Im allgemeinen Sinn versteht man unter einem Vektor (lat. vector „Träger, Fahrer“) ein Element eines Vektorraums, das heißt ein Objekt, das zu anderen Vektoren addiert und mit Zahlen, die als Skalare bezeichnet werden, multipliziert werden kann. Vektoren in diesem allgemeinen Sinn werden im Artikel Vektorraum behandelt.

Im engeren Sinne versteht man unter einem Vektor

• in der analytischen Geometrie ein mathematisches Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. In kartesischen Koordinaten werden Vektoren durch Zahlenpaare (in der Ebene) bzw. -tripel (im Raum) dargestellt, die oft untereinander (als „Spaltenvektoren“) geschrieben werden.
• davon ausgehend ein -Tupel reeller Zahlen,^[1] also ein Element des .
• in der klassischen Physik eine physikalische Größe, die durch einen Betrag und eine Richtung gekennzeichnet ist. Für vektorielle Größen in der Physik gelten dieselben geometrischen Gesetze und Rechenregeln wie für die geometrischen Vektoren.

Dieser Artikel beschäftigt sich überwiegend mit Vektoren im geometrischen Sinn und Vektoren als Elementen des Koordinatenraums und lässt sich ohne weiteres auf vektorielle Größen in der Physik übertragen.

Begründet wurde die Vektorrechnung von Hermann Günter Graßmann, der 1844 seine Lineale Ausdehnungslehre veröffentlichte, ein über dreihundert Seiten starkes Buch.^[2] Als Vorläufer gelten u. a. René Descartes und August Ferdinand Möbius, ein Schüler von Carl Friedrich Gauß. Nahezu zeitgleich entwickelte William Rowan Hamilton seine ähnliche Theorie^[3] der Quaternionen, die er 1853 in dem Buch Lectures on Quaternions^[4] und 1866 in dem Werk Elements of Quaternions^[5][6] publizierte. In Deutschland wurde die Vektorrechnung insbesondere durch Vorlesungen und Bücher von Alfred Bucherer, August Föppl, Carl Runge, Fischer, v. Ignatowsky und Richard Gans verbreitet.

Variablen, die für Vektoren stehen, werden vor allem in der Schulmathematik und in der Physik häufig mit einem Pfeil gekennzeichnet (). Vor allem im englischsprachigen Raum werden sie auch fett geschrieben (, oder v). In Handschriften wird dies häufig durch Unterstreichung () oder Ähnliches repräsentiert. Früher war teilweise auch die Schreibweise mit Frakturbuchstaben () üblich, handschriftlich durch deutsche Schreibschrift bzw. Sütterlinschrift wiedergegeben. Häufig gewählte Buchstaben sind und . Der entsprechende lateinische Buchstabe ohne Vektorkennzeichnung steht meist für die Länge (den Betrag) des Vektors:

Datei:Vektorklasse.PNG

In der Geometrie versteht man unter einem Vektor ein Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. Eine Verschiebung kann durch einen Pfeil, der einen Urbildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet, dargestellt werden. Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind, beschreiben dieselbe Verschiebung und stellen somit denselben Vektor dar. Zum Beispiel beschreiben im Bild rechts der Pfeil von nach , der Pfeil von nach und der Pfeil von nach dieselbe Verschiebung um 7 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben. Sie repräsentieren alle denselben Vektor . Formal kann man deshalb Vektoren wie folgt definieren:

Ein Pfeil ist eine gerichtete Strecke, das heißt, eine Strecke, bei der eine Reihenfolge der Endpunkte festgelegt ist. Zwei Pfeile heißen äquivalent, wenn sie parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind. Dies definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile der Ebene bzw. des Raums. Die Äquivalenzklassen heißen Vektoren.

Eine andere Möglichkeit ist, einen Vektor mit der durch ihn dargestellten Parallelverschiebung zu identifizieren. „Vektor“ ist dann nur eine andere Sprechweise für „Parallelverschiebung“.

