„Beschleunigung“ – Versionsunterschied
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{{Dieser Artikel|beschreibt den physikalischen Begriff. Zum sozialwissenschaftlichen Buch siehe [[Beschleunigung. Die Veränderung der Zeitstrukturen in der Moderne]].}} |
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{{Infobox Physikalische Größe |
{{Infobox Physikalische Größe |
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|Name= Beschleunigung |
|Name= Beschleunigung |
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|Formelzeichen= <math>\vec a</math> |
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'''Beschleunigung''' ist in der [[Physik]] die Änderung des [[Bewegungszustand]]s eines [[Körper (Physik)|Körpers]]. Das bedeutet, dass der Körper schneller oder langsamer wird, oder seine Bewegungsrichtung ändert. Die Beschleunigung ist, neben dem [[Ort (Physik)|Ort]] und der [[Geschwindigkeit]], eine zentrale Größe in der [[Kinematik]], einem Teilgebiet der [[Mechanik]]. |
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'''Beschleunigung''' bedeutet die Änderung einer [[Geschwindigkeit]] pro [[Zeiteinheit]]. In der [[Umgangssprache]] wird meistens nur eine Zunahme der Geschwindigkeit als Beschleunigung bezeichnet. Im physikalischen Sinn ist jede Änderung einer Bewegung eine Beschleunigung. Dies schließt eine Verminderung der Geschwindigkeit – also beispielsweise einen Bremsvorgang – ebenso ein wie eine Richtungsänderung – beispielsweise bei einer Kurvenfahrt mit einem Auto. |
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Als [[physikalische Größe]] ist die Beschleunigung die [[Änderungsrate#Momentane Änderungsrate|momentane zeitliche Änderungsrate]] der Geschwindigkeit. Sie ist eine [[vektor]]ielle, also gerichtete Größe. Die [[Internationales Einheitensystem|SI]]-Einheit der Beschleunigung ist {{nowrap|m/s<sup>2</sup>}} („Meter pro Quadratsekunde“, alternativ: „Meter pro Sekundenquadrat“). Bei einer Beschleunigung von {{nowrap|1 m/s<sup>2</sup>}} verändert sich die Geschwindigkeit pro Sekunde um {{nowrap|1 [[Meter pro Sekunde|m/s]]}}. In den [[Geowissenschaften]] ist daneben auch die Einheit [[Gal (Einheit)|Gal]] für {{nowrap|0,01 m/s<sup>2</sup>}} gebräuchlich. |
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Die Beschleunigung wird häufig als [[Vektor]], also durch einen Betrag und eine Richtung angegeben. Die [[Internationales Einheitensystem|SI]]-Einheit der Beschleunigung ist <math>\mathrm{\, \tfrac{m}{s^2}}</math> ([[Meter]] pro [[Sekunde|Quadratsekunde]]). |
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Beschleunigungen kommen im Alltag bei allen realen Bewegungsvorgängen, z. B. von [[Fahrzeug]]en, [[Flugzeug]]en oder [[Aufzugsanlage|Aufzügen]], vor. Durch die mit ihnen auftretende [[Trägheitskraft]] wirken sie sich mehr oder weniger deutlich auf beförderte Menschen und Sachen aus. |
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== Definition == |
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== Einführung == |
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Nach dem [[erstes Newtonsches Gesetz|ersten Newtonschen Gesetz]] bewegen sich alle Körper in [[Inertialsystem]]en mit konstanter Geschwindigkeit auf geradlinigen Bahnen, wenn keine Kräfte auf sie wirken. Man sagt: Ihr Bewegungszustand ist konstant. Falls doch eine Kraft auf einen Körper einwirkt, ändert sich sein Bewegungszustand. |
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In der Umgangssprache bezeichnet Beschleunigung oft nur eine Steigerung des „Tempos“, also des Betrags der Geschwindigkeit. Im physikalischen Sinn ist aber ''jede'' Änderung einer Bewegung eine Beschleunigung, z. B. auch eine Abnahme des Geschwindigkeitsbetrages – wie ein Bremsvorgang – oder eine reine Richtungsänderung bei gleichbleibendem [[Vektor#Länge/Betrag eines Vektors|Geschwindigkeitsbetrag]] – wie bei einer Kurvenfahrt mit einem Auto. |
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Zunächst betrachten wir nur Bewegungen entlang einer Geraden, also eindimensionale Bewegungen. Zu zwei Zeitpunkten hat der Körper die Geschwindigkeiten <math>v_1</math> und <math>v_2</math>. Seine Geschwindigkeit hat sich also in der Zeitspanne dazwischen <math>\Delta t = t_2 - t_1</math> geändert. Die Geschwindigkeitsänderung beträgt <math>\Delta v = v_2 - v_1</math>. Man definiert nun die ''mittlere'' Beschleunigung als die ''mittlere'' [[Änderungsrate]] der Geschwindigkeit. Die Beschleunigung <math>a</math> gibt also an, wie schnell diese Geschwindigkeitsänderung erfolgt. Es gilt somit: |
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:<math>\overline a=\frac{\Delta v}{\Delta t}</math> |
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Wenn die Beschleunigung dasselbe Vorzeichen hat wie die Geschwindigkeit, dann nimmt der Betrag der Geschwindigkeit zu. Wenn sich beide Vorzeichen unterscheiden, nimmt der Betrag der Geschwindigkeit ab (die Richtung der Geschwindigkeit kann sich auch umkehren). Ähnlich wie bei der Durchschnittsgeschwindigkeit lässt sich mit obiger Gleichung nur die ''durchschnittliche'' Beschleunigung berechnen. Nur wenn die Geschwindigkeit sich linear mit der Zeit ändert, also im Falle einer konstanten Beschleunigung, entspricht dies auch zu jedem Zeitpunkt der momentanen Beschleunigung. Um auch in anderen Fällen zur ''momentanen'' Beschleunigung zu gelangen, muss man den Grenzwert für sehr kleine Zeitintervalle bilden und gelangt so zur zeitlichen Ableitung der Geschwindigkeit: |
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:<math>a(t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\mathrm d v}{\mathrm d t} = \dot v(t)</math> |
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=== Einheiten === |
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Aus der Definitionsgleichung ergibt sich die Einheit 1 m/s². Ein Körper, der konstant mit 1 m/s² beschleunigt, ändert seine Geschwindigkeit in jeder Sekunde um 1 m/s. |
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Allgemein können Belastungen technischer Geräte oder die Angabe von Belastungsgrenzen als [[g-Kraft]], also als „Kraft pro Masse“, erfolgen. Diese wird als Vielfaches der [[Normfallbeschleunigung]] ''g'' = 9,80665 m/s<sup>2</sup> angegeben. |
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In den [[Geowissenschaften]] ist auch die Einheit [[Gal (Einheit)|Gal]] = 0,01 m/s<sup>2</sup> gebräuchlich. |
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Bei Kraftfahrzeugen wird die „Beschleunigung“ (besser: Das Beschleunigungsvermögen) angegeben, indem die Zeit für eine Geschwindigkeitsänderung (in der Regel von 0 auf 100 km/h) genannt wird. Ein Fahrzeug, das in 5,0 s von 0 auf 100 km/h beschleunigt, erfährt eine durchschnittliche Beschleunigung von <math>a = \tfrac{27{,}8\,\mathrm{m/s}}{5{,}0\,\mathrm{s}} \approx 5{,}6\,\mathrm{m/s^2}</math>. |
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=== Beispiele zur Berechnung über die Geschwindigkeit === |
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Ein Auto bewegt sich zum Zeitpunkt <math>t_1=0\,\mathrm s</math> mit einer Geschwindigkeit von <math>v_1=10\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}</math> über die Straße (das sind 36 [[Kilometer pro Stunde|km/h]]). Zehn Sekunden später, zum Zeitpunkt <math>t_2=10\,\mathrm s</math>, beträgt die Geschwindigkeit <math>v_2=30\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}</math> (das sind 108 [[Kilometer pro Stunde|km/h]]). Die durchschnittliche Beschleunigung des Autos in diesem Zeitintervall war dann |
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:<math>a=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1} = 2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}</math>. |
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Die Geschwindigkeit hat also pro Sekunde durchschnittlich um 2 m/s (also um 7,2 km/h) zugenommen. |
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Ein PKW, der vor der roten Ampel innerhalb von <math>\Delta t=3\,\mathrm s</math> von „Tempo 50“ (<math>v_1=50\,\mathrm{\tfrac{km}{h}} \approx 14\,\mathrm{\tfrac{m}{s} }</math>) auf Null abgebremst wird, erfährt die Beschleunigung |
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:<math>a=\frac{0-v_1}{\Delta t} \approx -5\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}</math>. |
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=== Gleichmäßig beschleunigte Bewegung === |
