Bereits früh in seiner Jugend wurde Barclays Talent deutlich. Bei seiner ersten Teilnahme an einem Grand-Slam-Turnier – im Mai 1960 bei den French Open – war er erst 17 Jahre alt. Darüber hinaus gewann er 1962 in Mailand mit der Trofeo Bonfiglio ein prestigeträchtiges Nachwuchsturnier.
Weitaus größere Erfolge feierte Barclay im Doppel sowie im Mixed. Im Juli 1963 erreichte er an der Seite seines Landsmannes Pierre Darmon das Finale von Wimbledon, wo sie gegen das mexikanische Duo Antonio Palafox / Rafael Osuna unterlagen. Es folgten mit wechselnden Partnern 1969 Finalteilnahmen in Bournemouth und Hamburg sowie 1971 der Sieg in Hilversum. Zusammen mit Françoise Dürr stieß er zwischen 1968 und 1973 sechsmal in Folge in das Mixed-Finale der French Open vor – 1968, 1971 und 1973 konnten sie den Titel gewinnen. Dabei setzen sie sich unter anderem gegen hochkarätige Spieler wie Ilie Năstase, Billie Jean King, Virginia Wade und Bob Hewitt durch. Dürr war Barclays langjährigste Partnerin. Beide spielten, mit Unterbrechungen, 15 Jahre lang zusammen und erreichten 1980 noch einmal das Viertelfinale der French Open.
Barclays gute Leistungen führten dazu, dass er zu Beginn seiner Karriere 1962 und 1963 vom Mannschaftskapitän Benny Berthet für das französische Davis-Cup-Team nominiert wurde. Beide Male kam das Team allerdings nicht über die Kontinentalgruppe hinaus. Barclay bestritt insgesamt sieben Spiele im Davis Cup, von denen er drei gewinnen konnte.