In der Statistik ist eine Lage-Skalen-Familie^[1] bzw. Lage- und Skalenfamilie^[2] eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen parametrisiert durch einen Lageparameter und einen nichtnegativen Skalenparameter.

Sei eine reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion , und für und sei^[1]

.

Die auf diese Art entstehende Familie von Verteilungen heißt eine von induzierte Lage-Skalen-Familie mit Lageparameter und Skalenparameter . Für spricht man von einer (reinen) Skalenfamilie. Für spricht man von einer Lagefamilie mit dem Lageparameter .

Die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen kann durch die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen ausgedrückt werden. Es gilt

da

Die durch erzeugte Lage-Skalen-Familie mit dem Lageparameter und dem Skalenparamater kann damit durch die zweiparametrige Menge von Verteilungsfunktionen

charakterisiert werden.

Ist auf stetig und streng monoton, dann ist auch die Verteilungsfunktion von auf stetig und streng monoton und es gilt:^[1]

.

Im Fall einer reinen Skalenfamilie gilt

.

• Die Normalverteilungen bilden eine Lage-Skalen-Familie mit dem Lageparameter und dem Skalenparamater . Die zugehörige Menge der Verteilungsfunktionen ist

,

wobei die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet. Dabei ist zugleich der Erwartungswert und ist zugleich die Standardabweichung von .

• Die Exponentialverteilungen mit den Verteilungsfunktionen

für bilden eine Skalen-Familie mit dem Skalenparameter . Dabei ist zugleich die Standardabweichung von .

• Aus der Standard-Cauchyverteilung mit der Verteilungsfunktion

.

kann die Lage-Skalen-Familie gebildet werden, indem ausgehend von die Verteilungen von für und gebildet werden. Die Verteilungsfunktion von ist

.

Für die Cauchyverteilungen sind weder Erwartungswert noch Varianz definiert, so dass der Lageparameter und der Skalenparameter bei dieser Lage-Skalen-Familie nicht als Erwartungswert und Standardabweichung interpretiert werden dürfen.

• Torsten Becker, Richard Herrmann, Viktor Sandor, Dominik Schäfer, Ulrich Wendisch: Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden – Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch für Aktuare. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-49406-6, Kap. 12.1: Lage-Skalen-Familien, doi:10.1007/978-3-662-49407-3. 

1. ↑ ^{a b c} Torsten Becker et al., S. 357.
2. ↑ location-scale family. Glossary of statistical terms. In: International Statistical Institute. 1. Juni 2011, abgerufen am 19. Mai 2020 (englisch).