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Von einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung spricht man, wenn die Beschleunigung konstant ist. Dann gilt für die Geschwindigkeit |
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:<math>v(t) = at + v_0</math> |
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und für die zurückgelegte Strecke |
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:<math>s(t) = \frac 1 2 a t^2 + v_0 t + s_0</math> |
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mit dem Startpunkt <math>s_0</math> und der Anfangsgeschwindigkeit <math>v_0</math>. |
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== {{Anker|Mittlere}} Allgemeine Definition == |
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[[Datei:V vector.svg|mini|Geometrische Konstruktion der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren]] |
[[Datei:V vector.svg|mini|Geometrische Konstruktion der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren]] |
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Die Beschleunigung <math>\vec a</math> ist definiert als Geschwindigkeitsänderung pro [[Zeitintervall]]. Erfährt ein Objekt eine konstante Beschleunigung, so kann diese aus der Differenz der Geschwindigkeiten <math>\Delta \vec v=\vec v(t_2) - \vec v(t_1)</math> zu zwei verschiedenen Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math>, dividiert durch die Länge des durch die beiden Zeitpunkte begrenzten Zeitintervalls <math>\Delta t=t_2-t_1</math>, berechnet werden: |
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:<math>\vec a = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t}</math> |
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Ändert sich die Beschleunigung während dieser Zeitspanne, so erhält man mit dieser Rechnung das [[Arithmetisches Mittel#Der Mittelwert einer Funktion|arithmetische Mittel]] der Beschleunigung, also die Durchschnittsbeschleunigung. |
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Im Allgemeinen erfolgt die Bewegung nicht zwangsläufig geradlinig, sondern im zwei- oder dreidimensionalen Fall. Bei einer konstanten Beschleunigung, muss die Differenz der Geschwindigkeiten <math>\Delta \vec v=\vec v(t_2) - \vec v(t_1)</math> vektoriell bestimmt werden, wie in der Abbildung veranschaulicht. Wenn sich die Beschleunigung während der betrachteten Zeitspanne ändert, erhält man mit obiger Rechnung die '''mittlere Beschleunigung,''' auch [[Arithmetisches Mittel#Der Mittelwert einer Funktion|Durchschnitts]]<nowiki />beschleunigung genannt. |
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Um die Beschleunigung, statt für ein Zeitintervall, für einen bestimmten Zeitpunkt zu berechnen, muss der Übergang vom [[Differenzenquotient]]en zum [[Differenzierbarkeit#Definitionen|Differentialquotienten]] vollzogen werden. Die Beschleunigung ist dann die erste zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit: |
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:<math>\vec a(t) = \frac{\mathrm{d}\vec v(t)}{\mathrm{d}t} = \dot{\vec v}(t)</math> |
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Da die Geschwindigkeit die Ableitung des Ortes nach der Zeit ist, kann man die Beschleunigung auch als zweite Ableitung des Ortsvektors <math>\vec r</math> darstellen: |
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:<math>\vec a(t) = \frac{\mathrm{d}^2\vec r(t)}{\mathrm{d} t^2} = \ddot{\vec r}(t)</math> |
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Die zeitliche Ableitung der Beschleunigung <math>\vec j</math> (also die dritte Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit) wird [[Ruck]] genannt: |
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:<math>\vec{j}(t)= \dot{\vec{a}}(t)= {\mathrm d^3\vec {r}(t)\over \mathrm{d}t^3}</math> |
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:<math>a = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t}</math>. |
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== Abhängigkeit vom Bezugssystem == |
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[[Isaac Newton]] beschrieb als Erster, dass zum Auftreten einer Beschleunigung eine [[Kraft]] notwendig ist. Sein Gesetz beschreibt die Proportionalität von Kraft und Beschleunigung für Körper in einem [[Inertialsystem]]. Ein Inertialsystem ist ein [[Bezugssystem]], bei dem sich kräftefreie Körper [[Gerade|geradlinig]] [[Gleichförmige Bewegung|gleichförmig]] bewegen. Die Beschleunigung ist dann das Verhältnis von Kraft <math>F</math> zu [[Masse (Physik)|Masse]] <math>m\colon</math> |
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:<math>\vec a=\frac{\vec F}{m}</math> |
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Das Gegenteil von Inertialsystemen sind [[Beschleunigtes Bezugssystem|beschleunigte Bezugssysteme]]. Im Alltag wird, wenn von einer Beschleunigung gesprochen wird, meist ein solches Bezugssystem vorausgesetzt. Die Beschleunigung bezüglich eines Inertialsystems lässt sich durch die Kraft, die auf einen Körper mit bekannter Masse wirkt, mithilfe obenstehender [[Gleichung]] bestimmen. |
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Um die Beschleunigung für einen bestimmten Zeitpunkt statt für ein Zeitintervall zu berechnen, muss man – wie oben beschrieben – vom [[Differenzenquotient]]en zum [[Differenzierbarkeit#Definitionen|Differentialquotienten]] übergehen. Die Beschleunigung ist dann die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit: |
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== Messung der Beschleunigung == |
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:<math>\vec a(t) = \frac{\mathrm{d}\vec v(t)}{\mathrm{d}t} = \dot{\vec v}(t).</math> |
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=== Möglichkeiten und Anwendungen === |
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Da die Geschwindigkeit die Ableitung des Ortes nach der Zeit ist, kann man die Beschleunigung auch als zweite Ableitung des Ortsvektors <math>\vec r</math> nach der Zeit darstellen: |
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Für Anwendungen ergeben sich daher zwei Möglichkeiten, eine Beschleunigung zu messen oder anzugeben. Eine Möglichkeit ist, die Beschleunigung eines Objekts bezüglich eines Weges ([[Raumkurve]]) zu betrachten. Dazu wird die Geschwindigkeit bezüglich des Weges und die Zeit bestimmt, die für eine Änderung der Geschwindigkeit benötigt wird. Die andere Möglichkeit ist, einen [[Beschleunigungssensor]] zu verwenden. Dieser bestimmt, ähnlich einer [[Waage]], die Trägheitskraft, die auf eine Testmasse wirkt. Solche Sensoren ermöglichen die Messung von Beschleunigungen in einem großen Messbereich und eignen sich daher für eine Vielzahl verschiedener Anwendungen. |
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:<math>\vec a(t) = \frac{\mathrm{d}^2\vec r(t)}{\mathrm{d} t^2} = \ddot{\vec r}(t).</math> |
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Wenn die Vektoren der Geschwindigkeit und der Beschleunigung in die gleiche Richtung zeigen, bedeutet die Beschleunigung nur eine Zunahme des Geschwindigkeitsbetrags. Entsprechend nimmt der Geschwindigkeitsbetrag ab, wenn die beiden Vektoren antiparallel sind. In beiden Fällen ändert sich aber die Richtung des Geschwindigkeitsvektors nicht. Es handelt sich also um eine geradlinig beschleunigte Bewegung. |
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Wenn der Weg bekannt ist, lassen sich beide Beschleunigungsangaben ineinander umrechnen. Wenn die Anfangsgeschwindigkeit und -position bekannt ist, ermöglicht die Messung der Beschleunigung eine Positionsbestimmung. Die Position lässt sich dann einfach durch zweifache [[Integralrechnung|Integration]] über die Zeit bestimmen. Für den Fall, dass beispielsweise das [[Global Positioning System|GPS]]-System eines Flugzeugs ausfällt, ermöglicht diese Methode eine relativ genaue Ortsbestimmung über einen mittellangen Zeitraum. Ein [[Navigationssystem]], das die Position durch Messung der Beschleunigung bestimmt, heißt [[Trägheitsnavigationssystem]]. |
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Sofern jedoch die Beschleunigung in einem gewissen Winkel zur Bewegungsrichtung steht, ändert sich auch die Richtung der Geschwindigkeit. Die Bewegung beschreibt also eine gekrümmte Bahn. Wenn Beschleunigung und Geschwindigkeit orthogonal zueinander stehen, besitzt die Beschleunigung überhaupt keine Komponente in Richtung der Geschwindigkeit mehr. In diesem Fall ändert sich nur deren Richtung, aber nicht ihr Betrag. Die Bahnkurve ist dann – zumindest momentan – eine Kreisbahn. |
