Mit der aktuellen Definition hat der leere metrische Raum den Durchmesser minus unendlich. Es wäre also besser, den Wertebereich der Funktion d als R+ zu definieren. (nicht signierter Beitrag von 193.88.209.90 (Diskussion) 00:02, 14. Jun. 2011 (CEST)) Beantworten

Einspruch!

Aus den Bedingungen

(i) d(x,y)=0 <=> x=y

(ii) d(x,y) <= d(x,z)+d(z,y)

folgt nicht

(iii) d(x,y) >= 0

(iv) d(x,y) = d(y,x)

Betrachte X = {0, 1} und die Abbildung

d  a  b
a  0 -1
b  1 0

Sie erfuellt (i), (ii), aber nicht (iii), (iv).

Ich aendere den Artikel zurueck... --SirJective 10:51, 13. Jan 2004 (CET)

ebenfalls Einspruch ;) aus d(x,y)=0 <=> x=y, d(x,y)=d(y,x) & der Dreiecksungl. folgt, dass d(x,y)>=0, denn: 0=d(x,x)<=d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y) Haize 21:26, 29. Aug 2005 (CEST)

Das steht auch schon in der aktuelleren Diskussion unten.--Gunther 21:29, 29. Aug 2005 (CEST)

Artikel könnt noch etwas gestrafft und verständlicher formuliert werden. -- Nichtich 14:17, 9. Feb 2004 (CET)

Das Axiom (i) ist unnötig und sollte daher weggelassen werden. [01:27 12. Mai 2004]

Danke. Die aktuelle Fassung enthält nun hoffentlich alle und nur alle nötigen Axiome. -- Weialawaga 13:23, 12. Mai 2004 (CEST)Beantworten

Die Entfernung von d(x,y)>=0 als Axiom ist zwar richtig, da diese Bedingung aber in vielen Texten explizit oder implizit (durch d:X x X -> R+) gefordert wird, hab ich sie etwas deutlicher hervorgehoben. --SirJective 18:26, 13. Mai 2004 (CEST)Beantworten

Habe sie mal wieder entfernt und als Folgerung eingebunden --84.60.127.181 17:43, 12. Feb. 2010 (CET)Beantworten

Hallo zusammen ! Einige Anmerkungen/Fragen/Anregungen :

In wie weit ist die Minkowski-Metrik diag( -c, 1,1,1 ) positiv definit ??

Antwort (siehe auch Änderung im Artikel): sie ist definit, solange man bei ihrer Anwendung die fundamentale Unterscheidung von zeit- und ortsabhängigen Abständen berücksichtigt. Müsste im Artikel Minkowski-Raum genauer erklärt werden. -- Weialawaga 12:02, 21. Mai 2004 (CEST)Beantworten

Dann ist diese Metrik aber nicht auf

javascript:insertTags('','\RR \times \RR^3'); definiert. Damit finde ich das Beispiel nicht sehr gut. Im Artikel über den Minkowski-Raum wird die Metrik auch als indefinit (wie auch ich das sehe) bezeichnet. Konsequenterweise würde ich dieses Beispiel an dieser Stelle nicht bringen ! javascript:insertTags('--Ed der gar 16:52, 21. Mai 2004 (CEST)',,);Beantworten

Vorschlag: Minkowski-Raum drin lassen, weil für eine wichtige Gruppe von Mathematikanwendern wichtig; Metrik als uneigentlich bezeichnen. Weialawaga 17:57, 21. Mai 2004 (CEST)Beantworten

Die Hierarchie mathematischer Strukturen liesse sich auch gut graphisch darstellen, Schema

  topologischer Raum <= metrischer Raum <= normierter Raum <= Innenproduktraum

Zeichenerklärung: Y <= X Jedes X ist auch ein Y, damit sind sämtliche in Y definierte Begriffe auch in X gegeben.

Durch so ein Schema gewinnt man viel schneller einen Überblick, um z.B. zu erkennen, dass ein Innenproduktraum auch ein topologischer Raum ist, ist im Augenblick sehr viel Les- und Gedankenarbeit nötig !

