Binomische Reihe

Die binomische Reihe oder Binomialreihe ist eine Potenzreihe der Form

\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}=1+\alpha \,x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{2\cdot 3}}x^{3}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)(\alpha -3)}{2\cdot 3\cdot 4}}x^{4}+\dotsb \

,

wobei $\alpha \in \mathbb {C}$ . Ihre Koeffizienten ${\tbinom {\alpha }{k}}$ sind die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten der Analysis.^[1]

Man erhält die binomische Reihe als (formale) Taylorentwicklung der Funktion $f(x)=(1+x)^{\alpha }$ mit Entwicklungspunkt $x_{0}=0$ .

Konvergenz

Das Konvergenzverhalten der binomischen Reihe hängt vom Exponenten $\alpha$ und den Werten für $x$ ab.

Natürliche Exponenten

Ist $\alpha$ eine natürliche Zahl, so bricht die Reihe nach dem Glied mit $k=\alpha$ ab, da ${\tbinom {\alpha }{k}}=0$ für alle $k>\alpha$ gilt. Somit handelt es sich dann um ein (endliches) Polynom. Für jedes $x$ gilt dem binomischen Lehrsatz zufolge

\sum _{k=0}^{\alpha }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}=(x+1)^{\alpha }

.

Nicht-natürliche Exponenten

Falls $\alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N}$ , so handelt es sich um eine „echte“ (d. h. unendliche) Reihe. Die binomische Reihe konvergiert dann für alle $x$ mit $|x|<1$ gegen die Funktion, aus der sie entwickelt wurde:^[1]

\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}=(1+x)^{\alpha }

.

Verhalten auf dem Rand des Konvergenzkreises

Ist $|x|=1$ und $\alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N}$ , so gilt:

Die Reihe $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}$ konvergiert genau dann absolut, wenn $\operatorname {Re} (\alpha )>0$ oder $\alpha =0$ ist ( $\operatorname {Re} (\alpha )$ bezeichnet den Realteil von $\alpha$ ).
Für alle $x\neq -1$ auf dem Rand konvergiert die Reihe genau dann, wenn $\operatorname {Re} (\alpha )>-1$ ist.
Für $x=-1$ konvergiert die Reihe genau dann, wenn $\operatorname {Re} (\alpha )>0$ oder $\alpha =0$ ist.

Verallgemeinerung

Etwas allgemeiner kann man für $a>0$ die folgende Reihe betrachten:

\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}a^{\alpha -k}

Diese konvergiert für $|{\tfrac {x}{a}}|<1$ und entspricht dann der Funktion $f(x)=(a+x)^{\alpha }$ .^[2]

Dieses Ergebnis erhält man, indem man das Binom $(a+x)$ schreibt als $(a+x)=a(1+x/a)$ und darauf die obige Formel anwendet.

Geschichte

Vermutlich wurde die Binomialreihe für ganze positive Elemente, d. h. eine Reihenformel für Zahlen der Form $(a+b)^{n}$ bereits vom persischen Mathematiker Omar Chayyām (1048–1131) entdeckt. Einige Mathematiker vermuten, dass sie aufgrund seiner Kenntnis der Berechnung von Binomialkoeffizienten auch dem chinesischen Mathematiker Zhu Shijie (1260–1320) bekannt war.^[3]

Isaac Newton entdeckte im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl $\alpha$ und alle reellen $x$ im Intervall $\left]-1,1\right[$ das Binom $(1+x)^{\alpha }$ darstellt, lieferte jedoch nie einen Beweis für diese Aussage. Für ihn gab es genug numerische und experimentelle Evidenz, um von ihrer Richtigkeit überzeugt zu sein.^[4] Niels Henrik Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe $\alpha ,x\in \mathbb {C}$ . Er bewies, dass sie den Konvergenzradius 1 besitzt, falls $\alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N}$ gilt.^[3]

Spezialfälle

Geometrische Reihe

Für $\alpha =-1$ erhält man

{\frac {1}{1+x}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-1}{k}}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{k}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}\pm \dotsb \,

.

Ersetzt man noch $x$ durch $-x$ , so folgt hieraus die bekannte Darstellung der geometrischen Reihe:

{\frac {1}{1-x}}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+\dotsb \,

.

Reihenentwicklungen für Wurzelausdrücke

Für $\alpha =1/2$ erhält man

{\sqrt {1+x}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {1/2}{k}}x^{k}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{2\cdot 4}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}\pm \dotsb

.

Diese Formel wurde schon von Henry Briggs bei der Berechnung seiner Logarithmen entdeckt.^[4] Hiermit eng verwandt ist die Formel, die man für $\alpha =-1/2$ erhält:

{\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {-1/2}{k}}x^{k}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}+\dotsb

.

Literatur

Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 12. Aufl., Springer, Wiesbaden 2016, ISBN 3-528-67224-2, S. 293–300.
Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1. 4. Aufl., Springer, Berlin / Heidelberg 1971, ISBN 3-540-05466-9, S. 298–306.

Einzelnachweise

↑ ^a ^b Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I. 3. Auflage. Birkhäuser, 2006, ISBN 3-7643-7755-0, S. 401–402.
↑ Eric W. Weisstein: Binomial Series. In: MathWorld (englisch).
↑ ^a ^b J. L. Coolidge: The Story of the Binomial Theorem. In: The American Mathematical Monthly, März 1949, Band 56, Nr. 3, S. 147–157 (JSTOR)
↑ ^a ^b Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48917-8, S. 310.

[Amann2006-1] Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I. 3. Auflage. Birkhäuser, 2006, ISBN 3-7643-7755-0, S. 401–402.

[weisstein-2] Eric W. Weisstein: Binomial Series. In: MathWorld (englisch).

[JLC-3] J. L. Coolidge: The Story of the Binomial Theorem. In: The American Mathematical Monthly, März 1949, Band 56, Nr. 3, S. 147–157 (JSTOR)

[Sonar2016-4] Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48917-8, S. 310.

[1]

[2]

[3]

[4]

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