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Die [[Maßeinheit]] für die Angabe einer Beschleunigung ist standardmäßig die Einheit Meter pro Quadratsekunde (m/s<sup>2</sup>), also ([[Meter pro Sekunde|m/s]])/s. In technischen und populärwissenschaftlichen Zusammenhängen wird eine Beschleunigung bezüglich eines Inertialsystems häufig als Vielfaches der [[Erdbeschleunigung]] (Normfallbeschleunigung) ''g'' = 9,80665 m/s<sup>2</sup> angegeben. In den [[Geowissenschaften]] ist daneben auch die Einheit [[Gal (Einheit)|Gal]] = 0,01 m/s<sup>2</sup> gebräuchlich. |
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=== {{Anker|Normalbeschleunigung}} Gekrümmte Wege === |
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=== Rechenbeispiel zur Messung über die Geschwindigkeit === |
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Ein Auto bewegt sich zum Zeitpunkt <math>t_1=0\,\mathrm s</math> mit einer Geschwindigkeit von <math>v_1=0\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}</math> im Vergleich zur Straße (das Auto steht still). Zehn Sekunden später, zum Zeitpunkt <math>t_2=10\,\mathrm s</math> besitzt es eine Geschwindigkeit von <math>v_2=20\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}</math> (das sind 72 [[Kilometer pro Stunde|km/h]]). Die durchschnittliche Beschleunigung des Autos ist dann |
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:<math>a=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=2\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}.</math> |
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Dieser Wert der Beschleunigung bedeutet, dass die Geschwindigkeit des Autos pro Sekunde um <math>2\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}</math> (also um 7,2 km/h) zunimmt. |
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==== Spezialfall: Kreisbewegung ==== |
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=== Rechenbeispiel zur Messung über die Trägheit === |
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{{Siehe auch|Gleichförmige Kreisbewegung|Zentrifugalkraft|titel2=Zentrifugalbeschleunigung}} |
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In einem [[Aufzugsanlage|Aufzug]] befindet sich eine [[Federwaage]], an der eine Masse von einem [[Kilogramm]] hängt (<math>M=1\,\mathrm{kg}</math>). Wenn der Aufzug im Vergleich zur Erde ruht, so zeigt die Waage eine [[Gewichtskraft]] von 9,81 [[Newton (Einheit)|Newton]] an (<math>F=9,81\,\mathrm{N}</math>). Die Schwerebeschleunigung beträgt demnach |
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Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist der Beschleunigungsvektor in jedem Moment orthogonal zur Bewegungsrichtung. Man spricht von der [[Zentripetalbeschleunigung]] <math>a_Z</math>. Sie ergibt sich aus der Tangentialgeschwindigkeit <math>v</math> oder der [[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\omega</math>: |
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:<math>a=\frac{F}{M}=9,81\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}.</math> |
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Zeigt die Federwaage einen Moment später zum Beispiel eine Kraft von zwölf Newton an, so ist die Beschleunigung des Aufzugs <math>2,19\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}</math> im Vergleich zur Erde nach oben. |
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:<math>a_Z = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r</math>. |
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== Beschleunigung entlang eines Weges == |
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=== Allgemeine Beschreibung === |
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[[Datei:Tangentvector.svg|mini|Tangenteneinheitsvektor und Normaleneinheitsvektor bei einer [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] in zwei [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]]]] |
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Die Beschleunigung eines Körpers, der sich entlang eines Weges (Raumkurve) bewegt, lässt sich mit den [[Frenetsche Formeln|Frenetschen Formeln]] berechnen. Dies ermöglicht eine Aufteilung der Beschleunigung in eine Beschleunigung in Bewegungsrichtung ([[Tangentialbeschleunigung]]) und eine Beschleunigung [[Orthogonalität|senkrecht]] zur Bewegungsrichtung (Normal- oder Radialbeschleunigung). |
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Ein typisches Anwendungsbeispiel ist hierbei die Flugbahn von Satelliten in einem niedrigen, kreisförmigen Orbit, wo die Fallbeschleunigung, die stets zum Erdmittelpunkt gerichtet ist, als Zentripetalbeschleunigung fungiert. |
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Der Vektor der Geschwindigkeit <math>\vec v</math> kann als Produkt aus seinem Betrag <math>v</math> und dem Tangenteneinheitsvektor <math>{\hat{t}}</math> dargestellt werden: |
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Bezüglich eines mitrotierenden (und daher ''beschleunigten'') Bezugssystems wird ein Objekt vom Mittelpunkt weg nach außen beschleunigt, dann wird die Bezeichnung [[Zentrifugalbeschleunigung]] verwendet. Eine [[Zentrifuge]] nutzt diesen Effekt, um Dinge einer konstanten Beschleunigung auszusetzen. Der Krümmungsradius entspricht dabei, da es sich um eine Kreisbewegung handelt, dem Abstand <math>r</math> des Zentrifugiergutes zur [[Rotationsachse|Drehachse]]. Der Betrag der Zentrifugalbeschleunigung berechnet sich nach derselben Formel wie die Zentripetalbeschleunigung. |
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==== Allgemeiner Fall ==== |
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[[Datei:Tangentvector.svg|mini|Tangenteneinheitsvektor und Normaleneinheitsvektor bei einer [[Raumkurve]]]] |
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Die Beschleunigung eines Körpers, der sich entlang eines Weges (einer [[Raumkurve]]) bewegt, lässt sich mit den [[Frenetsche Formeln|Frenetschen Formeln]] berechnen. Dies ermöglicht eine additive Zerlegung der Beschleunigung in eine Beschleunigung in Bewegungsrichtung ([[Tangentialbeschleunigung]]) und eine Beschleunigung [[Orthogonalität|senkrecht]] zur Bewegungsrichtung ('''Normalbeschleunigung''' oder Radialbeschleunigung). |
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Der Vektor der Geschwindigkeit <math>\vec v</math> kann als Produkt aus seinem Betrag <math>v</math> und dem Tangenten<nowiki />[[einheitsvektor]] <math>{\hat{t}}</math> dargestellt werden: |
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:<math>\vec{v}=v\,\hat{t}</math> |
:<math>\vec{v}=v\,\hat{t}</math> |
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Der Tangenteneinheitsvektor ist ein Vektor der Länge <math>1</math>, der an jedem Punkt des Weges die Richtung der Bewegung anzeigt. Die Ableitung dieses Ausdrucks nach der Zeit ist die Beschleunigung: |
Der Tangenteneinheitsvektor ist ein Vektor der Länge <math>1</math>, der an jedem Punkt des Weges die Richtung der Bewegung anzeigt. Die Ableitung dieses Ausdrucks nach der Zeit ist die Beschleunigung: |
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Die zeitliche Ableitung des Tangenteneinheitsvektors kann über die [[Bogenlänge]] <math>s</math> berechnet werden: |
Die zeitliche Ableitung des Tangenteneinheitsvektors kann über die [[Bogenlänge]] <math>s</math> berechnet werden: |
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:<math>\frac{\mathrm d\hat t}{\mathrm dt}=\underbrace{\frac{\mathrm d\hat t}{\mathrm ds}}_{\hat n/\rho}\underbrace{\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}}_{v}=\frac{v}{\rho} \hat n</math> |
:<math>\frac{\mathrm d\hat t}{\mathrm dt}=\underbrace{\frac{\mathrm d\hat t}{\mathrm ds}}_{\hat n/\rho}\underbrace{\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}}_{v}=\frac{v}{\rho} \hat n</math> |
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Dabei führt man den [[Krümmungsradius]] <math>\rho</math> und den [[Normalenvektor|Normaleneinheitsvektor]] <math>\hat n</math> ein. Der Krümmungsradius ist ein Maß für die Stärke der [[Krümmung]] und der Normaleneinheitsvektor zeigt senkrecht zur Bahnkurve in Richtung des [[Krümmungskreis|Krümmungsmittelpunkts]]. Man definiert die Tangentialbeschleunigung <math>a_t</math> und Radialbeschleunigung <math>a_n</math> |
