Inverse Normalverteilung

Die inverse Normalverteilung (auch inverse Gauß-Verteilung oder Wald-Verteilung genannt) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird in verallgemeinerten linearen Modellen verwendet. Bei der Untersuchung der Brownschen Molekularbewegung mit Drift und Streuungskoeffizient ist die zufällige Zeit des ersten Erreichens des Niveaus invers normalverteilt mit den Parametern . Die inverse Normalverteilung gehört zur Exponentialfamilie.

Definition

Dichtefunktionen verschiedener inverser Gaußverteilungen

Eine stetige Zufallsvariable genügt der inversen Normalverteilung mit den Parametern (Ereignisrate) und (Erwartungswert), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt.

Eigenschaften

Erwartungswert

Die inverse Normalverteilung besitzt den Erwartungswert

.

Varianz

Die Varianz ergibt sich analog zu

.

Standardabweichung

Daraus erhält man für die Standardabweichung

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

.

Wölbung (Kurtosis)

Die Wölbung ergibt sich zu

.

Die Exzess-Kurtosis ist

.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der inversen Normalverteilung ist

.

Reproduzierbarkeit

Sind Zufallsvariable mit inverser Normalverteilung mit den Parametern und , dann ist die Größe wieder eine Zufallsvariable mit einer inversen Normalverteilung, aber mit den Parametern und .