Die lokale Hölderstetigkeit ist ein Konzept der Mathematik, das die Hölderstetigkeit und damit auch die Lipschitzstetigkeit verallgemeinert. Sie ist nach Otto Hölder benannt und findet beispielsweise in der Wahrscheinlichkeitstheorie bei der Formulierung des Satzes von Kolmogorow-Tschenzow Verwendung. Dieser liefert Kriterien, wann Modifikationen eines stochastischen Prozesses existieren, die lokal hölderstetig sind.

Definition

Gegeben seien zwei metrische Räume und . Eine Abbildung

heißt lokal hölderstetig der Ordnung γ oder kurz lokal hölder-γ-stetig, wenn zu jedem ein echt positives und eine echt positive Zahl existiert, so dass für alle mit und die Ungleichung

gilt.

Beispiele

• Jede lipschitzstetige Funktion mit Lipschitzkonstante ist lokal hölderstetig mit Exponent und
• Jede hölderstetige Abbildung mit Konstante und Exponent ist auch lokal hölderstetig mit Konstante und Exponent .

Eigenschaften

• Ist eine reellwertige Funktion einer reellen Variable und lokal hölderstetig mit Exponent , so ist auch lokal hölderstetig für jeden Exponenten mit .
• Ist der Definitionsbereich von kompakt, so folgt aus der lokalen Hölderstetigkeit die Hölderstetigkeit. Im Allgemeinen ist dieser Schluss aber falsch.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 468–469, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.