Lie-Ableitung
Lie-Ableitung für Funktionen und Vektorfelder
Definition der Lie-Ableitung für Funktionen
Seien eine -Mannigfaltigkeit, eine glatte Funktion und ein glattes Vektorfeld. Die Lie-Ableitung der Funktion f in einem Punkt ist die Ableitung von entlang .
In lokalen Koordinaten bedeutet das:
mit
Betrachten wir dazu in lokalen Koordinaten eine Basis des dualen Kotangentialbündels , erhalten wir zu eine 1-Form im Kotangentialbündel mit:
Vergleich mit der ursprünglichen Definition liefert in lokalen Koordinaten:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f(p)=df(p)\,[X(p)]=\sum _{a\in A}X^{a}{\frac {\partial f}{\partial x^{a}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcba33ed345a17970277823ee82b6f1d1a300584)
bzw. global:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=df\,[X].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dfa1d359d0926156e3a1248970d32c122c42d0f)
Lie-Ableitung von Vektorfeldern
Seien zwei glatte Vektorfelder über einer glatten Mannigfaltigkeit . In lokalen Koordinaten erhalten wir:
- bzw.
- .
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af17ef64b6fa6093e1fb097a39df26d067c2cb5a)
Offensichtlich ist
![{\displaystyle [X,Y]:=\sum _{a\in A}\left(\sum _{b\in A}X^{b}{\frac {\partial Y^{a}}{\partial x^{b}}}-\sum _{b\in A}Y^{b}{\frac {\partial X^{a}}{\partial x^{b}}}\right){\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65fc74798602f9efd4d350d9e9e3f40693e7eb86)
wieder ein glattes Vektorfeld über .
- .
Eigenschaften
Die Menge alle glatten Funktionen ist bzgl. der punktweisen Multiplikation eine Algebra. Die Lie-Ableitung ist eine Abbildung:
mit den folgenden Eigenschaften:
- ist -linear
Man nennt so eine Abbildung auch eine Derivation.
Bezeichnen wir mit die Menge aller glatten Vektorfelder über , dann ist die Lie-Ableitung ist auch eine Derivation auf
Ferner gilt die Jacobi-Identität:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ce151ef322e8727038ae45f7707ab407ba60b01)
Wir halten fest: bildet eine Lie-Algebra.
Definition der Lie-Ableitung auf Differentialformen
Gegeben seinen
- eine glatte Mannigfaltigkeit M,
- ein glatter Schnitt im Tangentialbündel, also ein glattes Vektorfeld und
- eine k+1-Form
Durch Evaluation kann man eine Art inneres Produkt zwischen X und definieren:
also eine Abbildung:
Eigenschaften der Lie-Ableitung
- ist R-linear
- für beliebiges gilt
- Sei eine beliebige Differentialform über M und
Weiter oben hatten wir die Lie-Ableitung bzgl. eines Vektorfeldes X für Funktionen über M definiert:
Für echte Differentialformen ist die Lie-Ableitung bzgl. eines Vektorfeldes X wie folgt definiert:
- .
Eigenschaften:
![{\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha :={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65dc5117a4e5efcb8122cc7ccf43221086ae68db)
![{\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},i_{Y}]\alpha =[i_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =i_{[X,Y]}\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a91a3808b40a3a6a8e0ee7adf0c78c41c6443ef)
