„Verallgemeinerte hypergeometrische Verteilung“ – Versionsunterschied
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Eine Zufallsvariable <math> X </math> mit Werten in <math>\{ (b_1, \ldots, b_k) \in \mathbb{N}_0^k \, | \, b_1+\ldots+b_k=n \}</math> heißt multivariat hypergeometrisch verteilt zu den Parametern <math>B=(B_1, \ldots, B_k) \in \mathbb{N}_0^k</math> mit <math>B_1+\ldots+B_k=N </math> und <math> n \leq N </math>, wenn sie die [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] |
Eine Zufallsvariable <math> X </math> mit Werten in <math>\{ (b_1, \ldots, b_k) \in \mathbb{N}_0^k \, | \, b_1+\ldots+b_k=n \}</math> heißt multivariat hypergeometrisch verteilt zu den Parametern <math>B=(B_1, \ldots, B_k) \in \mathbb{N}_0^k</math> mit <math>B_1+\ldots+B_k=N </math> und <math> n \leq N </math>, wenn sie die [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] |
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:<math> f_{B,n} (b_1,\dots , b_k)= \frac{\binom{B_1}{b_1} \cdot \binom{B_2}{b_2} \cdot \ldots \cdot \binom{B_k}{b_k}}{\binom{N}{n}} </math> |
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besitzt. Man schreibt dann <math> X \sim \mathcal{H}_{B,n} </math> oder <math> X \sim Hyp_{B,n} </math> wie bei der hypergeometrischen Verteilung. |
besitzt. Man schreibt dann <math> X \sim \mathcal{H}_{B,n} </math> oder <math> X \sim Hyp_{B,n} </math> wie bei der hypergeometrischen Verteilung. |
Version vom 6. Dezember 2014, 19:25 Uhr
Die multivariate hypergeometrische Verteilung oder auch verallgemeinerte hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete multivariate Verteilung und eine Verallgemeinerung der hypergeometrischen Verteilung. Sie kann aus dem Urnenmodell abgeleitet werden.
Definition
Eine Zufallsvariable mit Werten in heißt multivariat hypergeometrisch verteilt zu den Parametern mit und , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion
besitzt. Man schreibt dann oder wie bei der hypergeometrischen Verteilung.
Herleitung aus dem Urnenmodell
Die multivariate hypergeometrische Verteilung lässt sich anschaulich aus dem Urnenmodell herleiten. Gegeben sei eine Urne mit insgesamt Kugeln, von denen jede in einer von unterschiedlichen Farben eingefärbt ist. Von der Farbe gibt es Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, beim -maligen Ziehen ohne Zurücklegen genau Kugeln der Farbe zu ziehen, ist multivariat hypergeometrisch verteilt.
Eigenschaften
Erwartungswert
Ist die Anzahl der Kugeln der Farbe , so ist der Erwartungswert
Varianz
Die Varianz ist
Kovarianz
Für die Kovarianz zwischen der Anzahl der Kugeln gilt
wenn .
Beispiel
Es ist eine Urne mit 5 schwarzen, 10 weißen und 15 roten Kugeln gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, bei sechsmaligem Ziehen genau zwei Kugeln von jeder Farbe zu ziehen, ist
- ,
also knapp acht Prozent. Es ist . Damit folgt zum Beispiel für den Erwartungswert der schwarzen Kugeln .
Beziehung zu anderen Verteilungen
Beziehung zur hypergeometrischen Verteilung
Die hypergeometrische Verteilung ist ein Spezialfall der multivariaten hypergeometrischen Verteilung mit und . Man beachte hier die unterschiedlichen Parametrisierungen.
Beziehung zur Multinomialverteilung
Die multivariate hypergeometrische Verteilung und die Multinomialverteilung sind verwandt, da sie aus demselben Urnenmodell entstehen, mit dem Unterschied, dass im Multinomialmodell zurückgelegt wird. Insbesondere lässt sich zeigen, dass wenn und gilt, sodass ist, und die eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf definieren, dann punktweise gegen die Multinomialverteilung mit den Parametern und konvergiert. Die multivariate hypergeometrische Verteilung kann somit durch die Multinomialverteilung approximiert werden.
Literatur
- Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4. Auflage, de Gruyter, 2009. ISBN 978-3-110-21526-7
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8