Der Vektor, der eine Verschiebung beschreibt, die den Punkt auf den Punkt abbildet, wird als geschrieben und grafisch durch einen Pfeil dargestellt, der vom Punkt zum Punkt zeigt. Man sagt: „Der Vektor bildet auf ab“, oder: „Der Vektor verbindet und .“ Der Punkt wird in diesem Fall als Ausgangs- oder Startpunkt und als Spitze oder Endpunkt des Vektorpfeils bezeichnet. Der Abstand der beiden Punkte wird "Länge" oder "Betrag" des Vektors genannt.

Der umgekehrte Vektor , der mit verbindet, heißt Gegenvektor zu . Der Vektor , der einen Punkt auf sich selbst abbildet, heißt Nullvektor und wird mit oder bezeichnet. Als einziger Vektor kann er grafisch nicht durch einen Pfeil dargestellt werden.

Ist, wie in der Abbildung oben, ein geradliniges Koordinatensystem gegeben, so kann ein Vektor der Ebene durch ein geordnetes Zahlenpaar, ein Vektor im Raum durch ein Zahlentripel beschrieben werden. In der Regel werden diese Komponenten untereinander, als sogenannte Spaltenvektoren geschrieben. Für den Vektor in der Ebene, der die Verschiebung um 7 Einheiten nach rechts (in -Richtung) und 3 Einheiten nach oben (in -Richtung) beschreibt, schreibt man . Der Vektor beschreibt eine Verschiebung um 2 Einheiten in -Richtung und −5 Einheiten in -Richtung, das heißt um 2 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten. Entsprechend beschreibt im Raum der Vektor eine Verschiebung um 3 Einheiten in -Richtung, 2 Einheiten in negativer -Richtung und 4 Einheiten in -Richtung.

Die Koordinaten eines Vektors lassen sich als Differenz der Koordinaten von End- und Anfangspunkt berechnen. Im obigen Beispiel haben und die Koordinaten und . Die Koordinaten des Verbindungsvektors berechnen sich dann wie folgt:

.

Die Addition von zwei geometrischen Vektoren entspricht der Hintereinanderausführung der zugehörigen Verschiebungen. Stellt der Vektor die Verschiebung dar, die den Punkt auf abbildet, und bildet die zu gehörige Verschiebung den Punkt auf ab, so beschreibt die Verschiebung, die auf abbildet.

Geometrisch kann man deshalb zwei Vektoren und addieren, indem man die beiden Vektoren so durch Pfeile darstellt, dass der Startpunkt des zweiten mit dem Endpunkt des ersten Pfeils übereinstimmt. Die Summe wird dann durch den Pfeil vom Startpunkt des ersten bis zum Endpunkt des zweiten Pfeils dargestellt.

Alternativ stellt man die beiden Vektoren durch Pfeile mit einem gemeinsamen Anfangspunkt dar und ergänzt diese Figur zu einem Parallelogramm. Der diagonale Pfeil vom gemeinsamen Anfangspunkt zur gegenüberliegenden Ecke stellt dann die Summe der beiden Vektoren dar. In der Physik verwendet man diese Konstruktion beim Kräfteparallelogramm.

In Koordinaten berechnet man die Summe komponentenweise: Für die Summe der beiden Vektoren

und

gilt

Für die Addition von Vektoren gelten das Assoziativ- und das Kommutativgesetz.

Für die Differenz zweier Vektoren und gilt:

.

Sie lässt sich auf zwei Arten geometrisch deuten:

• Als die Summe von mit dem Gegenvektor von . Man setzt den Startpunkt eines Pfeils, der den Gegenvektor von darstellt an den Endpunkt des Pfeils, der darstellt.
• Als denjenigen Vektor, der zu addiert gerade ergibt. Stellt man und durch Pfeile mit demselben Anfangspunkt dar, so wird durch den Pfeil dargestellt, der vom Endpunkt des zweiten Vektors zum Endpunkt des ersten Vektors führt.

Werden zwei Vektoren addiert (subtrahiert), so addieren (subtrahieren) sich ihre Beträge nur dann, wenn die Vektoren kollinear sind und die gleiche Orientierung haben. Im allgemeinen Fall gilt hingegen die Dreiecksungleichung:

.

Vektoren können mit reellen Zahlen (oft Skalare genannt, um sie von Vektoren unterscheiden zu können) multipliziert werden (Skalarmultiplikation, auch S-Multiplikation genannt):

Die Länge des resultierenden Vektors ist . Wenn der Skalar positiv ist, zeigt der resultierende Vektor in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche, ist er negativ, in die Gegenrichtung.

