„Beschleunigung“ – Versionsunterschied

Physikalische Größe
Name	Beschleunigung
Formelzeichen

Beschleunigung bedeutet die Änderung einer Geschwindigkeit pro Zeiteinheit. In der Umgangssprache wird meistens nur eine Zunahme der Geschwindigkeit als Beschleunigung bezeichnet. Im physikalischen Sinn ist jede Änderung einer Bewegung eine Beschleunigung. Dies schließt eine Verminderung der Geschwindigkeit – also beispielsweise einen Bremsvorgang – ebenso ein wie eine Richtungsänderung – beispielsweise bei einer Kurvenfahrt mit einem Auto.

Die Beschleunigung wird häufig als Vektor, also durch einen Betrag und eine Richtung angegeben. Die SI-Einheit der Beschleunigung ist $\mathrm {\,{\tfrac {m}{s^{2}}}}$ (Meter pro Quadratsekunde). Beschleunigung hängt über das zweite Newtonsche Gesetz mit Trägheitskräften zusammen. Demnach ist eine Beschleunigung proportional zu der Kraft, die auf einen Körper einwirkt.

Sie spielt in der Dynamik als Teil der klassischen Mechanik eine wesentliche Rolle. ist eine physikalische Größe aus der Kinematik

Beschleunigungsvorgänge kommen in allen bewegten Systemen, z. B. in Fahrzeugen, Flugzeugen oder Aufzügen, vor und haben aufgrund der in diesem Zusammenhang auftretenden Trägheitskräfte auf die darin beförderten Menschen und Sachen meist deutliche Auswirkungen.

Definition

Die Beschleunigung ${\vec {a}}$ ist definiert als Geschwindigkeitsänderung pro Zeitintervall. Erfährt ein Objekt eine konstante Beschleunigung, so kann diese aus der Differenz der Geschwindigkeiten $\Delta {\vec {v}}={\vec {v}}(t_{2})-{\vec {v}}(t_{1})$ zu zwei verschiedenen Zeitpunkten $t_{1}$ und $t_{2}$ dividiert durch die Länge des durch die beiden Zeitpunkte begrenzten Zeitintervalls $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ berechnet werden:

{\vec {a}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}

Ändert sich die Beschleunigung während dieser Zeitspanne, so erhält man mit dieser Rechnung die mittlere Beschleunigung.

Um die Beschleunigung, statt für ein Zeitintervall, für einen bestimmten Zeitpunkt zu berechnen, muss der Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten vollzogen werden. Die Beschleunigung ist dann die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:

{\vec {a}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}(t)}{\mathrm {d} t}}={\dot {\vec {v}}}(t)

Da die Geschwindigkeit die Ableitung des Ortes nach der Zeit ist, kann man die Beschleunigung auch als zweite Ableitung des Ortsvektors ${\vec {r}}$ darstellen:

{\vec {a}}(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}={\ddot {\vec {r}}}(t)

Die zeitliche Ableitung der Beschleunigung ${\vec {j}}$ (also die dritte Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit) wird Ruck genannt.

{\vec {j}}(t)={\dot {\vec {a}}}(t)={\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}(t) \over \mathrm {d} t^{3}}

Abhängigkeit vom Bezugssystem

Isaac Newton beschrieb als erster, dass zum Auftreten einer Beschleunigung eine Kraft notwendig ist. Sein Gesetz beschreibt das Verhältnis von Beschleunigung und Kraft für Körper mit konstanter Masse in einem Inertialsystem. Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, bei dem sich kräftefreie Körper geradlinig, gleichförmig bewegen. Die Beschleunigung ist dann das Verhältnis von Kraft $F$ zu Masse $m$ :

{\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}

Das Gegenteil von Inertialsystemen sind beschleunigte Bezugssysteme. Das Bezugssystem eines Beobachters, der auf der Erde ruht ist ein beschleunigtes Bezugssystem, da auf ihn eine Schwerebeschleunigung wirkt. Im Alltag wird, wenn von einer Beschleunigung gesprochen wird, meist ein solches Bezugssystem vorausgesetzt. Ist dagegen die Beschleunigung bezüglich eines Inertialsystems gemeint, spricht man auch von g-Kraft. Der Name "Kraft", kommt von der Tatsache, dass Menschen die Beschleunigung als Kraft erfahren. Die Beschleunigung bezüglich eines Inertialsystems lässt sich durch die Kraft, die auf einen Körper mit bekannter Masse wirkt, mithilfe von obenstehender Gleichung bestimmen.

