1}}}=2\,\mathrm {\tfrac {m}{s^{2}}}

Die Beschleunigung gibt an, dass pro Sekunde die Geschwindigkeit des Autos um $2\,\mathrm {\tfrac {m}{s}}$ (entspricht 7,2 km/h) zunimmt.

Rechenbeispiel zur Messung über die Trägheit

In einem Aufzug befindet sich eine Federwaage, an der eine Masse von einem Kilogramm hängt ( $M=1\,\mathrm {kg}$ ). Wenn der Aufzug im Vergleich zur Erde ruht, so zeigt die Waage eine Gewichtskraft von 9,81 Newton an ( $F=9,81\,\mathrm {N}$ ). Die Schwerebeschleunigung beträgt demnach

a={\frac {F}{M}}=9,81\,\mathrm {\tfrac {m}{s^{2}}}

Zeigt die Federwaage einen Moment später zum Beispiel die Kraft von zwölf Newton an, so ist die Beschleunigung des Aufzugs $2,19\,\mathrm {\tfrac {m}{s^{2}}}$ im Vergleich zur Erde nach oben.

Beschleunigung entlang eines Weges

Allgemeine Beschreibung

Tangenteneinheitsvektor und Normaleneinheitsvektor bei einer Kurve in zwei Dimensionen

Die Beschleunigung eines Körpers, der sich entlang eines Weges (Raumkurve) bewegt, lässt sich mit den Frenetschen Formeln berechnen. Dies ermöglicht eine Aufteilung der Beschleunigung in eine Beschleunigung in Bewegungsrichtung (Tangentialbeschleunigung) und eine Beschleunigung senkrecht zur Bewegungsrichtung (Normal- oder Radialbeschleunigung).

Der Vektor der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ kann als Produkt aus seinem Betrag $v$ und dem Tangenteneinheitsvektor ${\hat {t}}$ dargestellt werden:

{\vec {v}}=v\,{\hat {t}}

Der Tangenteneinheitsvektor ist ein Vektor der Länge Eins, der an jedem Punkt des Weges die Richtung der Bewegung anzeigt. Die Ableitung dieses Ausdrucks nach der Zeit ist die Beschleunigung.

{\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=\left({\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right){\hat {t}}+v\left({\frac {\mathrm {d} {\hat {t}}}{\mathrm {d} t}}\right)

Die zeitliche Ableitung des Tangenteneinheitsvektors kann über die Bogenlänge $s$ berechnet werden:

{\frac {\mathrm {d} {\hat {t}}}{\mathrm {d} t}}=\underbrace {\frac {\mathrm {d} {\hat {t}}}{\mathrm {d} s}} _{{\hat {n}}/\rho }\underbrace {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}} _{v}={\frac {v}{\rho }}{\hat {n}}

Dabei führt man den Krümmungsradius $\rho$ und den Normaleneinheitsvektor ${\hat {n}}$ ein. Der Krümmungsradius ist ein Maß für die Stärke der Krümmung und der Normaleneinheitsvektor zeigt quer zur Bahnkurve in Richtung des Krümmungsmittelpunkts. Man definiert die Tangentialbeschleunigung $a_{t}$ und Radialbeschleunigung $a_{n}$ als

a_{t}={\dot {v}}

a_{n}={\frac {v^{2}}{\rho }}.

Die Beschleunigung lässt sich damit in beide Komponenten aufteilen:

{\vec {a}}=a_{t}{\hat {t}}+a_{n}{\hat {n}}

Ist die Tangentialbeschleunigung Null, so ändert der Körper nur seine Bewegungsrichtung. Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt dabei erhalten. Um den Betrag der Geschwindigkeit zu ändern, muss also eine Kraft wirken, die eine Komponente in Richtung des Tangentialvektors besitzt.

