Baur wurde 1986 Tennisprofi. Im Jahr darauf gewann er in Fürth sein erstes Challenger-Turnier. 1988 gewann er in Båstad an der Seite von Udo Riglewski seinen ersten Doppeltitel auf der ATP World Tour durch einen Finalsieg über Stefan Edberg und Niclas Kroon. Zudem errang er den Einzeltitel beim Challenger-Turnier von Martinique, gewann mit Udo Riglewski den Doppeltitel des Challenger-Turniers von Valkenswaard und stand zusammen mit Alexander Mronz im Finale des ATP-Turniers von Tel Aviv. Im Jahr darauf konnte er den Doppeltitel von Tel Aviv gewinnen, diesmal zusammen mit Jeremy Bates. Sein zweiter war zugleich sein letzter Doppeltitel auf der ATP World Tour. Einen weiteren Einzeltitel auf der Challenger-Tour errang er im selben Jahr in Manchester.