Für die Vektoraddition und die Multiplikation mit einem Skalar gilt das Distributivgesetz:

Das Skalarprodukt (oder innere Produkt) zweier Vektoren und , so genannt weil das Ergebnis ein Skalar ist, wird notiert als oder und ist

,

wobei der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist (siehe auch Kosinus). Stehen die zwei Vektoren rechtwinkelig zueinander, so ist das Skalarprodukt Null: .

Im kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt als

insbesondere gilt für das Quadrat eines Vektors

Geometrisch lässt sich das Skalarprodukt auch als Multiplikation der Länge des ersten Vektors mit der Länge der senkrechten Projektion des zweiten Vektors auf den ersten Vektor verstehen. Daher ist das Skalarprodukt zweier orthogonal aufeinander stehender Vektoren immer 0. Diese Operation wird oft in der Physik gebraucht, zum Beispiel um die Arbeit zu berechnen, wenn Kraft und Weg nicht in derselben Richtung verlaufen.

Für das Skalarprodukt gelten das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz, nicht aber – wie bei der Multiplikation zweier Skalare – das Assoziativgesetz.

Das Kreuzprodukt (auch vektorielles Produkt, äußeres Produkt oder Vektorprodukt) (gesprochen als „a Kreuz b“) zweier Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ist ein bestimmter Vektor, der senkrecht auf der von und aufgespannten Ebene steht. Die Länge dieses Vektors entspricht der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten und , also

wobei der von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkel hier mit bezeichnet wird. Das Kreuzprodukt zweier kollinearer Vektoren ergibt daher den Nullvektor.

Im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem lässt sich das Kreuzprodukt wie folgt berechnen:

Das Kreuzprodukt ist antikommutativ, d. h. es gilt

In kartesischen Koordinaten kann die Länge von Vektoren nach dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

Die Länge ist damit durch die Wurzel des Skalarprodukts gegeben:

.

Vektoren der Länge 1 heißen Einheitsvektoren. Hat ein Vektor die Länge 0, so handelt es sich um den Nullvektor. Bei vektoriellen Größen in der Physik spricht man statt von der Länge vom Betrag eines Vektors. Die Einheit des Betrags ist jeweils dieselbe wie die Einheit des Vektors.

Zwei Vektoren und heißen kollinear, wenn

Sie sind parallel, wenn , bzw. antiparallel, wenn . Für kollineare Vektoren im dreidimensionalen Raum gilt

Mehrere Vektoren heißen linear abhängig, wenn es für die folgende Gleichung eine Lösung gibt, bei der nicht alle Koeffizienten sind:

Dann lässt sich mindestens einer der Vektoren als eine Linearkombination der anderen darstellen. Wenn sich jedoch keine Koeffizienten finden lassen, die diese Bedingung erfüllen, dann nennt man die Vektoren linear unabhängig. Um ein Koordinatensystem für einen -dimensionalen Raum festzulegen, braucht man genau linear unabhängige Basisvektoren. Dann kann man jeden Vektor dieses Raums auf eindeutige Weise als Linearkombination der Basisvektoren schreiben. Mehr als Vektoren im -dimensionalen Raum sind stets linear abhängig.

Zwei Vektoren und heißen orthogonal, wenn

Bei geometrischen Vektoren bedeutet dies, dass sie einen rechten Winkel einschließen.

Ein Vektor heißt Einheitsvektor oder normiert, wenn er eine Länge von 1 hat. Man normiert einen Vektor wie folgt:

.

Die Definition des Vektors in der linearen Algebra als Element eines Vektorraumes ist eine viel umfassendere, die neben den „herkömmlichen“, geometrischen Vektoren verschiedenste mathematische Objekte (Zahlen, Folgen, Funktionen und Transformationen) beinhaltet. Demnach ist jeder Vektor auch ein Tensor. Auch alle benannten Größen („Zahlenwert mit Einheit“, z. B. Längenangaben mit der Einheit Meter; Geldbeträge mit Einheit Euro usw.) sind in diesem Sinn Vektoren. (Dabei kann man durch Übergang zu einer anderen Einheit, z. B. von Euro zu Dollar, zwar die Zahlenwerte verändern; die Vektoren selbst aber bleiben ungeändert.)