Zentrifugalbeschleunigung

Ein Sonderfall obenstehender Überlegung ist eine Kreisbewegung mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag. In diesem Fall ist die Beschleunigung (Zentripetalbeschleunigung) nach innen auf den Kreismittelpunkt hin gerichtet, also immer exakt senkrecht zur momentanen Bewegungsrichtung auf der Kreisbahn. Dadurch wird nicht der Betrag der Geschwindigkeit verändert, sondern nur deren Richtung, was eben gerade eine Kreisbahn ergibt. Ein mitbewegter Beobachter dagegen befindet sich in einem beschleunigten Bezugssystem. Er spürt daher eine gleich große Beschleunigung vom Mittelpunkt weg nach außen (Zentrifugalbeschleunigung).

Negative und Positive Beschleunigung

Bei einem Körper, der sich entlang einer Linie bewegt, wird der Tangenteneinheitsvektor üblicherweise in Bewegungsrichtung gewählt. Ist die Tangentialbeschleunigung negativ, so verringert sich die Geschwindigkeit des Körpers. Bei Fahrzeugen spricht man von einer Verzögerung oder Bremsung des Fahrzeugs. Wird in diesem Zusammenhang dann der Begriff Beschleunigung gebraucht, so ist meist eine positive Tangentialbeschleunigung gemeint, welche die Geschwindigkeit des Fahrzeugs erhöht.

Bei Kraftfahrzeugen wird die erreichbare positive Beschleunigung als ein wesentlicher Parameter zur Klassifizierung der Leistung verwendet. Es wird dabei jedoch nicht direkt die physikalische Größe angegeben (die ohnehin je nach Geschwindigkeit und Fahrzustand verschieden ist), sondern meist ein Mittelwert in der Form „Sekunden von 0 auf 100 km/h“ (auch 160 oder 200 km/h).

Beschleunigung in einem Potential

Zweidimensionaler Querschnitt durch ein Gravitationspotential einer homogenen Kugel. Die Wendepunkte befinden sich an der Oberfläche der Kugel.

Beschleunigungsfeld und Potential

Ist eine Kraft auf ein Teilchen proportional zu seiner Masse, dies ist zum Beispiel bei der Gravitation der Fall, so lässt sich dem Raum ein Beschleunigungsfeld zuordnen. Dieses Vektorfeld ordnet jedem Punkt ${\vec {r}}$ im Raum eine Beschleunigung ${\vec {a}}({\vec {r}})$ zu. Es lässt sich häufig als Gradient eines Potentials $\Phi ({\vec {r}})$ schreiben. Anschaulich lässt sich das Potential als Schüssel, wie im Bild rechts auffassen. Der negative Gradient ist ein Vektor, der in Richtung der geringsten Steigung zeigt. Er gibt also an, in welche Richtung eine Kugel rollen würde, die in die Schüssel gelegt wird. Mit einem Potential oder Beschleunigungsfeld lässt sich dann für jede Anfangsbedingung, also Anfangsgeschwindigkeit und -Position, die Bewegung eines Teilchens (Trajektorie) vorhersagen.

Auch wenn die Kraft auf ein Teilchen nicht proportional zu seiner Masse ist, lässt sich häufig ein Kraftfeld und ein Potential aufstellen, beispielsweise ein Coulombpotential für ein elektrisch geladenes Teilchen. In diesen Fällen ist die Bewegung jedoch von der Masse $m$ und beispielsweise von der Ladung $q$ des Teilchens abhängig, die Bewegungsgleichung also

{\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\,{\vec {r}}=-{\frac {q}{m}}\nabla \Phi ({\vec {r}})

Keine Beschleunigung

Ist das Beschleunigungsfeld an allen Punkten des Raums gleich Null, so handelt es sich um ein Inertialsystem:

{\vec {a}}({\vec {r}})=0

für alle

{\vec {r}}

In diesem System bleibt die Geschwindigkeit eines Körpers in Betrag und Richtung unverändert. Die Körper verharren in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung. Dieser Zustand wird Schwerelosigkeit genannt. Schwerelosigkeit setzt Kräftefreiheit oder ein Kräftegleichgewicht voraus. Ein Beispiel ist die Internationale Raumstation. Die Raumstation gleicht durch ihre Bewegung im Erdorbit die verbleibende Erdbeschleunigung durch die Zentrifugalbeschleunigung der Kreisbahn aus. Auf einen Beobachter, der sich mit der Raumstation mitbewegt wirken daher keine Kräfte.

