„Epsilontik“ – Versionsunterschied
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'''Epsilontik''' ist eine saloppe, teilweise auch abwertende Bezeichnung für eine mathematische [[Notation]], die in der [[Analysis]] weite Anwendung findet. Sie wird verwendet, um den [[Grenzwert (Folge)|Grenzwertbegriff]] mathematisch exakt formulieren zu können. Die Abweichung von dem Grenzwert wird in der Regel mit dem griechischen Buchstaben [[Epsilon]] <math> (\varepsilon) </math> bezeichnet. Um z. B. die Konvergenz einer [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>f_n</math> gegen den Grenzwert <math>f</math> zu beweisen, zeigt man, dass für jede noch so kleine Zahl <math>\varepsilon>0</math> eine Zahl <math>n_0</math> existiert, so dass für jedes <math>n>n_0</math> gilt: <math> |f_n-f|<\varepsilon </math>. | '''Epsilontik''' ist eine saloppe, teilweise auch abwertende Bezeichnung für eine mathematische [[Notation]], die in der [[Analysis]] weite Anwendung findet. Sie wird verwendet, um den [[Grenzwert (Folge)|Grenzwertbegriff]] mathematisch exakt formulieren zu können. Die Abweichung von dem Grenzwert wird in der Regel mit dem griechischen Buchstaben [[Epsilon]] <math> (\varepsilon) </math> bezeichnet. Um z. B. die Konvergenz einer [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>f_n</math> gegen den Grenzwert <math>f</math> zu beweisen, zeigt man, dass für jede noch so kleine Zahl <math>\varepsilon>0</math> eine Zahl <math>n_0</math> existiert, so dass für jedes <math>n>n_0</math> gilt: <math> |f_n-f|<\varepsilon </math>. | ||
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:<math>\bigwedge_{\varepsilon >0} \bigvee_{n_0} \bigwedge_{n>n_0} \left| f_n-f \right| < \varepsilon</math> | |||
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Die Epsilontik geht auf [[Karl Weierstraß]] zurück, der erstmals die Epsilon-[[Umgebung (Mathematik)|Umgebungen]] zur [[Definition]] des Grenzwerts eingeführt hat.<ref name="Heuser">Harro Heuser, ''Lehrbuch der Analysis, Teil 2.'' B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 696 f.</ref> Mit dieser Definition wird lediglich verlangt, dass Variablen in einem bestimmten Bereich liegen, und nicht mehr davon geredet, dass Variablen sich auf einen Grenzwert hinbewegen. Hatte man vorher [[Intuition|intuitiv]] mit Bewegungsvorstellungen argumentiert, so stellte nun die Notation der Epsilontik den Grenzwertbegriff auf ein stabiles mathematisches Fundament, das eine exakte Problemdefinition und [[Beweis (Mathematik)|Beweisbarkeit]] ermöglichte. | Die Epsilontik geht auf [[Karl Weierstraß]] zurück, der erstmals die Epsilon-[[Umgebung (Mathematik)|Umgebungen]] zur [[Definition]] des Grenzwerts eingeführt hat.<ref name="Heuser">Harro Heuser, ''Lehrbuch der Analysis, Teil 2.'' B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 696 f.</ref> Mit dieser Definition wird lediglich verlangt, dass Variablen in einem bestimmten Bereich liegen, und nicht mehr davon geredet, dass Variablen sich auf einen Grenzwert hinbewegen. Hatte man vorher [[Intuition|intuitiv]] mit Bewegungsvorstellungen argumentiert, so stellte nun die Notation der Epsilontik den Grenzwertbegriff auf ein stabiles mathematisches Fundament, das eine exakte Problemdefinition und [[Beweis (Mathematik)|Beweisbarkeit]] ermöglichte. | ||
Version vom 8. Mai 2009, 02:23 Uhr
Epsilontik ist eine saloppe, teilweise auch abwertende Bezeichnung für eine mathematische Notation, die in der Analysis weite Anwendung findet. Sie wird verwendet, um den Grenzwertbegriff mathematisch exakt formulieren zu können. Die Abweichung von dem Grenzwert wird in der Regel mit dem griechischen Buchstaben Epsilon bezeichnet. Um z. B. die Konvergenz einer Folge gegen den Grenzwert zu beweisen, zeigt man, dass für jede noch so kleine Zahl eine Zahl existiert, so dass für jedes gilt: .
Oder in Quantoren-Schreibweise:
Unter eingefleischten Mathematikern geht daher der folgende Witz um – und zwar der wirklich kürzeste Mathematikerwitz überhaupt: „Sei .“
Die Epsilontik geht auf Karl Weierstraß zurück, der erstmals die Epsilon-Umgebungen zur Definition des Grenzwerts eingeführt hat.[1] Mit dieser Definition wird lediglich verlangt, dass Variablen in einem bestimmten Bereich liegen, und nicht mehr davon geredet, dass Variablen sich auf einen Grenzwert hinbewegen. Hatte man vorher intuitiv mit Bewegungsvorstellungen argumentiert, so stellte nun die Notation der Epsilontik den Grenzwertbegriff auf ein stabiles mathematisches Fundament, das eine exakte Problemdefinition und Beweisbarkeit ermöglichte.
Quellen
- ↑ Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 2. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 696 f.