In der klassischen Physik werden physikalische Größen, die einen Betrag und eine Richtung haben, als Vektoren des euklidischen Raums aufgefasst. Beispiele hierfür sind der Ort, die Geschwindigkeit, die Beschleunigung, die Kraft, usw. Man kann sie skalaren physikalischen Größen gegenüberstellen, die nur einen Betrag, jedoch keine Richtung haben, wie z. B. Volumen, Masse, Ladung, Temperatur, usw.

Diese Auffassung gerichteter physikalischer Größen als Vektoren ist eine Anwendung geometrischer Vektoren. An die Stelle der Verschieberichtung tritt die Richtung der physikalischen Größe. Ihr Betrag entspricht der Verschiebungsweite eines geometrischen Vektors. Die Darstellung solcher Größen durch Pfeile bestimmter Länge veranschaulicht sowohl deren Richtung als auch deren Betrag. Folglich gilt alles, was bereits über geometrische Vektoren gesagt wurde, auch für vektorielle Größen in der Physik, insbesondere auch die Rechenoperationen in kartesischen Koordinaten und ihre graphische Veranschaulichung. Je nach Problemstellung kann jedoch auch die Wahl eines anderen Koordinatensystems (z. B. Kugelkoordinaten) sinnvoller erscheinen.

Physikalische Größen lassen sich nur dann addieren, wenn es sich um Größen derselben Größenart handelt. Das gilt auch dann, wenn man sie als Vektoren auffasst. Die Addition wird z. B. durch das Kräfteparallelogramm veranschaulicht. Vektorsummen sind unter anderem in der Statik von herausragender Bedeutung, z. B. bei der Definition des Kräftegleichgewichts .

Das Skalarprodukt wird verwendet, wenn die Projektion eines Vektors in die Richtung eines anderen von Bedeutung ist. Beispielsweise versteht man unter dem physikalischen Begriff Arbeit das Produkt einer Kraft und eines Weges in Kraftrichtung. Deswegen berechnet man die Arbeit über das Skalarprodukt der Kraft und des Weges. Außerdem ist das Skalarprodukt wichtig bei der Komponentenzerlegung eines Vektors. Das Kreuzprodukt hingegen findet überall dort Verwendung, wo eine Gesetzmäßigkeit der Drei-Finger-Regel folgt, wie z. B. bei der Lorentzkraft oder dem Drehmoment. Sowohl beim Skalarprodukt als auch beim Kreuzprodukt ergibt sich die Einheit der resultierenden physikalischen Größe durch die Multiplikation der Einheiten beider Faktoren.

Ist ein physikalischer Vektor selbst eine Funktion des Ortes, spricht man von einem Vektorfeld. Es kann durch Feldlinien veranschaulicht werden, wobei die Tangente an die Feldlinie die Richtung des Vektors angibt. Der Betrag des Vektors wird durch die Dichte der Feldlinien dargestellt. Als Beispiele wären hier vor allem die elektrischen und magnetischen Felder zu nennen. Bei der mathematischen Behandlung der Felder erweist sich die Vektoranalysis als äußerst wichtiges Werkzeug, z. B. in der Elektrodynamik oder in der Strömungslehre.

An die Stelle des dreidimensionalen euklidischen Raums tritt in der Relativitätstheorie die vierdimensionale Raumzeit. Vektorielle Größen wie die Vierergeschwindigkeit oder der Viererimpuls werden hier dementsprechend als vierdimensionale Vektoren dargestellt.

Mehrteilchen-Systeme von Teilchen beschreibt man durch Vektoren in -dimensionalen Vektorräumen, bzw. – in der hamiltonschen Mechanik – im -dimensionalen Phasenraum, der nicht nur die Ortskoordinaten, sondern auch die Impulskoordinaten umfasst. Schließlich werden die Zustände quantenmechanischer Systeme als Vektoren in Funktionenräumen dargestellt. Hier erweist sich insbesondere die Bra-Ket-Notation, die von Paul Dirac eingeführt wurde, als hilfreich.

