Johnson-Körper

Die Johnson-Körper sind eine Klasse geometrischer Körper.

Eigenschaften

Johnson-Körper sind streng konvexe Polyeder, die ausschließlich aus regelmäßigen Vielecken aufgebaut sind, aber weder platonische Körper, archimedische Körper, Prismen noch Antiprismen sind. Gemeinsam mit den catalanischen Körpern ist, dass die Ecken eines Johnson-Körpers nicht identisch sind. Eine Besonderheit unter den Johnson-Körpern ist das Pseudo-Rhombenkuboktaeder (J37), dessen Ecken zwar lokal uniform sind, aber nicht global.

1966 veröffentlichte Norman Johnson eine Liste von 92 derartigen Polyedern; seine Annahme, dass sie vollständig ist,[1] wurde 1969 von Wictor Salgaller bewiesen.[2]

Liste

Johnson-Körper werden oft mit bezeichnet, wobei die Nummer des Körpers in der folgenden Liste ist. Beispielsweise ist die Dreieckskuppel .

In der folgenden Liste ist die Anzahl der Ecken, die Anzahl der Kanten, die Anzahl der -eckigen Flächen und die Anzahl aller Flächen des jeweiligen Körpers.

Pyramiden, Kuppeln und Rotunden

Jn Körper Abbildung Netz Typ E K F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symmetrie
01 Quadratpyramide Pyramide 5 8 5 4 1 0 0 0 0 C4v
02 Fünfeckpyramide 6 10 6 5 0 1 0 0 0 C5v
03 Dreieckskuppel Kuppel 9 15 8 4 3 0 1 0 0 C3v
04 Quadratkuppel 12 20 10 4 5 0 0 1 0 C4v
05 Fünfeckskuppel 15 25 12 5 5 1 0 0 1 C5v
06 Fünfecksrotunde, ein in der Mitte geteiltes Ikosidodekaeder Rotunde 20 35 17 10 0 6 0 0 1 C5v

Modifizierte Pyramiden

Jn Name Abbildung Netz Typ E K F F3 F4 F5 Symmetrie
07 verlängerte Dreieckpyramide verlängerte Pyramide 7 12 7 4 3 0 C3v
08 verlängerte Quadratpyramide
(gleichzeitig erweitertes Hexaeder
bzw. Quadratprisma)
9 16 9 4 5 0 C4v
09 verlängerte Fünfeckpyramide 11 20 11 5 5 1 C5v
10 verdreht verlängerte Quadratpyramide verdreht verlängerte
Pyramide
9 20 13 12 1 0 C4v
11 verdreht verlängerte Fünfeckpyramide
(beschnittenes Ikosaeder)
11 25 16 15 0 1 C5v
12 Dreiecksbipyramide Bipyramide 5 9 6 6 0 0 D3h
13 Fünfecksbipyramide 7 15 10 10 0 0 D5h
14 verlängerte Dreiecksbipyramide verlängerte Bipyramide 8 15 9 6 3 0 D3h
15 verlängerte Quadratbipyramide
(gleichzeitig zweifach erweitertes
Hexaeder bzw. Quadratprisma)
10 20 12 8 4 0 D4h
16 verlängerte Fünfecksbipyramide 12 25 15 10 5 0 D5h
17 verdreht verlängerte Quadratbipyramide verdreht verlängerte
Bipyramide
10 24 16 16 0 0 D4d

Modifizierte Kuppeln und Rotunden

Jn Körper Abbildung Netz Typ E K F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symmetrie
18 verlängerte Dreieckskuppel verlängerte Kuppel 15 27 14 4 9 0 1 0 0 C3v
19 verlängerte Quadratkuppel

(Beschnittenes kleines Rhombenkuboktaeder)

20 36 18 4 13 0 0 1 0 C4v
20 verlängerte Fünfeckskuppel 25 45 22 5 15 1 0 0 1 C5v
21 verlängerte Fünfecksrotunde verlängerte Rotunde 30 55 27 10 10 6 0 0 1 C5v
22 verdreht verlängerte Dreieckskuppel verdreht verlängerte

Kuppel

15 33 20 16 3 0 1 0 0 C3v
23 verdreht verlängerte Quadratkuppel 20 44 26 20 5 0 0 1 0 C4v
24 verdreht verlängerte Fünfeckskuppel 25 55 32 25 5 1 0 0 1 C5v
25 verdreht verlängerte Fünfecksrotunde verdreht verlängerte