Dabei führt man den [[Krümmungsradius]] <math>\rho</math> und den [[Normalenvektor|Normaleneinheitsvektor]] <math>\hat n</math> ein. Der Krümmungsradius ist ein Maß für die Stärke der [[Krümmung]] und der Normaleneinheitsvektor zeigt senkrecht zur Bahnkurve in Richtung des [[Krümmungskreis|Krümmungsmittelpunkts]]. Man definiert die Tangentialbeschleunigung <math>a_t</math> und Radialbeschleunigung <math>a_n</math> so: |
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:<math>a_{t}=\dot{v}</math> |
:<math>a_{t} = \dot{v}</math> |
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:<math>a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho } |
:<math>a_{n} = \frac{v^{2}}{\rho }</math> |
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Die Beschleunigung lässt sich damit in |
Die Beschleunigung lässt sich damit in zwei Komponenten zerlegen: |
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:<math>\vec a =a_{t}\hat{t}+a_{n}\hat n</math> |
:<math>\vec a = a_{t}\hat{t}+a_{n}\hat n</math> |
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Ist die Tangentialbeschleunigung Null, so ändert der Körper nur seine Bewegungsrichtung. Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt dabei erhalten. Um den Betrag der Geschwindigkeit zu ändern, muss also eine Kraft wirken, die eine Komponente in Richtung des Tangentialvektors besitzt. |
Ist die Tangentialbeschleunigung Null, so ändert der Körper nur seine Bewegungsrichtung. Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt dabei erhalten. Um den Betrag der Geschwindigkeit zu ändern, muss also eine Kraft wirken, die eine Komponente in Richtung des Tangentialvektors besitzt. |
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=== |
=== Ruck === |
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{{Hauptartikel| |
{{Hauptartikel|Ruck}} |
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Die zeitliche Ableitung der Beschleunigung (also die dritte Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit) wird ''Ruck'' <math>\vec\jmath</math> genannt: |
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Ein Sonderfall obenstehender Überlegung ist eine [[Rotation (Physik)|Kreisbewegung]] mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag. In diesem Fall ist die Beschleunigung ([[Zentripetalbeschleunigung]]) nach innen auf den Kreismittelpunkt hin gerichtet, also immer exakt senkrecht zur momentanen Bewegungsrichtung auf der Kreisbahn. Dadurch wird nicht der Betrag der Geschwindigkeit verändert, sondern nur deren Richtung, was eben gerade eine Kreisbahn ergibt. Bezüglich eines mitrotierenden (und daher ''beschleunigten'') Bezugssystemes wird ein Objekt vom Mittelpunkt weg nach außen beschleunigt ([[Zentrifugalbeschleunigung]]). |
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:<math>\vec\jmath(t) = \dot{\vec{a}}(t)= \frac{\mathrm d^3\vec {r}(t)}{\mathrm{d}t^3}</math> |
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== Zusammenhang zwischen Beschleunigung und Kraft == |
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Eine [[Zentrifuge]] nutzt diesen Effekt, um Dinge konstanter Beschleunigung auszusetzten. Der Krümmungsradius entspricht dabei dem konstanten Abstand <math>r</math> des Zentrifugiergutes zur [[Rotationsachse|Drehachse]]. Die Beschleunigung, der das Zentrifugiergut ausgesetzt ist, lässt sich dann auch durch die [[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\omega</math> ausdrücken: |
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{{Hauptartikel|Newtonsche Gesetze}} |
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:<math>a_n=\frac{v^2}{r}=r\,\omega^2</math> |
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Der Zusammenhang zwischen Beschleunigungen und Kräften wird durch die Newtonschen Gesetze beschrieben: |
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=== Negative und positive Beschleunigung === |
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* In einem Inertialsystem erfahren kräftefreie Körper keine Beschleunigung. |
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Bei einem Körper, der sich entlang einer Linie bewegt, wird der Tangenteneinheitsvektor üblicherweise in Bewegungsrichtung gewählt. Ist die Tangentialbeschleunigung negativ, so verringert sich die Geschwindigkeit des Körpers. Bei Fahrzeugen spricht man von einer [[Bremsverzögerung|Verzögerung oder Bremsung]] des Fahrzeugs. Wird in diesem Zusammenhang dann der Begriff Beschleunigung gebraucht, so ist meist eine positive Tangentialbeschleunigung gemeint, welche die Geschwindigkeit des Fahrzeugs erhöht. |
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* Falls Kräfte angreifen, ist die Beschleunigung proportional zum Betrag der resultierenden Kraft und erfolgt in deren Richtung: <math>\vec F = m\vec a</math>. |
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Soll die Beschleunigung in einem [[Beschleunigtes Bezugssystem|beschleunigten Bezugssystem]] berechnet werden, so sind zusätzlich [[Trägheitskraft|Trägheitskräfte]] zu berücksichtigen. |
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Wenn die resultierende Kraft proportional zur Masse eines Körpers ist – wie das beispielsweise für die [[Gewichtskraft]] der Fall ist – ist die Beschleunigung von der Masse des Körpers unabhängig. Das ist der Grund, warum die [[Fallbeschleunigung]] beim [[freier Fall|freien Fall]] unabhängig von der Masse ist: Alle Körper fallen unabhängig von ihrer Masse gleich schnell, auf der Erde mit rund 9,81 m/s². |
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Bei [[Kraftfahrzeug]]en wird die erreichbare positive Beschleunigung als ein wesentlicher Parameter zur [[Klassifizierung]] der Leistung verwendet. Es wird dabei jedoch nicht direkt die physikalische Größe angegeben (die ohnehin je nach Geschwindigkeit und Fahrzustand verschieden ist), sondern meist ein Mittelwert in der Form „In … Sekunden von 0 auf 100 km/h“ (auch 160 oder 200 km/h). |
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In der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] gilt die Newton’sche Beziehung nicht exakt; die Beschleunigung ist nicht genau parallel zur Kraft (siehe [[Masse (Physik)#Relativistische Masse und Ruhemasse|Masse (Physik) → Spezielle Relativitätstheorie → „Relativistische Masse“]]). |
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== Beschleunigung in einem Potential == |
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[[Datei:GravityPotential.jpg|mini|Zweidimensionaler Querschnitt durch ein Gravitationspotential einer [[Homogenität|homogenen]] Kugel. Die [[Wendepunkt]]e befinden sich an der Oberfläche der Kugel.]] |
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=== Beschleunigungsfeld und Potential === |
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Ist eine Kraft auf ein Teilchen proportional zu seiner Masse, dies ist zum Beispiel bei der [[Schwerkraft|Gravitation]] der Fall, so lässt sie sich auch durch ein Beschleunigungsfeld beschreiben. Dieses [[Vektorfeld]] ordnet jedem Ort <math>\vec r</math> im Raum eine Beschleunigung <math>\vec a(\vec r)</math> zu. Es lässt sich häufig als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] eines [[Potential (Physik)|Potentials]] <math>\Phi(\vec r)</math> schreiben. Anschaulich lässt sich das Potential als [[Schüssel]] wie im Bild rechts auffassen. Der negative Gradient ist ein Vektor, der in Richtung der geringsten [[Steigung]] zeigt. Er gibt also an, in welche Richtung eine Kugel rollen würde, die in die Schüssel gelegt wird. Mit einem Potential oder Beschleunigungsfeld lässt sich dann für jede [[Anfangsbedingung]], also Anfangsgeschwindigkeit und -position, die Bewegung eines Teilchens ([[Trajektorie (Physik)|Trajektorie]]) vorherberechnen. |
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== Messung == |
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Auch wenn die Kraft auf ein Teilchen nicht proportional zu seiner Masse ist, lässt sich häufig ein [[Kraftfeld (Physik)|Kraftfeld]] und ein Potential aufstellen, beispielsweise ein [[Coulombpotential]] für ein [[Elektrische Ladung|elektrisch geladenes]] Teilchen. In diesem Fall ist die Bewegung jedoch von der Masse <math>m</math> und von der Ladung <math>q</math> des Teilchens abhängig, sodass die [[Bewegungsgleichung]] |
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Es gibt prinzipiell zwei Möglichkeiten, Beschleunigungen zu messen oder anzugeben. Die Beschleunigung eines Objekts kann kinematisch bezüglich eines Weges ([[Raumkurve]]) betrachtet werden. Dazu wird die Momentangeschwindigkeit bestimmt, ihre Änderungsrate ist die Beschleunigung. Die andere Möglichkeit ist, einen [[Beschleunigungssensor]] zu verwenden. Dieser bestimmt mit Hilfe einer Testmasse die Trägheitskraft, aus der dann mit Hilfe der newtonschen Grundgleichung der Mechanik auf die Beschleunigung geschlossen wird. |