Siehe Diskussion:Hierarchie mathematischer Strukturen -- Weialawaga 12:02, 21. Mai 2004 (CEST)Beantworten

Die speziellen Eigenschaften des metrischen Raums als topologischer Raum sollten stärker betont werden: Hausdorff (steht im Artikel), jeder Punkt besitzt eine abzählbare Umgebungsbasis, Stetigkeit/Abgeschlossenheit/Kompakt ... lassen sich über Folgen charakterisieren (was im topologischen Raum im allgemeinen nicht geht)

Abgrenzung welche Begriffe wo definiert werden können topologischer Raum : Stetigkeit, konvergenz, offen, kompakt metrischer Raum: vollständig(Cauchyfolgen), gleichmäßig stetig (im Endeffekt lassen sich diese Begriffe auch im uniformen Raum erklären )

Evtl. stärker Betonen, dass die Metrik eine Verallgemeinerung des Begriffes des Betrags auf den reelen Zahlen darstellt, damit sämtliche Konzepte aus der Analysis der reellen Zahlen (Stetigkeit/Konvergenz) übertragen werden können. (So wird es ja in Deutschland und wahrscheinlich vielen anderen Ländern gelehrt)

Gruss Ed

Müsste die triviale/diskrete metrik nicht

d(x,y) = 0 für x=y
d(x, y) = 0 für x≠y

sein? (Statt d(x,x) = 0 in der ersten zeile)

--DarkBlaze 15:53, 21. Apr 2005 (CEST)

Da ist doch kein Unterschied. Viele Gruesse --DaTroll 15:55, 21. Apr 2005 (CEST)

Im Kapitel Definitheit und Pseudometrik hat sich ein Fehler eingeschlichen. So wird ausgesagt, daß aus (1), (3) und (4) folgen würde, daß nichtidentische Punkte einen Abstand größer Null haben. Die behauptete Folge ist bereits als (2) notiert.

Gegenbeispiel: d(x,y)=0

Es gilt (1) d(x,x)=0 und (3) d(x,y)=d(y,x)=0 und (4) d(x,y) = 0 ≤ d(x,z) + d(z,y) = 0, aber nicht (2) d(x,y)>0 bei x≠y, da ja d(x,y)=0.

Der Fehler hat sich meines Wissens nach hier eingeschlichen:

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Metrischer_Raum&diff=7933081&oldid=7931459

Man könnte nun ausbessern versuchen, und aus (2)-(4) (2) folgen lassen, aber das ist wohl trivial.

Könnte hier ein Mathematiker mal drüberschauen? -- stw

Bin Mathematiker, habe drübergeschaut und die Aussagen über minimale/überflüssige Definitionen angepasst und begründet. Jetzt sollte alles passen. -- ak

Hallo,

da ist wohl doch etwas schiefgelaufen, weil nun 4 Axiome dastehen, aber unten erwähnt wird, das eines davon überflüssig ist. Der Artikel ist damit widersprüchlich und ich bin selbst verwirrt, was nun gelten soll.

Aus (ii)-(iv) folgt

aber deshalb (i) wegzulassen fände ich ziemlich albern.--Gunther 18:41, 20. Jun 2005 (CEST)

Danke schonmal für die Erklärung. Trotzdem sollte man doch den Text anpassen. Da steht ja noch (i) d(x,y)>0 und später, dass es oft noch zusätzlich gefordert wird. Und dass es sich herleiten lässt aus (i). Klar, aber komisch. Oder man könnte sagen eine Abbildung nach R+ ist eine Metrik, wenn gilt:...

Ich habe (anstelle des Redircts auf diesen Artikelhier) einen Artikel zum Lemma „Metrisierbar“ angefangen (noch ein stub). Was er IMHO soll, geht aus dem einleitenden Abschnitt hervor: Eher Übersicht und Linkscharnier bieten, als in Details gehen. Wäre für rege Mitarbeit dankbar (zum Beispiel kann ich aus meiner Quelle wenig „übliche Satznamen“ beitragen). --KleinKlio 11:39, 15. Okt. 2006 (CEST)Beantworten

Der Satz, Zitat: „Metrische Tensoren, die nicht positiv definit sind, werden nur unregelmäßig explizit als pseudometrisch bezeichnet. Ein Beispiel ist der (pseudo)metrische Tensor diag(-1,1,1,1) des Minkowski-Raums. “

ist mir nicht ganz klar.

