Vjekoslav Kobešćak nahm mit der Kroatischen Nationalmannschaft an den Olympischen Spielen 1996, 2000 und 2004 teil. 1996 gewann er mit der kroatischen Mannschaft in Atlanta die Silbermedaille. Sein Vater Vlado war Präsident des kroatischen Wasserballverbands und sein Bruder Dario ebenfalls Wasserballspieler.
Am 3. Februar 2000 wurde Kobešćak zu einer einjährigen Haftstrafe wegen eines schweren Verkehrsunfalls am 6. November 1993 verurteilt.