Messung der Beschleunigung

Für Anwendungen ergeben sich daher zwei Möglichkeiten eine Beschleunigung zu Messen beziehungsweise anzugeben. Eine Möglichkeit ist, die Beschleunigung eines Objekts bezüglich eines Weges zu betrachten. Dazu wird die Geschwindigkeit bezüglich des Weges und die Zeit bestimmt, die für eine Änderung der Geschwindigkeit benötigt wird. Die andere Möglichkeit ist, einen Beschleunigungssensor zu verwenden. Dieser bestimmt, ähnlich einer Waage, die Trägheitskraft, die auf eine Testmasse wirkt. Solche Sensoren ermöglichen die Messung von Beschleunigungen in einem großen Messbereich und eignen sich daher für eine Vielzahl von verschiedenen Anwendungen.

Wenn der Weg bekannt ist, lassen sich beide Beschleunigungsangaben ineinander umrechnen. Wenn die Anfangsgeschwindigkeit und -Position bekannt ist, ermöglicht die Messung der Beschleunigung eine Positionsbestimmung. Die Position lässt sich dann einfach durch zweifache Integration über die Zeit bestimmen. Für den Fall dass beispielsweise das GPS-System eines Flugzeugs ausfällt, ermöglicht diese Methode eine relativ genaue Ortsbestimmung über einen mittellangen Zeitraum. Zur Aufzeichnung von Beschleunigungswerten über einen Zeitraum dient ein Beschleunigungs-Logger.

Neben der Angabe in der Einheit $\mathrm {\tfrac {m}{s^{2}}}$ wird in technischen und populärwissenschaftlichen Zusammenhängen eine Beschleunigung bezüglich eines Inertialsystems häufig als Vielfaches der Erdbeschleunigung (Normfallbeschleunigung) g = 9,80665 m/s² angegeben. In den Geowissenschaften ist daneben auch die Einheit Gal gebräuchlich.

Beschleunigung entlang eines Weges

allgemeine Beschreibung

Die Beschleunigung eines Körpers, der sich entlang eines Weges (Raumkurve) bewegt, lässt sich mit den Frenetschen Formeln berechnen. Dies ermöglicht eine Aufteilung der Beschleunigung in eine Beschleunigung in Bewegungsrichtung (Tangentialbeschleunigung) und eine Beschleunigung senkrecht zur Bewegungsrichtung (Normal- oder Radialbeschleunigung).

Der Vektor der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ kann als Produkt aus seinem Betrag $v$ und dem Tangenteneinheitsvektor ${\hat {t}}$ dargestellt werden:

{\vec {v}}=v\,{\hat {t}}

Der Tangenteneinheitsvektor ist ein Vektor der Länge Eins, der an jedem Punkt des Weges die Richtung der Bewegung anzeigt. Die Ableitung dieses Ausdrucks nach der Zeit ist die Beschleunigung.

{\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=\left({\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right){\hat {t}}+v\left({\frac {\mathrm {d} {\hat {t}}}{\mathrm {d} t}}\right)

Die zeitliche Ableitung des Tangenteneinheitsvektors kann über die Bogenlänge $s$ berechnet werden:

{\frac {\mathrm {d} {\hat {t}}}{\mathrm {d} t}}=\underbrace {\frac {\mathrm {d} {\hat {t}}}{\mathrm {d} s}} _{{\hat {n}}/\rho }\underbrace {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}} _{v}={\frac {v}{\rho }}{\hat {n}}

Dabei führt man den Krümmungsradius $\rho$ und den Normaleneinheitsvektor ${\hat {n}}$ ein. Der Krümmungsradius ist ein Maß für die Stärke der Krümmung und der Normaleneinheitsvektor zeigt quer zur Bahnkurve in Richtung des Krümmungsmittelpunkts. Man definiert die Tangentialbeschleunigung $a_{t}$ und Radialbeschleunigung $a_{n}$ als

a_{t}={\dot {v}}

a_{n}={\frac {v^{2}}{\rho }}.