1. Müsste es nicht „die nicht positive semidefinit sind“ heißen?
2. Soll „unregelmäßig“ hier „in der Literatur selten“ oder „entgegen der ansonsten (für pseudo-) geltenden Regeln“ heißen?

Klarstellung durch Relativitätstheoretiker wäre schön.--KleinKlio 09:10, 4. Nov. 2006 (CET)Beantworten

Erledigt! Problemtaischer Satz wurde gelöscht. --KleinKlio 15:27, 5. Nov. 2006 (CET)Beantworten

Wer weiss die Mehrzahl von Metrik? Merci.

Metriken ist üblich (alle Fälle identisch), damit inzwischen korrekt. Normsprachlich lassen die von griechischen Adjektiven abgeleiteten deutschen Hauptwörter (Mathematik, Physik, Musik, Technik,...) keine Pluralbildung zu. Sie wurden ursprünglich vom giechischen Neutrum Plural oder von Zusammensetzungen z. B. mit techne (Kunst) abgeleitet. Da man Technik in den Plural setzen kann (allerdings mit Bedeutungseinschränkung, Lebensmitteltechniken gibt es nicht), dürfte es auch bei Metrik einem etwas jüngeren Sprachgefühl als meinem nicht widersprechen. --KleinKlio 19:07, 14. Dez. 2006 (CET)Beantworten

Schreibt man so ... ii vii ... römische Zahlen? Hat WIKI da nichts bessres zu bieten? --Kölscher Pitter 17:42, 20. Feb. 2007 (CET)Beantworten

Gibts eine alternative Notation für Metriken? Im Artikel Ungleichungen in Vierecken wird d nämlich außerdem für eine der Vierecksseiten verwendet, was doch ziemlich verwirrend ist, wie ich finde. --RokerHRO 14:43, 3. Aug. 2007 (CEST)Beantworten

Im Abschnitt "Beispile: durch Normen induzierte Metriken" steht etwas von einer "uneigentlichen Metrik des Minkowski-Raumes", der Begriff einer uneigentlichen Metrik wird aber nicht erklärt. Ist mir deshalb aufgefallen weil ich mein ein wenig wunderte, ich dachte eigentlich bisher, dass die Minkowski-Metrik auch "negative" Abstände zulässt, eben wenn sie Raumartig sind... Und ich mag mich irren, aber kann man die beiden genannten Formeln für Abstände nicht mit Betragsstrichen unter der Wurzel zusammenfassen? --Axel Wagner 01:15, 5. Aug. 2007 (CEST)Beantworten

Zitat: Manchmal werden, entgegen dem Sprachgebrauch der Mathematik, auch Distanzfunktionen als Metriken bezeichnet.

Der Link auf Distanzfunktionen ist dann ein Redirect auf Metrik und eine Erläuterung des Begriffs Distanzfunktion findet sich auch sonst nicht. Das ist ziemlich sinnlos. 88.76.43.119 19:06, 13. Nov. 2007 (CET)Beantworten

Ich habe nun den Satz

Manchmal werden, entgegen dem Sprachgebrauch der Mathematik, auch Distanzfunktionen als Metriken bezeichnet.

entfernt. Falls jemand etwas über Distanzfunktionen schreiben möchte, dann kann er ihn ja wieder hinzufügen. Ich bin mir nicht ganz sicher was eine Distanzfunktion ist (Abstand zweier Mengen?), sonst würde ich es selber machen. 84.63.126.206 07:55, 22. Nov. 2007 (CET)Beantworten

Ich denke hier ist einfach jede Funktion gemeint, die alle Eigenschaften einer Metrik hat bis auf die Dreiecksungleichung. Andernfalls hätte es wohl gar keinen Sinn mehr, von Distanz zu sprechen. --Drizzd 16:36, 23. Nov. 2007 (CET)Beantworten

Wenn du dir sicher bist dann kannst du ja den Artikel über Distanzfunktionen schreiben. Ich kenne den Begriff nicht und Google liefert auch nur Definitionen die am Ende dann doch eine Metrik sind (ich hab allerdings auch nur ein halbes Dutzend Definitionen überprüft). Ich habe nichts gegen den Begriff, nur es ist irgendwie unsinnig zu sagen: Da ist ein Unterschied und den nicht zu nennen bzw. die Begriffe doch identisch zu verwenden (durch den Link) ;) 84.63.105.27