Gleichmäßig konstante Beschleunigung

Bei einer gleichmäßig konstanten Beschleunigung ist das Beschleunigungsfeld an allen Punkten des Raums in Betrag und Richtung konstant, beispielsweise gleich dem Vektor ${\vec {g}}$ :

{\vec {a}}({\vec {r}})={\vec {g}}

für alle

{\vec {r}}

Mit einem solchen Ansatz lässt sich beispielsweise lokal (nicht global) das Gravitationsfeld der Erde beschreiben. Ein Teilchen in einem solchen Feld bewegt sich auf einer parabelförmigen Bahn, bei einem Gravitationsfeld auch Wurfparabel genannt. Im Rahmen der klassischen Mechanik wächst die Geschwindigkeit in Richtung ${\vec {g}}$ dabei gleichförmig an. Für Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit muss die spezielle Relativitätstheorie berücksichtigt werden.

Gravitationspotential

Bei einem freien Fall (ohne Luftwiderstand) werden alle Körper gleich beschleunigt. Auf der Erde beträgt die in Beschleunigung in Richtung Erdmittelpunkt ungefähr 9,81 Meter pro Quadratsekunde. Das Potential der Erde ist jedoch nicht kugelsymmetrisch, da die Erdgestalt von einer Kugel abweicht (Erdabplattung) und der innere Aufbau der Erde nicht völlig homogen ist (Schwereanomalie). Die Erdbeschleunigung kann daher regional leicht unterschiedlich sein. Unabhängig vom Potential muss bei Messungen gegebenenfalls auch die Beschleunigung durch die Erdrotation berücksichtigt werden. Ein Beschleunigungsmesser zur Bestimmung der Schwerebeschleunigung wird Gravimeter genannt.

Äquivalenzprinzip und Allgemeine Relativitätstheorie

Das Äquivalenzprinzip besagt, dass in einem frei fallenden Bezugssystem keine Gravitationsfelder existieren. Es geht auf die Überlegungen von Galileo Galilei und Isaac Newton zurück, die erkannt haben, dass alle Körper unabhängig von ihrer Masse von der Gravitation gleich beschleunigt werden. Ein Beobachter in einem Labor kann nicht feststellen, ob sich sein Labor in der Schwerelosigkeit oder im freien Fall befindet.

Mit der allgemeinen Relativitätstheorie lässt sich ein Gravitationsfeld durch die Metrik der Raumzeit, also die Maßvorschrift in einem vierdimensionalen Raum aus Orts- und Zeitkoordinaten ausdrücken. Die Metrik eines Inertialsystems ist eine flache Metrik. Nichtbeschleunigte Beobachter bewegen sich immer auf dem kürzesten Weg (Geodäte) durch die Raumzeit. In einem flachen Raum, also einem Inertialsystem, ist dies eine gerade Weltlinie. Gravitation bewirkt eine Raumkrümmung. Das bedeutet, dass die Metrik des Raumes dann nicht mehr flach ist. Dies führt dazu, dass der Weg, den ein nichtbeschleunigter Gegenstand in dem dreidimensionalen Anschauungsraum nimmt, meist als gekrümmte Kurve wahrgenommen wird.

