Witt-Algebra
Die Witt-Algebra wird in der Mathematik untersucht, es handelt sich um eine spezielle Lie-Algebra. Sie findet Verwendung in der mathematischen Physik, wie in der Stringtheorie und konformen Feldtheorie. Namensgeber ist der deutsche Mathematiker Ernst Witt.
Definition
Sei mit als ganzzahligem Index eine Basis eines Vektorraumes. Die durch die Kommutatorrelation
![{\displaystyle [L_{j},L_{k}]:=(j-k)\cdot L_{j+k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a6d4cff11a4e8009798b38a059b80b50ea466bc)
definierte Lie-Algebra heißt Witt-Algebra. Man erhält solche Algebren als Derivationen-Algebra über dem Ring der Laurent-Polynome.
Realisierung durch Vektorfelder
In den meisten Anwendungen betrachtet man Derivationen über . Man kann die Witt-Algebra wie folgt durch komplexwertige Vektorfelder realisieren:
sl(2,K) als Unteralgebra
Aus obigen Kommutatorrelationen ergibt sich sofort, dass für die von erzeugte Unter-Lie-Algebra gleich ist. Diese drei-dimensionale Unter-Lie-Algebra ist isomorph zur sl(2,K).
Zentrale Erweiterung
Wenn man die Witt-Algebra durch den Kozykel
zentral erweitert, so erhält man die Virasoro-Algebra.
Quellen
Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5