Ich weiß nicht, ob ich es überlesen habe, aber ich vermisse ein Beispiel für einen Nicht-metrischen Raum (wenn es sowas gibt). --maststef 09:17, 21. Jan. 2008 (CET)Beantworten

Würdest Du auch in dem Artikel zu den Spinnentieren ein Beispiel für eine Nicht-Spinne vermissen? Ich fände das irgendwie unpassend. Das hier könnte allerdings Deine Neugier befriedigen: Metrisierbarkeit --Drizzd 19:00, 16. Jun. 2008 (CEST)Beantworten

Müsste es bei der Formalen Definition anstelle von d\colon X\times X\to \mathbb{R} nicht d\colon X\times X\to [0,\infty[ heißen?

Dies ist nicht notwendig, denn aus 0 = d(x,x) <= d(x,y) + d(y,x) = d(x,y) + d(x,y) = 2d(x,y) folgt d(x,y)>=0. Andim 23:21, 14. Aug. 2008 (CEST)Beantworten

In der Definition der Metrik steht in Klammern (identische Punkte haben Abstand 0) und (Punkte mit Abstand 0 sind identisch, nicht-identische können nicht Abstand 0 haben.) Das sollte entfernt werden weil es suggeriert, Metriken wären Abstände. Abstände sind Metriken aber das wars auch. (nicht signierter Beitrag von 91.17.173.115 (Diskussion | Beiträge) 09:59, 1. Jun. 2009 (CEST)) Beantworten

Verstehe ich nicht: Metriken haben genau die Funktion, einen Abstand zu messen? --P. Birken 16:09, 1. Jun. 2009 (CEST)Beantworten

Gerade bei der Metrik sind die Definitionen ja ganz schön weit auseinander von Buch zu Buch. Ich bin jetzt auf eine sehr schöne Definition in "Funktionalanalysis" von Siegfried Großmann, 4. Auflage gestoßen, die nur mit

und

auskommt und daraus die Symmetrie und schließlich die positive semidefinitheit folgert und zwar so:

Ausgegangen von der Dreiecksungleichung setzt man dann wird darin f=h gesetzt also zweimaliges anwenden liefert Als kürzeste ist diese Definition damit die wie ich finde beste und solange niemand einen Einwand dagegen hat würde ich das darum gern umschreiben.

L.G., giles (nicht signierter Beitrag von 90.153.112.242 (Diskussion | Beiträge) 21:21, 21. Jul 2009 (CEST))

Wir wollen nicht "die beste", sondern die uebliche Definition verwenden. --P. Birken 02:49, 22. Jul. 2009 (CEST)Beantworten

Genau das ist zur Zeit aber nicht der Fall.... Schönen Gruß --DownAnUp 19:22, 1. Mai 2010 (CEST)Beantworten

1. (Punkte mit Abstand 0 sind identisch, nicht-identische können nicht Abstand 0 haben.)

der Teil "nicht-identische können nicht Abstand 0 haben." der Aussage folgt NICHT aus dieser Definition, da muss ein Äquivalenzzeichen hin --84.60.127.181 17:45, 12. Feb. 2010 (CET)Beantworten

Moin, vielleicht bin ich doof und habe einen Denkfehler, aber ich bin mir recht sicher dass die Definition falsch ist: Brauchen wir nicht eine Äquivalenz in Axiom 2, also d(x,y)=0 g.d.w. x=y? Man will ja keine Räume wo ein Punkt zu sich selbst Abstand hat. Das folgt auch nicht aus den andern Axiomen, nehme als Gegenbeispiel: X={x}, d(x,x) = 23 \\ Dann haben wir

