Skorochodscher Einbettungssatz

Der Skorochodsche Einbettungssatz (auch in den Schreibungen Skorokhod oder Skorohod zu finden) ist ein mathematischer Satz aus der Theorie der stochastischen Prozesse, einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Er ist nach Anatoli Skorochod benannt. Anschaulich besagt er, dass jede Zufallsvariable sich (unter gewissen Umständen) in die mathematische Modellierung der brownschen Molekularbewegung, den Wiener-Prozess, einbetten lässt.

Aussage

Gegeben sei ein Wiener-Prozess und die entsprechende erzeugte Filtrierung.

Sei eine reellwertige Zufallsvariable mit und

Dann existiert eine Stoppzeit bezüglich , so dass

ist und dieselbe Verteilung hat wie .

Beispiele

  • Sei Dirac-verteilt zum Punkt , dann ist und . Wähle , so ist und .
  • Sei zweipunktverteilt auf mit und bzw. . Dann ist und . Wähle dann die Ersteintrittszeit , so gilt und .

Eine Konstruktion der gesuchten Stoppzeit für eine beliebige reellwertige Zufallsvariable mit den obigen Eigenschaften lässt sich über eine Mischung von Zweipunktmaßen erreichen.[1]

Anwendung

Mit dem Einbettungssatz lässt sich das Gesetz des iterierten Logarithmus in der allgemeinen Form leichter herleiten. Dafür zeigt man zuerst das Gesetz des iterierten Logarithmus für den Wiener-Prozess und weitet dann dieses Ergebnis mittels des Einbettungssatzes auf den allgemeinen Fall aus.

Literatur

Einzelnachweise

  1. Ludger Rüschendorf: Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48937-6, S. 437 ff.