Rotunde

30 65 37 30 0 6 0 0 1 C5v
26 verdrehter Doppelkeil Doppelkuppel 8 14 8 4 4 0 0 0 0 D2d
27 Dreiecksdoppelkuppel

(verdrehtes Kuboktaeder, Disheptaeder)

12 24 14 8 6 0 0 0 0 D3h
28 Quadratdoppelkuppel 16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4h
29 verdrehte Quadratdoppelkuppel 16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4d
30 Fünfecksdoppelkuppel 20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5h
31 verdrehte Fünfecksdoppelkuppel 20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5d
32 Fünfeckskuppelrotunde Kuppelrotunde 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v
33 verdrehte Fünfeckskuppelrotunde 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v
34 Fünfecksdoppelrotunde

(verdrehtes Ikosidodekaeder)

Doppelrotunde 30 60 32 20 0 12 0 0 0 D5h
35 verlängerte Dreiecksdoppelkuppel verlängerte

Doppelkuppel

18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3h
36 verlängerte verdrehte Dreiecksdoppelkuppel 18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3d
37 verlängerte verdrehte Quadratsdoppelkuppel

(verdrehtes kleines Rhombenkuboktaeder)

24 48 26 8 18 0 0 0 0 D4d
38 verlängerte Fünfecksdoppelkuppel 30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5h
39 verlängerte verdrehte Fünfecksdoppelkuppel 30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5d
40 verlängerte Fünfeckskuppelrotunde verlängerte

Kuppelrotunde

35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v
41 verlängerte verdrehte Fünfeckskuppelrotunde 35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v
42 verlängerte Fünfecksdoppelrotunde verlängerte

Doppelrotunde

40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5h
43 verlängerte verdrehte Fünfecksdoppelrotunde 40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5d
44 verdreht verlängerte Dreiecksdoppelkuppel verdreht verlängerte

Doppelkuppel

18 42 26 20 6 0 0 0 0 D3
45 verdreht verlängerte Quadratdoppelkuppel 24 56 34 24 10 0 0 0 0 D4
46 verdreht verlängerte Fünfecksdoppelkuppel 30 70 42 30 10 2 0 0 0 D5
47 verdreht verlängerte Fünfeckskuppelrotunde verdreht verlängerte

Kuppelrotunde

35 80 47 35 5 7 0 0 0 C5
48 verdreht verlängerte Fünfecksdoppelrotunde verdreht verlängerte

Doppelrotunde

40 90 52 40 0 12 0 0 0 D5

Erweiterte Prismen

Jn Körper Abbildung Netz E K F F3 F4 F5 F6 Symmetrie
49 erweitertes Dreiecksprisma 7 13 8 6 2 0 0 C2v
50 doppelt erweitertes Dreiecksprisma 8 17 11 10 1 0 0 C2v
51 dreifach erweitertes Dreiecksprisma 9 21 14 14 0 0 0 D3h
52 erweitertes Fünfecksprisma 11 19 10 4 4 2 0 C2v
53 doppelt erweitertes Fünfecksprisma 12 23 13 8 3 2 0 C2v
54 erweitertes Sechsecksprisma 13 22 11 4 5 0 2 C2v
55 doppelt erweitertes Sechsecksprisma (para) 14 26 14 8 4 0 2 D2h
56 doppelt erweitertes Sechsecksprisma (meta) 14 26 14 8 4 0 2 C2v
57 dreifach erweitertes Sechsecksprisma 15 30 17 12 3 0 2 D3h

Modifizierte platonische Körper

Jn Körper Abbildung Netz Typ E K F F3 F4 F5 Symmetrie
58 erweitertes Dodekaeder erweitertes

Dodekaeder

21 35 16 5 0 11 C5v
59 doppelt erweitertes Dodekaeder (para) 22 40 20 10 0 10 D5d
60 doppelt erweitertes Dodekaeder (meta) 22 40 20 10 0 10 C2v
61 dreifach erweitertes Dodekaeder 23 45 24 15 0 9 C3v
62 doppelt beschnittenes Ikosaeder (meta) beschnittenes

Ikosaeder

10 20 12 10 0 2 C2v
63 dreifach beschnittenes Ikosaeder 9 15 8 5 0 3 C3v
64 erweitertes dreifach beschnittenes Ikosaeder - 10 18 10 7 0 3 C3v