(i) d(x,y)\geq 0 klar

(ii) d(x,y) = 0 => x=y klar da Prämisse leer

(iii) d(x,y)=d(y,x) klar da nur ein Punkt

(iv) d(x,y) <= d(x,z)+d(z,y) : nur eine Aussage: 23 <= 23+23

Vielleicht kommt der Fehler daher, dass wir es in normierten Räumen nicht brauchen. Ich habs mal in eine Äquivalenz geändert. (nicht signierter Beitrag von 217.233.95.212 (Diskussion | Beiträge) 00:44, 31. Mär. 2010 (CEST)) Beantworten

Einfach den weiteren Text lesen, wos erklärt wird. Den Text der vno der IP oben angemerkt wurde, habe ich angepasst. --P. Birken 20:30, 31. Mär. 2010 (CEST)Beantworten

Entschuldige, aber bitte erkläre mir welches Axiom von 1 bis 4 im obigen Beispiel verletzt ist. Wenn ich nicht bescheuert bin grade keines, also lassen wir mit der aktuellen definition Räume zu, wo ein Punkt zu sich selbst Abstand hat, und das wollen wir doch sicherlich nicht oder? Man verleiche auch die englische Wikipedia und jedes mir auffindbare Buch zum Thema. (nicht signierter Beitrag von 217.233.77.145 (Diskussion | Beiträge) 01:13, 2. Apr. 2010 (CEST)) Beantworten

Oh, tut mir leid. Ich hatte nicht genau gelesen und da es um die genaue Formulierung der Axiome hier schon einige Diskussionen gab, implizit davon ausgegangen, dass es da korrekt steht :-) Diese Änderung war Schuld. Ich korrigiere es wieder, danke für den Hinweis! --P. Birken 18:36, 2. Apr. 2010 (CEST)Beantworten

Hallo, kann mir jemand erklären warum die Äquivalenz wieder durch eine Implikation ersetzt wurde? Ist für mich nicht nachvollziehbar bzw. scheint mir falsch. Schönen Gruß --DownAnUp 19:07, 1. Mai 2010 (CEST) Okay, hab einfach mal weitergelesen ;-) Soweit klar, finde die Definition so allerdings sehr unschön da Axiom 2 so immer zusammen mit Axiom 1 betrachtet werden muss. Die im weiteren Text angegebene Definition erscheint mir deutlich eleganter. --DownAnUp 19:17, 1. Mai 2010 (CEST)Beantworten

Darf ich die Diskussion nocheinmal anstoßen? Welchen sinn hat es denn, 4 Axiome zu benutzen, wenn es durch den Äquivalenzpfeil auh nur 3 bräuchte? Zumindest im Forster und im Fritsche ist das auch mit 3 Axiomen definiert, und der rest der LEhrbücher dürfte da in die gleiche Richtung springen (hab ich aber gerade nicht zur Hand). --Engeltr 16:15, 7. Mai 2011 (CEST) Nachtrag: Da ja sogar der Forster als Quelle angegeben ist, ist hier wohl einfach falsch zitiert? (In der en:WP gibt es auch nur 3 Axiome (+ das Nicht-negativ) --Engeltr 16:18, 7. Mai 2011 (CEST)Beantworten

Im Prinzip stimme ich dir zu. Man muss dann aber den Abschnitt "Pseudometrik" anpassen. Außerdem finde ich, sollte die Nichtnegativität mit als Axiom aufgenommen werden, auch wenn sie aus der Dreiecksungleichung und daraus, dass ein Punkt zu sich selbst den Abstand 0 hat, folgt. Wenn man sie nicht als Axiom aufführen will, dann sollte man den Wertebereich von d auf nichtnegative Zahlen einschränken (das tun z.B. Querenburg und der dtv-Atlas Mathematik. -- Digamma 19:57, 7. Mai 2011 (CEST)Beantworten

Unterhalb der Axiome (i)-(iii) steht der Nachsatz, dass bei Vektorräumen, die Forderung d(x,y) >= 0 entfallen könnte und danach folgt eine Ungleichungskette zwecks Beweis. Wo in dieser Ungleichungskette wird irgendeine Eingeschaft eines Vektorraums genutzt? Meiner Meinung nach nirgends. Und ich kenne, die Axiome auch in einer Form, die d(x,y) >= 0 nicht fordert, sondern genauso wie in der Ungleichung folgert und zwar für beliebige Räume. d(x,y) >= 0 wird meistens nur der deutlichkeithalber als Axiom aufgenommen bzw. es werden erst Pseudometriken definiert und die Definitheit weggelassen, wodurch d(x,y) >= 0 als Axiom notwendig ist und in einem zweiten Schritt die Definitheit gefordert, um aus einer Pseudometrik eine Metrik zu machen.

