Ungleichungen von Weierstraß

Die Ungleichungen von Weierstraß (englisch Weierstrass’ inequalities) gehören zu den elementaren Ungleichungen des mathematischen Gebiets der Analysis. Sie gehen auf den deutschen Mathematiker Karl Weierstraß zurück.^[1]

Die weierstraßschen Ungleichungen führten zu einer Anzahl weiterführender Untersuchungen, welche verbesserte und allgemeinere Ungleichungen ähnlichen Typs lieferten.

Formulierung

Die Ungleichungen lauten folgendermaßen:^[2]

Gegeben seien zu einer natürlichen Zahl $N>0$ im offenen reellen Intervall $(0,1)$ die $N$ reellen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{N}\in (0,1)$ .

Dann gelten:

(W1a)

\quad \prod _{k=1}^{N}{(1-a_{k})}>1-\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}

(W1b)

\quad \prod _{k=1}^{N}{(1-a_{k})}<{\frac {1}{1+\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}}}

(W2a)

\quad \prod _{k=1}^{N}{(1+a_{k})}>1+\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}

(W2b)

\quad \prod _{k=1}^{N}{(1+a_{k})}<{\frac {1}{1-\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}}}

, sofern

\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}<1

Anmerkung

Die obigen Ungleichungen (W1a) und (W2a) beinhalten eine Verallgemeinerung der bernoullischen Ungleichung.^[3]

Literatur

D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686).

Einzelnachweise und Fußnoten

↑ D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 210, S. 396
↑ Mitrinović, op. cit., S. 210
↑ Vgl. Mitrinović, op. cit., S. 35!

[DSM_a-1] D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 210, S. 396

[DSM_b-2] Mitrinović, op. cit., S. 210

[3] Vgl. Mitrinović, op. cit., S. 35!

[1]

[2]

[3]

Deutschland

Ungleichungen von Weierstraß

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