Die Beschleunigung lässt sich damit in beide Komponenten aufteilen:

{\vec {a}}=a_{t}{\hat {t}}+a_{n}{\hat {n}}

Ist die Tangentialbeschleunigung Null, so ändert der Körper nur seine Bewegungsrichtung. Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt dabei erhalten. Um den Betrag der Geschwindigkeit zu ändern, muss also eine Kraft wirken, die eine Komponente in Richtung des Tangentialvektors besitzt.

Zentrifugalbeschleunigung

Ein Sonderfall obenstehender Überlegung ist eine Kreisbewegung mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag. In diesem Fall ist die Beschleunigung (Zentripetalbeschleunigung) nach innen auf den Kreismittelpunkt hin gerichtet, also immer exakt senkrecht zur momentanen Bewegungsrichtung auf der Kreisbahn. Dadurch wird nicht der Betrag der Geschwindigkeit verändert, sondern nur deren Richtung, was eben gerade eine Kreisbahn ergibt. Ein mitbewegter Beobachter dagegen befindet sich in einem beschleunigten Bezugssystem. Er spürt daher eine gleich große Beschleunigung vom Mittelpunkt weg nach außen (Zentrifugalbeschleunigung).

Negative und Positive Beschleunigung

Bei einem Körper, der sich entlang einer Linie bewegt, wird der Tangenteneinheitsvektor üblicherweise in Bewegungsrichtung gewählt. Ist die Tangentialbeschleunigung negativ, so verringert sich die Geschwindigkeit des Körpers. Bei Fahrzeugen spricht man von einer Verzögerung oder Bremsung des Fahrzeugs. Wird in diesem Zusammenhang dann der Begriff Beschleunigung gebraucht, so ist meist eine positive Tangentialbeschleunigung gemeint, welche die Geschwindigkeit des Fahrzeugs erhöht.

Bei Kraftfahrzeugen wird die erreichbare positive Beschleunigung als ein wesentlicher Parameter zur Klassifizierung der Leistung verwendet. Es wird dabei jedoch nicht direkt die physikalische Größe angegeben (die ohnehin je nach Geschwindigkeit und Fahrzustand verschieden ist), sondern meist ein Mittelwert in der Form „Sekunden von 0 auf 100 km/h“ (auch 160 oder 200 km/h).

Beschleunigung in einem Potential

Beschleunigungsfeld und Potential

Ist eine Kraft auf ein Teilchen proportional zu seiner Masse, dies ist zum Beispiel bei der Gravitation der Fall, so lässt sich dem Raum ein Beschleunigungsfeld zuordnen. Dieses Vektorfeld ordnet jedem Punkt ${\vec {r}}$ im Raum eine Beschleunigung ${\vec {a}}({\vec {r}})$ zu. Es lässt sich häufig als Gradient eines Potentials $\Phi ({\vec {r}})$ schreiben. Mit einem Potential oder Beschleunigungsfeld lässt sich dann für jede Anfangsbedingung, also Anfangsgeschwindigkeit und -Position, die Bewegung des Teilchens (Trajektorie) vorhersagen.

Auch wenn die Kraft auf ein Teilchen nicht proportional zu seiner Masse ist, lässt sich häufig ein Kraftfeld und ein Potential aufstellen, beispielsweise ein Coulombpotential für ein elektrisch geladenes Teilchen. In diesen Fällen ist die Bewegung jedoch von der Masse $m$ und beispielsweise von der Ladung $q$ des Teilchens abhängig, die Bewegungsgleichung also

{\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\,{\vec {r}}=-{\frac {q}{m}}\nabla \Phi ({\vec {r}})

Keine Beschleunigung

Ist das Beschleunigungsfeld ${\vec {a}}$ an allen Punkten des Raums gleich Null, so bleibt die Geschwindigkeit in Betrag und Richtung unverändert. Ein solcher kräftefreier Raum ist also Inertialsystem. Die Körper verharren in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung man nennt diesen Zustand auch Schwerelosigkeit. Schwerelosigkeit setzt Kräftefreiheit oder ein Kräftegleichgewicht voraus. Ein Beispiel ist die Internationale Raumstation. Die Raumstation gleicht durch ihre Bewegung im Erdorbit die verbleibende Erdbeschleunigung durch die Zentrifugalbeschleunigung der Kreisbahn aus. Auf einen Beobachter, der sich mit der Raumstation mitbewegt wirken daher keine Kräfte.

