Lambert-Reihe

In der Mathematik ist eine Lambert-Reihe eine spezielle Reihe. Benannt ist sie nach Johann Heinrich Lambert.

Definition

Die Lambert-Reihe ist eine Reihe mit dieser Form:

Die Lambertsche L-Funktion bilden den Spezialfall dieser Reihe mit für alle Werte n:

Eigenschaften

Konvergenz

Für konvergiert die Lambert-Reihe nicht. Für konvergiert sie stets dann, wenn die Reihe konvergiert. Konvergiert nicht, dann konvergiert die Lambert-Reihe für alle , für die die Potenzreihe konvergiert (Satz von Konrad Knopp).

Lambert-Reihe als Potenzreihe

Die Lambert-Reihe kann für in eine geometrische Reihe

entwickelt werden, wobei sich die Koeffizienten der neuen Reihe durch Dirichlet-Faltung von mit der konstanten Folge ergeben:

Alternative Form

Setzt man , so erhält man eine andere übliche Form der Reihe

wieder mit

Beispiele der Lambert-Reihe in dieser Form, mit , treten in Ausdrücken der Riemannschen Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen auf.

Anwendung

Einige unendliche Summen können durch die Lambertsche L-Funktion dargestellt werden.[1][2]

Unendliche Summe geradstelliger Fibonacci-Zahlen (mit dem griechischen Buchstaben Phi wird die Goldene Zahl dargestellt):

Unendliche Summe der Kehrwerte geradstelliger Pell-Zahlen:

Darstellung der Erdős-Borwein-Konstante mit der Lambertschen L-Funktion:

Unendliche Summe der Kehrwerte der Nachfolger der Zweierpotenzen:

Siehe auch

Literatur

Einzelnachweise

  1. Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM. In: wayback.cecm.sfu.ca. Abgerufen am 12. Mai 2023.
  2. Eric W. Weisstein: Erdős-Borwein Constant. In: MathWorld (englisch).