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:<math>\vec a=\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} t^2}\,\vec r = -\frac{q}{m} \nabla \Phi(\vec r)</math> |
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lautet. |
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=== Rechenbeispiel zur Messung über die Trägheit === |
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=== Keine Beschleunigung === |
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In einem [[Aufzugsanlage|Aufzug]] befindet sich eine [[Federwaage]], an der eine Masse von einem [[Kilogramm]] hängt (<math>m=1\,\mathrm{kg}</math>). Wenn der Aufzug im Vergleich zur Erde ruht, so zeigt die Waage eine [[Gewichtskraft]] von 9,8 [[Newton (Einheit)|Newton]] an. Der Betrag der Schwerebeschleunigung beträgt demnach |
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{{Hauptartikel|Inertialsystem}} |
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Ist das Beschleunigungsfeld in allen Punkten des verwendeten Bezugssystems gleich Null, so handelt es sich um ein Inertialsystem: |
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:<math>\vec a(\vec r)=0 </math> für alle <math>\vec r</math> |
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Bezüglich eines solchen Systems bleibt die Geschwindigkeit eines Körpers nach Betrag und Richtung unverändert. Die Körper verharren in Ruhe oder in [[Gleichförmige Bewegung|gleichförmiger Bewegung]]. Dieser Zustand wird auch [[Schwerelosigkeit]] genannt. Schwerelosigkeit setzt Kräftefreiheit oder ein [[Kräftegleichgewicht]] voraus. Ein Beispiel ist die [[Internationale Raumstation]]. Sie gleicht auf ihrer Bewegung im Erdorbit die Erdbeschleunigung durch die Zentrifugalbeschleunigung der Kreisbahn aus. Auf einen Beobachter, der sich mit der Raumstation mitbewegt, wirken daher keine Kräfte. |
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:<math>a=\frac{F}{m}=9{,}8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}.</math> |
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=== Gleichmäßig konstante Beschleunigung === |
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[[Datei:Wurfparabel.svg|mini|homogenes Beschleunigungsfeld mit einer Bahn mit Anfangsposition <math>\vec r_0</math> und Anfangsgeschwindigkeit <math>\vec v_0</math>]] |
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{{Hauptartikel|Gleichmäßig beschleunigte Bewegung}} |
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Bei einer gleichmäßigen Beschleunigung ist das Beschleunigungsfeld zeitlich konstant und homogen, also an allen Punkten des Raums in Betrag und Richtung dasselbe, beispielsweise gleich dem Vektor <math>\vec g</math>: |
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:<math>\vec a(\vec r)=\vec g </math> für alle <math> \vec r</math> |
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Mit einem solchen Ansatz lässt sich [[Umgebung (Mathematik)|lokal]] (nicht global) das Gravitationsfeld der Erde beschreiben. Ein Teilchen in einem solchen Feld bewegt sich auf einer [[Parabel (Mathematik)|parabelförmigen]] Bahn, bei einem Gravitationsfeld auch [[Wurfparabel]] genannt. Im Rahmen der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] wächst die Geschwindigkeit in Richtung <math>\vec g</math> dabei gleichförmig an. Für Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit muss die [[spezielle Relativitätstheorie]] berücksichtigt werden. |
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Zeigt die Federwaage einen Moment später zum Beispiel eine Kraft von 14,7 Newton an, so ist die Beschleunigung des Aufzugs 4,9 m/s<sup>2</sup> im Vergleich zur Erde nach oben. |
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=== Gravitationspotential === |
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{{Hauptartikel|Gravitationspotential}} |
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=== Anwendung von Beschleunigungsmessungen === |
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Bei einem [[Freier Fall|freien Fall]] (ohne [[Luftwiderstand]]) werden alle Körper gleich beschleunigt. Auf der Erde beträgt die Beschleunigung in Richtung [[Geozentrum|Erdmittelpunkt]] ungefähr 9,81 Meter pro Quadratsekunde. Das Potential der Erde ist jedoch nicht [[Radialsymmetrie|kugelsymmetrisch]], da die Erdgestalt von einer Kugel abweicht ([[Erdabplattung]]) und der innere Aufbau der Erde nicht völlig homogen ist ([[Schwereanomalie]]). Die Erdbeschleunigung kann daher regional leicht unterschiedlich sein. Unabhängig vom Potential muss bei Messungen gegebenenfalls auch die Beschleunigung durch die [[Erdrotation]] berücksichtigt werden. Ein Beschleunigungsmesser zur Bestimmung der Schwerebeschleunigung wird [[Gravimeter]] genannt. |
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Wenn die [[Anfangsgeschwindigkeit]] und -position bekannt sind, ermöglicht die kontinuierliche Messung der Beschleunigung in allen [[3D|drei]] Dimensionen eine Positionsbestimmung zu jedem Zeitpunkt. Die Position lässt sich daraus einfach durch zweifache [[Integralrechnung|Integration]] über die Zeit bestimmen. Für den Fall, dass beispielsweise das [[Global Positioning System|GPS]]-Gerät eines Flugzeugs ausfällt, ermöglicht diese Methode eine relativ genaue Ortsbestimmung über einen mittellangen Zeitraum. Ein [[Navigationssystem]], das die Position durch Messung der Beschleunigung bestimmt, heißt [[Trägheitsnavigationssystem]]. |
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== Beschleunigung in der speziellen Relativitätstheorie == |
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{{Hauptartikel|Beschleunigung (Spezielle Relativitätstheorie)}} |
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Ebenso wie in der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] können Beschleunigungen auch in der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] (SRT) als Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit dargestellt werden. Da der Zeitbegriff aufgrund der [[Lorentz-Transformation]] und [[Zeitdilatation]] in der SRT jedoch komplexer ausfällt, führt dies auch zu komplexeren Formulierungen der Beschleunigung und ihres Zusammenhangs mit der Kraft. Insbesondere ergibt sich, dass kein massebehafteter Körper auf [[Lichtgeschwindigkeit]] beschleunigt werden kann. |
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== Äquivalenzprinzip und allgemeine Relativitätstheorie == |
== Äquivalenzprinzip und allgemeine Relativitätstheorie == |
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[[Datei:Elevator gravity.svg|mini|Nach dem [[Äquivalenzprinzip (Physik)|Äquivalenzprinzip]] der allgemeinen Relativitätstheorie lässt sich nicht unterscheiden, ob sich ein Beobachter auf der Erde befindet oder in einer Rakete, die im Weltraum mit Erdbeschleunigung ''g'' beschleunigt.]] |
[[Datei:Elevator gravity.svg|mini|Nach dem [[Äquivalenzprinzip (Physik)|Äquivalenzprinzip]] der allgemeinen Relativitätstheorie lässt sich nicht unterscheiden, ob sich ein Beobachter auf der Erde befindet oder in einer Rakete, die im Weltraum mit Erdbeschleunigung ''g'' beschleunigt.]] |
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Das [[Äquivalenzprinzip (Physik)|Äquivalenzprinzip]] besagt, dass in einem frei fallenden Bezugssystem keine Gravitationsfelder existieren. Es geht auf die Überlegungen von [[Galileo Galilei]] und [[Isaac Newton]] zurück, die erkannt haben, dass alle Körper unabhängig von ihrer Masse von der Gravitation gleich beschleunigt werden. Ein Beobachter in einem Labor kann nicht feststellen, ob sich sein Labor in der Schwerelosigkeit oder im freien Fall befindet. |
Das [[Äquivalenzprinzip (Physik)|Äquivalenzprinzip]] besagt, dass in einem frei fallenden Bezugssystem lokal keine Gravitationsfelder existieren. Es geht auf die Überlegungen von [[Galileo Galilei]] und [[Isaac Newton]] zurück, die erkannt haben, dass alle Körper unabhängig von ihrer Masse von der Gravitation gleich beschleunigt werden. Ein Beobachter in einem (kleinen) Labor kann nicht feststellen, ob sich sein Labor in der Schwerelosigkeit oder im freien Fall befindet. Er kann innerhalb seines Labors auch nicht feststellen, ob sein Labor gleichförmig beschleunigt bewegt wird oder ob es sich in einem äußeren homogenen Gravitationsfeld befindet. |