Gleichmäßig konstante Beschleunigung

Konstante Beschleunigung führt im Rahmen der klassischen Mechanik zu gleichmäßig beschleunigter Bewegung mit zeitlich gleichförmig wachsender Geschwindigkeit. Nach der speziellen Relativitätstheorie gilt dies nur näherungsweise, wobei die Näherung sehr gut ist, wenn die beteiligten Geschwindigkeiten sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind.

Gravitationspotential

Beim freien Fall auf der Erde werden alle Körper mit der Erdbeschleunigung von $g\approx 9,81{\mathrm {m} }/{\mathrm {s} }^{2}$ in Richtung Erdmittelpunkt beschleunigt. Das Potential der Erde ist jedoch nicht kugelsymmetrisch, da die Erdgestalt von einer Kugel abweicht (Erdabplattung) und der innere Aufbau der Erde nicht völlig homogen ist (Schwereanomalie). Die Erdbeschleunigung kann daher regional leicht unterschiedlich sein. Unabhängig vom Potential muss bei Messungen gegebenenfalls auch die Beschleunigung, durch die Erdrotation berücksichtigt werden. Einen Beschleunigungsmesser zur Bestimmung der Schwerebeschleunigung wird Gravimeter genannt.

Beispiele

Größenordnung typischer Beschleunigung aus dem Alltag:^[1]

Der ICE erreicht eine Beschleunigung von etwa 0,5 m/s², ein moderner S-Bahn-Triebwagen sogar 1,0 m/s².
Während der ersten Schritte eines Sprints wirken Beschleunigungen von etwa 4 m/s² auf den Sportler.
Die Kugel beim Kugelstoßen wird in der Abstoßphase mit etwa 10 m/s² beschleunigt.
Bei einer Waschmaschine wirken im Schleudergang mehr als 300 g (≈ 3.000 m/s²) auf den Trommelinhalt.
Bei Nähmaschinen wirken auf die Nadel Beschleunigungen von bis zu 6000 g (≈ 59 km/s²).
Ein Tennisball kann Beschleunigungen bis zu 10.000 m/s² erfahren.
Bei Nesselzellen wird der Stachel mit bis zu 5.410.000 g (≈ 53 Millionen m/s²) beschleunigt.

Umgangssprachliche Verwendung

Die „Kosmologische Beschleunigung“ ist ein für die Expansion des Universums verwendeter Ausdruck.
In der Psychologie wird die subjektiv empfundene zunehmende Geschwindigkeit im täglichen Leben mit der Alterung in Verbindung gebracht (siehe hierzu auch Entschleunigung, Gerontologie).

Weblinks

Wiktionary: Beschleunigung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Untersuchungen zur Beschleunigung an der Atwoodschen Fallmaschine (PDF-Datei; 325 kB)
Umrechnen zwischen den verschiedenen Einheiten der Beschleunigung
Lernvideo der Khan Academy zum Thema Beschleunigung

Quellen

↑ nanotribo Kurs zu Beschleunigung. Abgerufen am 5. Februar 2013.

[nano-1] nanotribo Kurs zu Beschleunigung. Abgerufen am 5. Februar 2013.

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 Auch wenn die Kraft auf ein Teilchen nicht proportional zu seiner Masse ist, lässt sich häufig ein [[Kraftfeld (Physik)|Kraftfeld]] und ein Potential aufstellen, beispielsweise ein [[Coulombpotential]] für ein [[Elektrische Ladung|elektrisch geladenes]] Teilchen. In diesen Fällen ist die Bewegung jedoch von der Masse <math>m</math> und beispielsweise von der Ladung <math>q</math> des Teilchens abhängig, die Bewegungsgleichung also
-:<math>\vec a=\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} t^2}\,\vec r = -\frac{q}{m} \nabla \Phi(\vec r)
+:<math>\vec a=\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} t^2}\,\vec r = -\frac{q}{m} \nabla \Phi(\vec r)</math>
 === Keine Beschleunigung ===

Deutschland – Kaiserreich

„Beschleunigung“ – Versionsunterschied

Version vom 24. Februar 2013, 05:11 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Definition

Abhängigkeit vom Bezugssystem

Messung der Beschleunigung