Für den physikalischen Vektorbegriff ist auch das Transformationsverhalten unter der Isometriegruppe der entsprechenden Metrik von Bedeutung. Dabei wird der dreidimensionale Raum als euklidischer Raum verstanden, während die vierdimensionale Raumzeit als Minkowski-Raum mit der entsprechenden Metrik aufgefasst wird. Werden diese Räume als Mannigfaltigkeiten aufgefasst, so sind Vektoren als kontravariante Tensoren erster Stufe zu verstehen, was das geforderte Transformationsverhalten festlegt. Die zugehörigen Isometriegruppen sind in drei Dimensionen die Drehgruppe und im Minkowski-Raum die Lorentzgruppe. Dabei sind nicht alle Vektoren im Dreidimensionalen als Teile von Vierervektoren aufzufassen. Der Drehimpuls transformiert beispielsweise unter Lorentztransformationen nicht wie ein Teil eines Vierervektors, sondern zusammen mit dem anfänglichen Energieschwerpunkt wie die sechs Komponenten eines antisymmetrischen Tensors. Ebenso transformieren die elektrische und magnetische Feldstärke wie die sechs Komponenten eines antisymmetrischen Tensors.

Vielteilchensysteme mit Teilchen beschreibt man mit Vektoren in 3n-dimensionalen Vektorräumen, auf die die dreidimensionale Drehgruppe getrennt wirkt.

Je nach Transformationsverhalten unter Spiegelungen des Ortes unterscheidet man zwischen polaren und axialen Vektoren, in der älteren Literatur auch Schub- und Drehvektoren^[7] genannt: In polaren Vektorräumen geht jeder Vektor bei der räumlichen Spiegelung in sein Negatives über, Axialvektoren dagegen bleiben dabei unverändert. So ändern beispielsweise der Ort, die Geschwindigkeit, der Impuls und das elektrische Feld bei räumlicher Spiegelung ihr Vorzeichen, nicht aber das magnetische Feld. Bei solchen Transformationen gehen Lösungen der Bewegungsgleichungen in elektromagnetischen Feldern

bei Spiegelung in Lösungen der Bewegungsgleichungen in transformierten elektromagnetischen Feldern über.

Polare und axiale Vektoren sind wegen ihres unterschiedlichen Transformationsverhaltens Elemente verschiedener Vektorräume. Das Kreuzprodukt muss dabei als bilineare Abbildung zweier Vektorräume in einen dritten angesehen werden. Dass es sich um verschiedene Vektorräume handelt, ist meist schon an den Maßeinheiten sichtbar.

• Kurt Bohner, Peter Ihlenburg, Roland Ott: Mathematik für berufliche Gymnasien – Lineare Algebra – Vektorielle Geometrie. Merkur, Rinteln 2004. ISBN 3-8120-0552-2
• Klaus Jänich: Lineare Algebra. 10. Auflage. Springer, Berlin 2004. ISBN 3-540-40207-1.
• Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 1. 11. Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8348-0224-8

• Vektorrechnung, Ronny Harbich
• Java-Applet zur Veranschaulichung des Kreuzprodukts
• Der mathematische Begriff „Vektor“
• mathe online: Vektoren
• Geschichte des Vektors (englisch)

1. ↑ W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H.Kästner: Kleine Enzyklopädie Mathematik; Leipzig 1970, S. 545.
2. ↑ Hermann Günter Graßmann: Die Lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: Dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert. O. Wigand, 1844. 
3. ↑ Josiah Willard Gibbs: Quaternions and the Ausdehnungslehre»Sammelwerk=Nature. Band 44, Nr. 1126, 1891, S. 79–82, doi:10.1038/044079b0. 
4. ↑ W. R. Hamilton: Lectures on Quaternions. Hodges and Smith, Dublin 1853. 
5. ↑ W. R. S. Hamilton: Elements of Quaternions: Vol.: 1. Longmans, Green & Company, 1866 (Google Books). 
6. ↑ W. R. S. Hamilton, C. J. Joly: Elements of quaternions.Vol.: 2. Longmans, Green & Company, 1901. 
7. ↑ Grimsehl: Lehrbuch der Physik, Bd.I, Leipzig 1954, S.577-578.

Vorlage:Link GA Vorlage:Link FA