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Mit der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] lässt sich ein Gravitationsfeld durch die [[Metrischer Tensor|Metrik]] der [[Raumzeit]], also die Maßvorschrift in einem [[4D|vierdimensionalen]] Raum aus Orts- und Zeitkoordinaten ausdrücken. Ein Inertialsystem hat eine [[Minkowski-Metrik|flache Metrik]]. Nichtbeschleunigte Beobachter bewegen sich immer auf dem kürzesten Weg ([[Geodäte]]) durch die Raumzeit. In einem flachen Raum, also einem Inertialsystem, ist dies eine gerade [[Weltlinie]]. Gravitation bewirkt eine [[Raumkrümmung]]. Das bedeutet, dass die Metrik des Raumes nicht mehr flach ist. Dies führt dazu, dass |
Mit der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] lässt sich ein Gravitationsfeld durch die [[Metrischer Tensor|Metrik]] der [[Raumzeit]], also die Maßvorschrift in einem [[4D|vierdimensionalen]] Raum aus Orts- und Zeitkoordinaten ausdrücken. Ein Inertialsystem hat eine [[Minkowski-Metrik|flache Metrik]]. Nichtbeschleunigte Beobachter bewegen sich immer auf dem kürzesten Weg (einer [[Geodäte]]) durch die Raumzeit. In einem flachen Raum, also einem Inertialsystem, ist dies eine gerade [[Weltlinie]]. Gravitation bewirkt eine [[Raumkrümmung]]. Das bedeutet, dass die Metrik des Raumes nicht mehr flach ist. Dies führt dazu, dass die Bewegung, die in der vierdimensionalen Raumzeit einer Geodäte folgt, im [[3D|dreidimensionalen]] [[Anschauungsraum]] vom außenstehenden Beobachter meist als '''beschleunigte Bewegung''' längs einer gekrümmten Kurve wahrgenommen wird. |
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== Beispiele == |
== Beispiele == |
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{{Hauptartikel| |
{{Hauptartikel|Liste von Größenordnungen der Beschleunigung}} |
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Größenordnung typischer Beschleunigungen aus dem Alltag:<ref |
Größenordnung typischer Beschleunigungen aus dem Alltag:<ref>{{Internetquelle |url=https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/physik/artikel/beschleunigung |titel=Beschleunigung |werk=lernhelfer.de: Schülerlexikon Physik |datum=2010 |abruf=2018-01-16}}</ref> |
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* Der [[Intercity-Express|ICE]] erreicht eine Beschleunigung von etwa 0,5& |
* Der [[Intercity-Express|ICE]] erreicht eine Beschleunigung von etwa 0,5 m/s<sup>2</sup>, ein moderner [[DB-Baureihe 423|S-Bahn-Triebwagen]] sogar 1,0 m/s<sup>2</sup>. |
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* Während der ersten Schritte eines [[Sprint]]s |
* Während der ersten Schritte eines [[Sprint]]s beschleunigt ein Sportler seinen Körper mit etwa 4 m/s<sup>2</sup>. |
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* Die |
* Die Erdbeschleunigung durch die Erdanziehung ist 9,81 m/s<sup>2</sup>. |
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* Die Kugel beim [[Kugelstoßen]] wird in der Abstoßphase mit etwa 10 m/s<sup>2</sup> beschleunigt. |
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* Bei [[ |
* Bei einer [[Waschmaschine]] wirken im Schleudergang mehr als 300 ''g'' (≈ 3.000 m/s<sup>2</sup>) an der Trommelwand. |
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* Ein [[Tennisball]] kann Beschleunigungen bis zu 10.000& |
* Ein [[Tennisball]] kann Beschleunigungen bis zu 10.000 m/s<sup>2</sup> erfahren.<!--see talk-- |
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* Bei [[ |
* Bei [[Nähmaschine]]n wirken auf die Nadel Beschleunigungen von bis zu 6000 ''g'' (≈ 59 km/s<sup>2</sup>).--> |
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* Bei [[Nesselzelle]]n wird der Stachel mit bis zu 5.410.000 ''g'' (≈ 53 Millionen m/s<sup>2</sup>) beschleunigt. |
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== Siehe auch == |
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== Umgangssprachliche Verwendung == |
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[[Beschleunigungsfeld]] |
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Der Begriff Beschleunigung wird umgangssprachlich auch für „Geschwindigkeitszunahmen“ benutzt, die nicht die zweite zeitliche Ableitung eines Ortes sind. Dies kann zum Beispiel die zweite zeitliche Ableitung einer [[Dimensionslose Größe|dimensionslosen Größe]], wie die erste zeitliche Ableitung einer [[Frequenz]] oder [[Wachstumsrate]] sein. Beispiele: |
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* Die „Beschleunigung“ einer [[Chemische Reaktion|chemischen Reaktion]] bezeichnet die Erhöhung der [[Kinetik (Chemie)|Reaktionsgeschwindigkeit]], beispielsweise durch einen [[Katalysator]]. |
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* Die [[PAL-Beschleunigung]] ist eine Technik, bei der die [[Bildfrequenz]] erhöht wird, also die „Geschwindigkeit“, mit der ein Bild wechselt. |
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* In der [[Psychologie]] wird der Begriff Beschleunigung für die subjektiv empfundene zunehmende Geschwindigkeit im täglichen Leben benutzt, die mit der Alterung in Verbindung gebracht wird (siehe hierzu auch [[Entschleunigung]], [[Gerontologie]]). |
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== Weblinks == |
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* {{DNB-Portal|4144870-4}} |
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* [http://archiv.christoph-hoffmann.de/ESS/Physik/Versuch12-5.pdf Untersuchungen zur Beschleunigung an der Atwoodschen Fallmaschine] (PDF-Datei; 325 kB) |
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* [http://archiv.christoph-hoffmann.de/ESS/Physik/Versuch12-5.pdf Untersuchungen zur Beschleunigung an der Atwoodschen Fallmaschine] (PDF-Datei; 325 kB) |
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* [http://de.unitjuggler.com/acceleration-konvertieren.html Umrechnen zwischen den verschiedenen Einheiten der Beschleunigung] |
* [http://de.unitjuggler.com/acceleration-konvertieren.html Umrechnen zwischen den verschiedenen Einheiten der Beschleunigung] |
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* [http://www.leifiphysik.de/mechanik/beschleunigte-bewegung Beschleunigung] bei [[LEIFIphysik]] |
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* [http://www.youtube.com/watch?v=d6Xq8ZMU2yo Lernvideo] der [[Khan Academy]] zum Thema Beschleunigung |
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== Einzelnachweise == |
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[[Kategorie:Physikalische Größenart]] |
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[[ta:முடுக்கம்]] |
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[[tl:Akselerasyon]] |
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[[tr:İvme]] |
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[[tt:Тизләнеш]] |
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[[uk:Прискорення]] |
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[[ur:اسراع]] |
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[[vec:Acelerasion]] |
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[[vi:Gia tốc]] |
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[[war:Akselerasyon]] |
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[[yi:פארגיכערונג]] |
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[[yo:Ìyára]] |
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[[zh:加速度]] |
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[[zh-classical:加速度]] |
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[[zh-min-nan:Ka-sok-tō͘]] |
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[[zh-yue:加速度]] |
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Aktuelle Version vom 7. Juli 2024, 21:36 Uhr
| Physikalische Größe | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Name | Beschleunigung | |||||||||
| Formelzeichen | ||||||||||
| ||||||||||
Beschleunigung ist in der Physik die Änderung des Bewegungszustands eines Körpers. Das bedeutet, dass der Körper schneller oder langsamer wird, oder seine Bewegungsrichtung ändert. Die Beschleunigung ist, neben dem Ort und der Geschwindigkeit, eine zentrale Größe in der Kinematik, einem Teilgebiet der Mechanik.
Als physikalische Größe ist die Beschleunigung die momentane zeitliche Änderungsrate der Geschwindigkeit. Sie ist eine vektorielle, also gerichtete Größe. Die SI-Einheit der Beschleunigung ist m/s2 („Meter pro Quadratsekunde“, alternativ: „Meter pro Sekundenquadrat“). Bei einer Beschleunigung von 1 m/s2 verändert sich die Geschwindigkeit pro Sekunde um 1 m/s. In den Geowissenschaften ist daneben auch die Einheit Gal für 0,01 m/s2 gebräuchlich.
