Satz von Kirszbraun
In der Mathematik ist der Satz von Kirszbraun (auch: Fortsetzungssatz von Kirszbraun oder Satz von Kirszbraun-Valentine) ein Lehrsatz über die Fortsetzbarkeit Lipschitz-stetiger Abbildungen, er ist nach dem polnischen Mathematiker Mojżesz Dawid Kirszbraun benannt.
Satz
Sei
eine auf einer Teilmenge definierte Lipschitz-stetige Abbildung mit Lipschitz-Konstante , dann gibt es eine Lipschitz-stetige Abbildung
mit derselben Lipschitz-Konstante
und mit
Beispiel
Für kann man explizit definieren durch
für alle .
Dieselbe Formel funktioniert auch für Teilmengen beliebiger metrischer Räume und ist in diesem Kontext als Lemma von McShane bekannt.
Für kennt man keine solche geschlossene Formel.
Verallgemeinerungen
Der Satz von Kirszbraun gilt auch für Hilberträume, aber nicht für beliebige Banachräume.
Seien Hilberträume und eine auf einer Teilmenge definierte Lipschitz-stetige Abbildung, dann gibt es eine Lipschitz-stetige Abbildung mit derselben Lipschitz-Konstanten und mit
Literatur
- M. Kirszbraun: Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. Fund. Math. 22 (1935), 77–108. online (PDF; 2,1 MB)
- F. Valentine: A Lipschitz condition preserving extension for a vector function. Amer. J. Math. 67 (1945), 83–93. online (pdf)
Weblinks
- Fremlin: Kirszbraun's Theorem
- Kirszbraun Theorem (Encyclopedia of Mathematics)
