In der Mathematik sind die newtonschen Ungleichungen Ungleichungen, die nach Isaac Newton, dem Verfasser der Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, benannt wurden.

Seien reelle Zahlen und seien die -ten elementarsymmetrischen Polynome in , definiert durch

Es gelten beispielsweise und .

Dann erfüllen die elementaren symmetrischen Mittel, definiert durch

die Ungleichungen

für alle ganzen Zahlen .

Falls alle ungleich Null sind, dann gilt Gleichheit genau dann, falls alle gleich sind. Es sei bemerkt, dass das arithmetische Mittel und die -te Potenz des geometrischen Mittels der ist.

• Maclaurin-Ungleichung

• Isaac Newton: Arithmetica universalis: sive de compositione et resolutione arithmetica liber. 1707. 
• D.S. Bernstein Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (2009 Princeton) p. 55
• C. Maclaurin: A second letter to Martin Folks, Esq.; concerning the roots of equations, with the demonstration of other rules in algebra. In: Philosophical Transactions. 36. Jahrgang, Nr. 407–416, 1729, S. 59–96, doi:10.1098/rstl.1729.0011 (zenodo.org [PDF]). 
• J.N. Whiteley: On Newton's Inequality for Real Polynomials. In: The American Mathematical Monthly. 76. Jahrgang, Nr. 8. The American Mathematical Monthly, Vol. 76, No. 8, 1969, S. 905–909, doi:10.2307/2317943. 
• Constantin Niculescu: A New Look at Newton's Inequalities. In: Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. 1. Jahrgang, Nr. 2, 2000 (emis.de).