Beschleunigungen kommen im Alltag bei allen realen Bewegungsvorgängen, z. B. von Fahrzeugen, Flugzeugen oder Aufzügen, vor. Durch die mit ihnen auftretende Trägheitskraft wirken sie sich mehr oder weniger deutlich auf beförderte Menschen und Sachen aus.
Einführung
Nach dem ersten Newtonschen Gesetz bewegen sich alle Körper in Inertialsystemen mit konstanter Geschwindigkeit auf geradlinigen Bahnen, wenn keine Kräfte auf sie wirken. Man sagt: Ihr Bewegungszustand ist konstant. Falls doch eine Kraft auf einen Körper einwirkt, ändert sich sein Bewegungszustand.
In der Umgangssprache bezeichnet Beschleunigung oft nur eine Steigerung des „Tempos“, also des Betrags der Geschwindigkeit. Im physikalischen Sinn ist aber jede Änderung einer Bewegung eine Beschleunigung, z. B. auch eine Abnahme des Geschwindigkeitsbetrages – wie ein Bremsvorgang – oder eine reine Richtungsänderung bei gleichbleibendem Geschwindigkeitsbetrag – wie bei einer Kurvenfahrt mit einem Auto.
Zunächst betrachten wir nur Bewegungen entlang einer Geraden, also eindimensionale Bewegungen. Zu zwei Zeitpunkten hat der Körper die Geschwindigkeiten und . Seine Geschwindigkeit hat sich also in der Zeitspanne dazwischen geändert. Die Geschwindigkeitsänderung beträgt . Man definiert nun die mittlere Beschleunigung als die mittlere Änderungsrate der Geschwindigkeit. Die Beschleunigung gibt also an, wie schnell diese Geschwindigkeitsänderung erfolgt. Es gilt somit:
Wenn die Beschleunigung dasselbe Vorzeichen hat wie die Geschwindigkeit, dann nimmt der Betrag der Geschwindigkeit zu. Wenn sich beide Vorzeichen unterscheiden, nimmt der Betrag der Geschwindigkeit ab (die Richtung der Geschwindigkeit kann sich auch umkehren). Ähnlich wie bei der Durchschnittsgeschwindigkeit lässt sich mit obiger Gleichung nur die durchschnittliche Beschleunigung berechnen. Nur wenn die Geschwindigkeit sich linear mit der Zeit ändert, also im Falle einer konstanten Beschleunigung, entspricht dies auch zu jedem Zeitpunkt der momentanen Beschleunigung. Um auch in anderen Fällen zur momentanen Beschleunigung zu gelangen, muss man den Grenzwert für sehr kleine Zeitintervalle bilden und gelangt so zur zeitlichen Ableitung der Geschwindigkeit:
Einheiten
Aus der Definitionsgleichung ergibt sich die Einheit 1 m/s². Ein Körper, der konstant mit 1 m/s² beschleunigt, ändert seine Geschwindigkeit in jeder Sekunde um 1 m/s.
Allgemein können Belastungen technischer Geräte oder die Angabe von Belastungsgrenzen als g-Kraft, also als „Kraft pro Masse“, erfolgen. Diese wird als Vielfaches der Normfallbeschleunigung g = 9,80665 m/s2 angegeben.
In den Geowissenschaften ist auch die Einheit Gal = 0,01 m/s2 gebräuchlich.
Bei Kraftfahrzeugen wird die „Beschleunigung“ (besser: Das Beschleunigungsvermögen) angegeben, indem die Zeit für eine Geschwindigkeitsänderung (in der Regel von 0 auf 100 km/h) genannt wird. Ein Fahrzeug, das in 5,0 s von 0 auf 100 km/h beschleunigt, erfährt eine durchschnittliche Beschleunigung von .
Beispiele zur Berechnung über die Geschwindigkeit
Ein Auto bewegt sich zum Zeitpunkt mit einer Geschwindigkeit von über die Straße (das sind 36 km/h). Zehn Sekunden später, zum Zeitpunkt , beträgt die Geschwindigkeit (das sind 108 km/h). Die durchschnittliche Beschleunigung des Autos in diesem Zeitintervall war dann
- .
Die Geschwindigkeit hat also pro Sekunde durchschnittlich um 2 m/s (also um 7,2 km/h) zugenommen.
Ein PKW, der vor der roten Ampel innerhalb von von „Tempo 50“ () auf Null abgebremst wird, erfährt die Beschleunigung
- .
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Von einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung spricht man, wenn die Beschleunigung konstant ist. Dann gilt für die Geschwindigkeit
und für die zurückgelegte Strecke
mit dem Startpunkt und der Anfangsgeschwindigkeit .
Allgemeine Definition
Im Allgemeinen erfolgt die Bewegung nicht zwangsläufig geradlinig, sondern im zwei- oder dreidimensionalen Fall. Bei einer konstanten Beschleunigung, muss die Differenz der Geschwindigkeiten vektoriell bestimmt werden, wie in der Abbildung veranschaulicht. Wenn sich die Beschleunigung während der betrachteten Zeitspanne ändert, erhält man mit obiger Rechnung die mittlere Beschleunigung, auch Durchschnittsbeschleunigung genannt.
- .
Um die Beschleunigung für einen bestimmten Zeitpunkt statt für ein Zeitintervall zu berechnen, muss man – wie oben beschrieben – vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten übergehen. Die Beschleunigung ist dann die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:
Da die Geschwindigkeit die Ableitung des Ortes nach der Zeit ist, kann man die Beschleunigung auch als zweite Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit darstellen:
Wenn die Vektoren der Geschwindigkeit und der Beschleunigung in die gleiche Richtung zeigen, bedeutet die Beschleunigung nur eine Zunahme des Geschwindigkeitsbetrags. Entsprechend nimmt der Geschwindigkeitsbetrag ab, wenn die beiden Vektoren antiparallel sind. In beiden Fällen ändert sich aber die Richtung des Geschwindigkeitsvektors nicht. Es handelt sich also um eine geradlinig beschleunigte Bewegung.
Sofern jedoch die Beschleunigung in einem gewissen Winkel zur Bewegungsrichtung steht, ändert sich auch die Richtung der Geschwindigkeit. Die Bewegung beschreibt also eine gekrümmte Bahn. Wenn Beschleunigung und Geschwindigkeit orthogonal zueinander stehen, besitzt die Beschleunigung überhaupt keine Komponente in Richtung der Geschwindigkeit mehr. In diesem Fall ändert sich nur deren Richtung, aber nicht ihr Betrag. Die Bahnkurve ist dann – zumindest momentan – eine Kreisbahn.
Gekrümmte Wege
Spezialfall: Kreisbewegung
Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist der Beschleunigungsvektor in jedem Moment orthogonal zur Bewegungsrichtung. Man spricht von der Zentripetalbeschleunigung . Sie ergibt sich aus der Tangentialgeschwindigkeit oder der Winkelgeschwindigkeit :
- .
Ein typisches Anwendungsbeispiel ist hierbei die Flugbahn von Satelliten in einem niedrigen, kreisförmigen Orbit, wo die Fallbeschleunigung, die stets zum Erdmittelpunkt gerichtet ist, als Zentripetalbeschleunigung fungiert.
Bezüglich eines mitrotierenden (und daher beschleunigten) Bezugssystems wird ein Objekt vom Mittelpunkt weg nach außen beschleunigt, dann wird die Bezeichnung Zentrifugalbeschleunigung verwendet. Eine Zentrifuge nutzt diesen Effekt, um Dinge einer konstanten Beschleunigung auszusetzen. Der Krümmungsradius entspricht dabei, da es sich um eine Kreisbewegung handelt, dem Abstand des Zentrifugiergutes zur Drehachse. Der Betrag der Zentrifugalbeschleunigung berechnet sich nach derselben Formel wie die Zentripetalbeschleunigung.
Allgemeiner Fall
Die Beschleunigung eines Körpers, der sich entlang eines Weges (einer Raumkurve) bewegt, lässt sich mit den Frenetschen Formeln berechnen. Dies ermöglicht eine additive Zerlegung der Beschleunigung in eine Beschleunigung in Bewegungsrichtung (Tangentialbeschleunigung) und eine Beschleunigung senkrecht zur Bewegungsrichtung (Normalbeschleunigung oder Radialbeschleunigung).
