Hopf-Faserung

Die Hopf-Faserung (nach Heinz Hopf) ist eine bestimmte Abbildung im mathematischen Teilgebiet der Topologie. Es handelt sich um eine Abbildung der 3-Sphäre, die man sich als den dreidimensionalen Raum zusammen mit einem unendlich fernen Punkt vorstellen kann, in die 2-Sphäre, also eine Kugeloberfläche:

Beschreibung der Abbildung

Man erhält sie wie folgt: Zuerst wird die als Einheitssphäre in den eingebettet. Durch werden Paare komplexer Zahlen auf ihren Quotienten in abgebildet. Danach bildet man den Bildpunkt mit der inversen stereographischen Projektion bzgl. des Nordpoles auf die ab. Um die Abbildung konkret in Formeln anzugeben, gibt es verschiedene Möglichkeiten.

Mit reellen Zahlen

Die Abbildung

mit

bildet die 3-Sphäre auf die 2-Sphäre ab. Diese Einschränkung ist die Hopf-Abbildung.

Mit komplexen Zahlen

Die 3-Sphäre werde als die Teilmenge

des zweidimensionalen komplexen Raums aufgefasst, die 2-Sphäre als riemannsche Zahlenkugel. Dann ist die Hopf-Abbildung durch

gegeben. Fasst man die riemannsche Zahlenkugel als projektive Gerade auf, so kann man die Abbildung unter Verwendung homogener Koordinaten auch als

schreiben.

Mit Lie-Gruppen

Die 3-Sphäre ist diffeomorph zur Lie-Gruppe Spin(3), die als Überlagerung der Drehgruppe SO(3) auf der 2-Sphäre operiert. Durch diese Operation erhält man Identifikationen

.

Beispiele aus der Physik

Als natürliche Anschauung der Hopf-Faserung lassen sich Quantenzustände nicht relativistischer Elektronen auf der Einheitssphäre darstellen.

Hierbei ist der Zustandsvektor: mit gegeben. Ferner sei die Gestalt der Einheitssphäre des 2-dimensionalen Hilbertraums

Aus dem Skalarprodukt des Quantenzustands

folgt

Dieses entspricht der 3-Sphäre.

Zwei Quantenzustände sind äquivalent wenn es eine komplexe Zahl bzw. ein Repräsentant der unitären Gruppe gibt, welcher die Forderung erfüllt. Betrachtet man die gesamte Vereinigungsmenge der Äquivalenzklasse

auf der Sphäre

so operiert die Gruppe auf der Einheitssphäre. Die Mengen der werden auch -Faser genannt. Dargestellt wird diese Menge der -Faser wie folgt

Die Hopf-Faserung (als „Hopfion“) wurde in vielen Bereichen der Physik als mögliche topologische Textur in unterschiedlichen zugrundeliegenden physikalischen Feldern diskutiert, ähnlich dem Skyrmion, allerdings wurden sie im Gegensatz zu diesem bisher (2021) nicht in der Natur nachgewiesen. Das reicht von magnetischen Strukturen in Festkörpern, Ferroelektrika,[1] Teilchenphysik, Supraflüsisigkeiten bis zur Biologie. Diese und ähnliche solche topologischen Strukturen stellen teilchenartige, durch ihre Topologie geschützte bzw. stabilisierte, „verwirbelte“ Feldanregungen (verbunden mit ganzzahligen topologischen Quantenzahlen, in diesem Fall die Hopf-Invariante) dar und sind insbesondere in der Festkörperphysik ein aktuelles Forschungsgebiet (2022). Das Hopfion wurde zwar bisher nicht in der Natur beobachtet, aber 2021 über ihre Projektion aus vier Dimensionen 2021 in Form eines Lichtfeldes mit quantenoptischen Methoden künstlich erzeugt (Cornelia Denz u. a. 2021).[2] Die Textur selbst wurde dabei in der Phasen- und Polarisationsstruktur des Lichtfeldes abgebildet.

Eigenschaften

Verallgemeinerungen

Die oben angegebene Beschreibung mithilfe komplexer Zahlen kann analog auch mit Quaternionen oder mit Cayley-Zahlen durchgeführt werden; man erhält dann Faserungen

bzw. ,

die ebenfalls als Hopf-Faserungen bezeichnet werden.

Geschichte

Heinz Hopf gab diese Abbildung 1931 in seiner Arbeit Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche an und zeigte, dass sie nicht nullhomotop ist (genauer: dass ihre Hopf-Invariante gleich 1 ist).

Literatur

  • Heinz Hopf: Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. Math. Ann. 104 (1931), 637–665 (PDF)
  • Eberhard Zeidler: Quantum Field theory I - Basics in Mathematics and Physics. Springer Verlag, 2006, ISBN 3-540-34762-3, S. 269 ff.

Einzelnachweise

  1. I. Lukyanchuk, V. M. Vinokur u. a.: Hopfions emerge in ferroelectrics, Nature Communications, Band 11, 2020, S. 2433, Arxiv
  2. Danica Sugic, Cornelia Denz, Mark Denner u.a., Particle-like topologies in light, Nature Communications, Band 12, 2021, Nr. 6785