„Coxeter-Gruppe“ – Versionsunterschied
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Version vom 25. Juli 2022, 15:43 Uhr
In der Mathematik sind Coxeter-Gruppen eine formale Beschreibung und Verallgemeinerung von Spiegelungsgruppen.
Coxeter-Gruppen werden abstrakt definiert als Gruppen mit einer Präsentierung
mit und für . Für soll unendliche Ordnung haben.
Das Paar (W,S) mit wird als Coxeter-System bezeichnet.
Coxeter bewies 1934, dass jede Spiegelungsgruppe eine Coxeter-Gruppe ist, und ein Jahr später, dass jede endliche Coxeter-Gruppe eine Spiegelungsgruppe ist. Weiter klassifizierte er endliche Coxeter-Gruppen durch ihre Coxeter-Diagramme. Diese sind Graphen mit einem Knoten für jeden Erzeuger , Kanten zwischen den und verbindenden Knoten genau für und einer Markierung der Kante durch für . Die rechts abgebildete Grafik zeigt alle Coxeter-Diagramme, wobei und jeweils für jedes einem Coxeter-Diagramm entsprechen. Jedes dieser Diagramme entspricht einer endlichen Spiegelungsgruppe.
Literatur
- Coxeter, HSM: Discrete groups generated by reflections, Annals of Mathematics, 35 (3): 588–621, 1934.
- Coxeter, HSM: The complete enumeration of finite groups of the form , J. London Math. Soc., 1, 10 (1): 21–25, 1935.