Ich würde daher in dem Satz "für Vektorräume" weglassen, weil es so klingt, als würde es für andere Räume nicht gelten. Sondern stattdessen schreiben: "Obige Axiome sind nicht minimal, weil die Bedingung d(x,y) >= 0" auch aus den übrigen Axiomen mit ... gefolgert werden kann".

Matthias (nicht signierter Beitrag von 188.99.225.121 (Diskussion) 10:34, 21. Nov. 2011 (CET)) Beantworten

Hallo

Deine Forderung ist zwar richtig, die Argumentationsweise aber falsch: Auch im Fall einer Pseudometrik gilt d(x,x)=0, wodurch die Nicht-Negativität (mit der selben Argumentation) ebenfalls gesichert ist. Aber natürlich hast du Recht: Es macht keinen Sinn, die Nicht-Negativität als viertes Axiom oder als Teil des ersten Axioms explizit zu gefordern - sie ist bereits durch die drei anderen Axiome sicher. Man sollte nur die drei Axiom ausführen (in der jetztigen Version als einfach aus Axiom 1 die Forderung d(x,y) >= 0 entfernen) und darauf hinweisen, dass die Nicht-Negativität zwar bereits sicher ist, aber häufig durch Einschränkung des Wertebreiches oder eines weiteren Axiom explizit gefordert wird. (nicht signierter Beitrag von 46.126.193.28 (Diskussion) 04:26, 8. Dez. 2011 (CET)) Beantworten

Den ganzen Absatz gelöscht. Das ist nicht wichtig. --I217 08:34, 8. Dez. 2011 (CET)Beantworten

In Literatur wird normalerweise die Forderung d(x,y)>=0 bzw. formuliert. Da das die gängige Formulierung ist, sollte sie so auch in der Definition stehen. (Was sie aktuell ja auch tut.) Allerdings ist das Axiomensystem so nicht minimal gewählt und wie du schon richtig erkannt hast, ist die Nicht-Negativität redundant. Daher halte ich es für wichtig, darauf hinzuweisen, dass die Nicht-Negativität redundant ist und man auch auf sie verzichten könnte, ohne die Eigenschaften der Metrik-Definition zu ändern. --Eulenspiegel1 11:04, 9. Dez. 2011 (CET)Beantworten

Du schreibst "Daher", gibst aber in Wirklichkeit keinen Grund an. Wichtig für was oder wen? --I217 11:32, 9. Dez. 2011 (CET)Beantworten

Wichtig für den Leser des Artikels. Wichtig für die Personen, die überprüfen wollen, ob eine gegebene Funktion nun eine Metrik ist oder nicht. Wichtig für diejenigen, die woanders mal eine Metrik-Definition gelesen haben und nun unsicher sind, ob diese beiden Definitionen äquivalent sind oder nicht. --Eulenspiegel1 11:47, 9. Dez. 2011 (CET)Beantworten

Überprüfen der Nichtnegativität ist nicht das Problem. Für das letzte Argument ist die Frage: ist die verkürzte Definition üblich ("nicht nur von einem Professor und dessen drei Assistenten")? --I217 12:04, 9. Dez. 2011 (CET)Beantworten

Das ist vielleicht kein Problem, aber man erspart sich dennoch einen Arbeitsschritt. Und ja, zum Beispiel definiert der Forster (Analysis 2) gleich auf Seite 1 im Kapitel "Topologie metrischer Räume" die Metrik ohne diese Zusatzbedingung. Und der Forster ist an einigen Unis Standardlektüre. --Eulenspiegel1 12:27, 9. Dez. 2011 (CET)Beantworten

Triviale Arbeitsschritte darf man ab dem zweiten Semester weglassen. Ich habe den Hinweis wieder eingefügt. Die Rechnung habe ich weggelassen, sie lenkt nur ab, und für sie hast du auch keine Argumente vorgebracht. --I217 12:53, 9. Dez. 2011 (CET)Beantworten