Der Vektor der Geschwindigkeit kann als Produkt aus seinem Betrag und dem Tangenteneinheitsvektor dargestellt werden:
Der Tangenteneinheitsvektor ist ein Vektor der Länge , der an jedem Punkt des Weges die Richtung der Bewegung anzeigt. Die Ableitung dieses Ausdrucks nach der Zeit ist die Beschleunigung:
Die zeitliche Ableitung des Tangenteneinheitsvektors kann über die Bogenlänge berechnet werden:
Dabei führt man den Krümmungsradius und den Normaleneinheitsvektor ein. Der Krümmungsradius ist ein Maß für die Stärke der Krümmung und der Normaleneinheitsvektor zeigt senkrecht zur Bahnkurve in Richtung des Krümmungsmittelpunkts. Man definiert die Tangentialbeschleunigung und Radialbeschleunigung so:
Die Beschleunigung lässt sich damit in zwei Komponenten zerlegen:
Ist die Tangentialbeschleunigung Null, so ändert der Körper nur seine Bewegungsrichtung. Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt dabei erhalten. Um den Betrag der Geschwindigkeit zu ändern, muss also eine Kraft wirken, die eine Komponente in Richtung des Tangentialvektors besitzt.
Ruck
Die zeitliche Ableitung der Beschleunigung (also die dritte Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit) wird Ruck genannt:
Zusammenhang zwischen Beschleunigung und Kraft
Der Zusammenhang zwischen Beschleunigungen und Kräften wird durch die Newtonschen Gesetze beschrieben:
- In einem Inertialsystem erfahren kräftefreie Körper keine Beschleunigung.
- Falls Kräfte angreifen, ist die Beschleunigung proportional zum Betrag der resultierenden Kraft und erfolgt in deren Richtung: .
Soll die Beschleunigung in einem beschleunigten Bezugssystem berechnet werden, so sind zusätzlich Trägheitskräfte zu berücksichtigen.
Wenn die resultierende Kraft proportional zur Masse eines Körpers ist – wie das beispielsweise für die Gewichtskraft der Fall ist – ist die Beschleunigung von der Masse des Körpers unabhängig. Das ist der Grund, warum die Fallbeschleunigung beim freien Fall unabhängig von der Masse ist: Alle Körper fallen unabhängig von ihrer Masse gleich schnell, auf der Erde mit rund 9,81 m/s².
In der speziellen Relativitätstheorie gilt die Newton’sche Beziehung nicht exakt; die Beschleunigung ist nicht genau parallel zur Kraft (siehe Masse (Physik) → Spezielle Relativitätstheorie → „Relativistische Masse“).
Messung
Es gibt prinzipiell zwei Möglichkeiten, Beschleunigungen zu messen oder anzugeben. Die Beschleunigung eines Objekts kann kinematisch bezüglich eines Weges (Raumkurve) betrachtet werden. Dazu wird die Momentangeschwindigkeit bestimmt, ihre Änderungsrate ist die Beschleunigung. Die andere Möglichkeit ist, einen Beschleunigungssensor zu verwenden. Dieser bestimmt mit Hilfe einer Testmasse die Trägheitskraft, aus der dann mit Hilfe der newtonschen Grundgleichung der Mechanik auf die Beschleunigung geschlossen wird.
Rechenbeispiel zur Messung über die Trägheit
In einem Aufzug befindet sich eine Federwaage, an der eine Masse von einem Kilogramm hängt (). Wenn der Aufzug im Vergleich zur Erde ruht, so zeigt die Waage eine Gewichtskraft von 9,8 Newton an. Der Betrag der Schwerebeschleunigung beträgt demnach
Zeigt die Federwaage einen Moment später zum Beispiel eine Kraft von 14,7 Newton an, so ist die Beschleunigung des Aufzugs 4,9 m/s2 im Vergleich zur Erde nach oben.
Anwendung von Beschleunigungsmessungen
Wenn die Anfangsgeschwindigkeit und -position bekannt sind, ermöglicht die kontinuierliche Messung der Beschleunigung in allen drei Dimensionen eine Positionsbestimmung zu jedem Zeitpunkt. Die Position lässt sich daraus einfach durch zweifache Integration über die Zeit bestimmen. Für den Fall, dass beispielsweise das GPS-Gerät eines Flugzeugs ausfällt, ermöglicht diese Methode eine relativ genaue Ortsbestimmung über einen mittellangen Zeitraum. Ein Navigationssystem, das die Position durch Messung der Beschleunigung bestimmt, heißt Trägheitsnavigationssystem.
Beschleunigung in der speziellen Relativitätstheorie
Ebenso wie in der klassischen Mechanik können Beschleunigungen auch in der speziellen Relativitätstheorie (SRT) als Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit dargestellt werden. Da der Zeitbegriff aufgrund der Lorentz-Transformation und Zeitdilatation in der SRT jedoch komplexer ausfällt, führt dies auch zu komplexeren Formulierungen der Beschleunigung und ihres Zusammenhangs mit der Kraft. Insbesondere ergibt sich, dass kein massebehafteter Körper auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden kann.
Äquivalenzprinzip und allgemeine Relativitätstheorie
Das Äquivalenzprinzip besagt, dass in einem frei fallenden Bezugssystem lokal keine Gravitationsfelder existieren. Es geht auf die Überlegungen von Galileo Galilei und Isaac Newton zurück, die erkannt haben, dass alle Körper unabhängig von ihrer Masse von der Gravitation gleich beschleunigt werden. Ein Beobachter in einem (kleinen) Labor kann nicht feststellen, ob sich sein Labor in der Schwerelosigkeit oder im freien Fall befindet. Er kann innerhalb seines Labors auch nicht feststellen, ob sein Labor gleichförmig beschleunigt bewegt wird oder ob es sich in einem äußeren homogenen Gravitationsfeld befindet.
Mit der allgemeinen Relativitätstheorie lässt sich ein Gravitationsfeld durch die Metrik der Raumzeit, also die Maßvorschrift in einem vierdimensionalen Raum aus Orts- und Zeitkoordinaten ausdrücken. Ein Inertialsystem hat eine flache Metrik. Nichtbeschleunigte Beobachter bewegen sich immer auf dem kürzesten Weg (einer Geodäte) durch die Raumzeit. In einem flachen Raum, also einem Inertialsystem, ist dies eine gerade Weltlinie. Gravitation bewirkt eine Raumkrümmung. Das bedeutet, dass die Metrik des Raumes nicht mehr flach ist. Dies führt dazu, dass die Bewegung, die in der vierdimensionalen Raumzeit einer Geodäte folgt, im dreidimensionalen Anschauungsraum vom außenstehenden Beobachter meist als beschleunigte Bewegung längs einer gekrümmten Kurve wahrgenommen wird.
Beispiele
Größenordnung typischer Beschleunigungen aus dem Alltag:[1]
- Der ICE erreicht eine Beschleunigung von etwa 0,5 m/s2, ein moderner S-Bahn-Triebwagen sogar 1,0 m/s2.
- Während der ersten Schritte eines Sprints beschleunigt ein Sportler seinen Körper mit etwa 4 m/s2.
- Die Erdbeschleunigung durch die Erdanziehung ist 9,81 m/s2.
- Die Kugel beim Kugelstoßen wird in der Abstoßphase mit etwa 10 m/s2 beschleunigt.
- Bei einer Waschmaschine wirken im Schleudergang mehr als 300 g (≈ 3.000 m/s2) an der Trommelwand.
- Ein Tennisball kann Beschleunigungen bis zu 10.000 m/s2 erfahren.
- Bei Nesselzellen wird der Stachel mit bis zu 5.410.000 g (≈ 53 Millionen m/s2) beschleunigt.
Siehe auch
Weblinks
- Literatur von und über Beschleunigung im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek
- Untersuchungen zur Beschleunigung an der Atwoodschen Fallmaschine (PDF-Datei; 325 kB)
- Umrechnen zwischen den verschiedenen Einheiten der Beschleunigung
- Beschleunigung bei LEIFIphysik
Einzelnachweise
- ↑ Beschleunigung. In: lernhelfer.de: Schülerlexikon Physik. 2010, abgerufen am 16. Januar 2018.
