Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter dem Gruppenexponenten einer Gruppe die kleinste natürliche Zahl , für die (Potenz eines Gruppenelements) für alle Gruppenelemente gilt.^[1] Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, habe Exponent (sie muss dann auch unendliche Ordnung haben).

• Nach dem Satz von Lagrange ist der Gruppenexponent für eine endliche Gruppe ein Teiler der Gruppenordnung und somit insbesondere endlich.
• In einer zyklischen Gruppe stimmt der Gruppenexponent mit der Gruppenordnung überein.
• Die Gruppenordnung stimmt genau dann mit dem Gruppenexponenten überein, wenn alle Sylowgruppen der Gruppe zyklisch sind.^[2]
• Der Gruppenexponent ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Ordnung aller Gruppenelemente.
• Der Gruppenexponent einer Untergruppe ist ein Teiler des Exponenten der ganzen Gruppe.

• Für die primen Restklassengruppen erhält man den Gruppenexponenten durch die Carmichael-Funktion.
• Der Gruppenexponent von mit einer Primzahl ist gleich der Gruppenordnung .
• Der Gruppenexponent von ist 2 (vergleiche: Die Gruppenordnung ist 4).
• Der Körper mit Elementen, aufgefasst als additive Gruppe, hat Gruppenordnung und Gruppenexponent (vergleiche Charakteristik eines Körpers).
• Unendliche Gruppen mit endlichem Exponenten sind bspw. der Polynomring und der algebraische Abschluss von , jeweils (wegen der Primzahlcharakteristik ) in der additiven Verknüpfung.
• Jedes Element der (unendlichen) Torsionsgruppe hat die endliche Ordnung , wenn gilt und zu teilerfremd ist. Da die Elementordnungen aber nicht beschränkt sind, ist .

• Torsion (Algebra)

1. ↑ Wikiversity. Abgerufen am 13. August 2012.
2. ↑ matheplanet.com: Beitrag No. 7 von Gockel. Abgerufen am 13. August 2012.