Randwertproblem
Als Randwertproblem (RWP) (oder manchmal auch als Randwertaufgabe (RWA)) bezeichnet man in der Mathematik Problemstellungen, in denen die Lösung(en) zu einer vorgegebenen Differentialgleichung (DGL) gesucht werden, die auf ihrem Rand vorgegebenene Funktionswerte annehmen soll(en).
Beispiele/Definitionen
Gesucht sind jeweils Lösungen (bzw. im mehrdimensionalen Fall)
![{\displaystyle u:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b1adfc6a7bb44f6be1562e2c6f4ad96f41a3669)
![{\displaystyle u:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281f3ed6290255eec10b7430893dd6fa0921e7bd)
nichtlinearer Fall
Im Eindimensionalen, falls also , ist ein nichtlineares RWP gegeben durch
![{\displaystyle f:[a,b]\times \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b2a955a8948ac28b5826d10143d76258120efa0)
Der mehrdimensionale nichtlineare Fall ist gegeben, falls gilt.
Hinreichende Bedingungen zur Existenz von Lösungen von liefern z.b. die Sätze von Scorza-Dragoni, Nagumo oder Perov.
![{\displaystyle f:[a,b]\times \mathbb {R} ^{2n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b8bae14a7a08e79878bedbb116d19cda4958d96)
Sturm-Liouville-RWP
Seien
sei ein selbstadjungierter linearer Differentialoperator 2. Ordnung
Randoperatoren mit seien
![{\displaystyle r,p,q\in {\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10cb301f75364055206391cd2b9183da3875638a)
heißt Sturm-Liouville-RWP.
Sturm-Liouville-EWP (Eigenwertproblem)
Diejenigen , für die nicht eindeutig lösbar ist, heißen Eigenwerte. Die zugehörigen Lösungen heißen Eigenfunktionen.
Sei offen und beschränkt, sei eine auf Lebesgue-messbare Funktion, beschreibe die Randvorgaben. Gesucht sind jeweils Lösungen .
Hilfsmittel
In der reinen Mathematik, die sich vor allem mit der Lösbarkeit (jedoch weniger mit den eigentlichen Lösungen) von RWP befasst, werden oft die Prüfertransformation, die Greensche Funktion und die Schießmethode verwendet.
In der Numerik, also der angewandten Mathematik, werden dagegen vor allem solche RWP betrachtet, deren rein theoretische Betrachtung zu viel Zeit kosten würde (da sie zu kompliziert sind). Als Hilfsmittel werden z.B. FDM (finite difference method), FEM (finite element method) eingesetzt.
naturwissenschaftliche Anwendung
Es bauen wohl die meisten naturwissenschaftlichen Modelle auf (Systemen von (partiellen)) Differentialgleichungen auf.
Typische einfache Beispiele für RWP sind
- schwingende Saite, die an ihren beiden Enden(=Rand) fest eingespannt ist
- schwingende Membran (der Rand ist hier ein Kreisring)
Quellen
- G. Herzog, Uni Karlsruhe (TH), Vorlesung Randwertprobleme, 2004