Beispiele

Größenordnung typischer Beschleunigung aus dem Alltag:^[1]

Der ICE erreicht eine Beschleunigung von etwa 0,5 m/s², ein moderner S-Bahn-Triebwagen sogar 1,0 m/s².
Während der ersten Schritte eines Sprints wirken Beschleunigungen von etwa 4 m/s² auf den Sportler.
Die Kugel beim Kugelstoßen wird in der Abstoßphase mit etwa 10 m/s² beschleunigt.
Bei einer Waschmaschine wirken im Schleudergang mehr als 300 g (≈ 3.000 m/s²) auf den Trommelinhalt.
Bei Nähmaschinen wirken auf die Nadel Beschleunigungen von bis zu 6000 g (≈ 59 km/s²).
Ein Tennisball kann Beschleunigungen bis zu 10.000 m/s² erfahren.
Bei Nesselzellen wird der Stachel mit bis zu 5.410.000 g (≈ 53 Millionen m/s²) beschleunigt.

Umgangssprachliche Verwendung

Der Begriff Beschleunigung wird umgangssprachlich auch für „Geschwindigkeitszunahmen“ benutzt, die nicht die zweite zeitliche Ableitung eines Ortes sind. Dies kann zum Beispiel die zweite zeitliche Ableitung einer dimensionslosen Größe, wie die erste zeitliche Ableitung einer Frequenz oder Wachstumsrate sein. Beispiele:

Die Winkelbeschleunigung, ist die Änderung der Winkelgeschwindigkeit, also die zweite zeitliche Ableitung eines Winkels.
Die „Beschleunigung“ einer chemischen Reaktion bezeichnet die Erhöhung der Reaktionsgeschwindigkeit, beispielsweise durch einen Katalysator.
Die PAL-Beschleunigung ist eine Technik bei der die Bildfrequenz erhöht wird, also die „Geschwindigkeit“, mit der ein Bild wechselt.
In der Psychologie wird der Begriff Beschleunigung für die subjektiv empfundene zunehmende Geschwindigkeit im täglichen Leben benutzt, die mit der Alterung in Verbindung gebracht wird (siehe hierzu auch Entschleunigung, Gerontologie).

Weblinks

Wiktionary: Beschleunigung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Untersuchungen zur Beschleunigung an der Atwoodschen Fallmaschine (PDF-Datei; 325 kB)
Umrechnen zwischen den verschiedenen Einheiten der Beschleunigung
Lernvideo der Khan Academy zum Thema Beschleunigung

Quellen

↑ nanotribo Kurs zu Beschleunigung. Abgerufen am 5. Februar 2013.

[nano-1] nanotribo Kurs zu Beschleunigung. Abgerufen am 5. Februar 2013.

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 === Allgemeine Beschreibung ===
 [[Datei:Tangentvector.svg|mini|Tangenteneinheitsvektor und Normaleneinheitsvektor bei einer [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] in zwei [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]]]]
-Die Beschleunigung eines Körpers, der sich entlang eines Weges (Raumkurve) bewegt, lässt sich mit den [[Frenetsche Formeln|Frenetschen Formeln]] berechnen. Dies ermöglicht eine Aufteilung der Beschleunigung in eine Beschleunigung in Bewegungsrichtung ([[Tangentialbeschleunigung]]) und eine Beschleunigung senkrecht zur Bewegungsrichtung (Normal- oder Radialbeschleunigung).
+Die Beschleunigung eines Körpers, der sich entlang eines Weges (Raumkurve) bewegt, lässt sich mit den [[Frenetsche Formeln|Frenetschen Formeln]] berechnen. Dies ermöglicht eine Aufteilung der Beschleunigung in eine Beschleunigung in Bewegungsrichtung ([[Tangentialbeschleunigung]]) und eine Beschleunigung [[Orthogonalität|senkrecht]] zur Bewegungsrichtung (Normal- oder Radialbeschleunigung).
 Der Vektor der Geschwindigkeit <math>\vec v</math> kann als Produkt aus seinem Betrag <math>v</math> und dem Tangenteneinheitsvektor <math>{\hat{t}}</math> dargestellt werden:

Deutschland – Kaiserreich

„Beschleunigung“ – Versionsunterschied

Version vom 26. Februar 2013, 07:23 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Definition

Abhängigkeit vom Bezugssystem