Modifizierte archimedische Körper

Jn Körper Abbildung Netz Typ E K F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symmetrie
65 erweitertes

abgestumpftes Tetraeder

erweitertes abgestumpftes

Tetraeder

15 27 14 8 3 0 3 0 0 C3v
66 erweitertes

abgestumpftes Hexaeder

erweitertes abgestumpftes

Hexaeder

28 48 22 12 5 0 0 5 0 C4v
67 doppelt erweitertes

abgestumpftes Hexaeder

32 60 30 16 10 0 0 4 0 D4h
68 erweitertes

abgestumpftes Dodekaeder

erweitertes abgestumpftes

Dodekaeder

65 105 42 25 5 1 0 0 11 C5v
69 doppelt erweitertes

abgestumpftes Dodekaeder (para)

70 120 52 30 10 2 0 0 10 D5d
70 doppelt erweitertes

abgestumpftes Dodekaeder (meta)

70 120 52 30 10 2 0 0 10 C2v
71 dreifach erweitertes

abgestumpftes Dodekaeder

75 135 62 35 15 3 0 0 9 C3v
72 verdrehtes

Rhombenikosidodekaeder

verdrehtes kleines

Rhombenikosidodekaeder

60 120 62 20 30 12 0 0 0 C5v
73 doppelt verdrehtes kleines

Rhombenikosidodekaeder (para)

60 120 62 20 30 12 0 0 0 D5d
74 doppelt verdrehtes kleines

Rhombenikosidodekaeder (meta)

60 120 62 20 30 12 0 0 0 C2v
75 dreifach verdrehtes kleines

Rhombenikosidodekaeder

60 120 62 20 30 12 0 0 0 C3v
76 beschnittenes kleines

Rhombenikosidodekaeder

beschnittenes kleines

Rhombenikosidodekaeder

55 105 52 15 25 11 0 0 1 C5v
77 verdrehtes beschnittenes kleines

Rhombenikosidodekaeder (para)

verdrehtes beschnittenes

kleines Rhombenikosidodekaeder

55 105 52 15 25 11 0 0 1 C5v
78 verdrehtes beschnittenes kleines

Rhombenikosidodekaeder (meta)

55 105 52 15 25 11 0 0 1 Cs
79 doppelt verdrehtes beschnittenes

kleines Rhombenikosidodekaeder

55 105 52 15 25 11 0 0 1 Cs
80 doppelt beschnittenes kleines

Rhombenikosidodekaeder (para)

beschnittenes kleines

Rhombenikosidodekaeder

50 90 42 10 20 10 0 0 2 D5d
81 doppelt beschnittenes kleines

Rhombenikosidodekaeder (meta)

50 90 42 10 20 10 0 0 2 C2v
82 verdrehtes doppelt beschnittenes

kleines Rhombenikosidodekaeder

verdrehtes beschnittenes

kleines Rhombenikosidodekaeder

50 90 42 10 20 10 0 0 2 C2v
83 dreifach beschnittenes kleines

Rhombenikosidodekaeder

beschnittenes kleines

Rhombenikosidodekaeder

45 75 32 5 15 9 0 0 3 C3v

Übrige

Jn Körper Abbildung Netz E K F F3 F4 F5 F6 Symmetrie
84 Trigondodekaeder 8 18 12 12 0 0 0 D2d
85 abgeschrägtes Quadratantiprisma 16 40 26 24 2 0 0 D4d
86 Sphenocorona 10 22 14 12 2 0 0 C2v
87 erweiterte Sphenocorona 11 26 17 16 1 0 0 Cs
88 Sphenomegacorona 12 28 18 16 2 0 0 C2v
89 Hebesphenomegacorona 14 33 21 18 3 0 0 C2v
90 Disphenocingulum 16 38 24 20 4 0 0 D2d
91 Bilunadoppelrotunde 14 26 14 8 2 4 0 D2h
92 Dreieckshebesphenorotunde 18 36 20 13 3 3 1 C3v
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Einzelnachweise

  1. Norman W. Johnson: Convex Solids with Regular Faces. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 18, 1966, ISSN 0008-414X, S. 169–200.
  2. Viktor A. Zalgaller: Convex Polyhedra with Regular Faces (= Seminars in Mathematics. Bd. 2, ISSN 0080-8873). Consultants Bureauvon, New York NY 1969.