Natürliche Einheiten

Als Natürliche Einheiten in der Physik werden Maßeinheiten angesehen, die durch die Werte von Naturkonstanten gegeben sind.

Auch wenn durch die Neudefinition der SI-Einheiten 2019 die Zahlenwerte von Naturkonstanten wie z. B. von ${\textstyle h}$ und ${\textstyle k_{B}}$ ausgedrückt in SI-Einheiten einen exakten Wert bekommen haben, so ist es doch etwas anderes, diese Naturkonstanten selbst als Einheiten zu verwenden. Beispiele der Verwendung von natürlichen Einheiten sind z. B. Aussagen wie: der Drehimpuls des Elektron beträgt ${\textstyle {\frac {1}{2}}\hbar }$ , oder die Ladung eines Sauerstoffkerns beträgt ${\textstyle 8e}$ .

Grundlagen für natürliche Einheiten

Natürliche Einheiten sollen sich zur besonders einfachen Beschreibung von Naturvorgängen eignen. So ist z. B. die Vakuumlichtgeschwindigkeit $c$ die Obergrenze für die Geschwindigkeit, mit der sich physikalische Wirkungen ausbreiten können, und $c^{2}$ ist der Umrechnungsfaktor zwischen Masse und entsprechender Energie. Die Elementarladung $e$ – und abgesehen von einem Faktor ½ auch die Plancksche Konstante $\hbar$ − sind die kleinsten möglichen von Null verschiedenen Werte für Ladung bzw. Drehimpuls.

Als Grundlage können daher dienen:

die Elementarladung: $e$ für die elektrische Ladung
die Vakuumlichtgeschwindigkeit: $c$ für die Geschwindigkeit
das Plancksche Wirkungsquantum: $h$ für den Drehimpuls
die Gravitationskonstante $G$
die Boltzmann-Konstante: $k_{\mathrm {B} }$
die elektrische Feldkonstante: $\varepsilon _{0}$ oder die direkt hiervon abhängige Coulomb-Konstante $k_{\mathrm {C} }$

sowie Eigenschaften wichtiger Teilchen wie:

die Elektronenmasse: $m_{\mathrm {e} }$
die Protonenmasse: $m_{\mathrm {p} }$
die Neutronenmasse: $m_{\mathrm {n} }$

Welche dieser Grundlagen gewählt werden, hängt vom jeweiligen Teilgebiet der Physik ab. Es gibt daher verschiedene Systeme natürlicher Einheiten.

Natürliche Einheitensysteme

Möglichkeiten

Da mehr Naturkonstanten zur Verfügung stehen, als das übliche Einheitensystem Dimensionen hat, können verschiedene Einheitensysteme gebildet werden, die allein auf natürlichen Konstanten beruhen. Zusammengenommen ermöglichen mehrere Naturkonstanten verschiedener Dimension es, natürliche Einheiten für eine Vielzahl physikalischer Größen zu definieren. Diese bilden ein natürliches Einheitensystem.

Vorteile und Nachteile

Die betreffenden Naturkonstanten haben, wenn sie in den entsprechenden natürlichen Einheiten angegeben werden, sämtlich den Zahlenwert 1. Daher treten die Konstanten gar nicht in Erscheinung, wenn in konkreten Berechnungen Zahlenwertgleichungen benutzt werden.

Meist werden die Konstanten zusätzlich als dimensionslos angesetzt, so dass alle Formeln zu Zahlenwertgleichungen werden und erheblich einfacher aussehen. Diesem formalen Vorteil steht der Nachteil gegenüber, dass man auch die Ergebnisse aller Berechnungen zunächst als reine Zahlen erhält. Die richtigen Dimensionen und Einheiten ergeben sich erst durch anschließendes Umrechnen in ein „gewöhnliches“ Einheitensystem. Eine Dimensionsbetrachtung beider Gleichungsseiten zur Fehlerkontrolle ist bei Gleichungen in einem solchen natürlichen Einheitensystem nicht möglich. Auch weichen die Größenordnungen der natürlichen Einheiten meist weit von den im Alltag und in der Technik üblichen ab; deshalb ist die allgemeine Verwendung eines natürlichen Einheitensystems anstelle z. B. des Internationalen Einheitensystems (SI) nie ernsthaft erwogen worden.

Die Definitionen der SI-Maßeinheiten werden jedoch zur Zeit (2019) nach und nach neu auf Naturkonstanten bezogen (siehe Internationales Einheitensystem#Neudefinition der Basiseinheiten 2019).

Planck-Einheiten

Die konsequenteste Umsetzung der natürlichen Einheiten findet sich bei den 1899 von Max Planck vorgeschlagenen Planck-Einheiten. In diesem Einheitensystem werden gesetzt:

die Lichtgeschwindigkeit: $c=1$
das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum: $\hbar =1$ (damit ist $h=2\pi$ )
die Newtonsche Gravitationskonstante: $G=1$
die Boltzmann-Konstante: $k_{\mathrm {B} }=1$
die Coulomb-Konstante: $k_{\mathrm {C} }=1$ (damit ist $\varepsilon _{0}=(4\pi k_{\mathrm {C} })^{-1}=(4\pi )^{-1}$ ).

Dieses Einheitensystem gilt deshalb als fundamental, weil die zugrundegelegten Naturkonstanten die allgemeinsten Zusammenhänge von Raum und Zeit betreffen und für alle Arten von Teilchen und Wechselwirkungen gelten. (Die Konstante $k_{\mathrm {B} }$ wird hier nur für die Anpassung der Temperaturskala an die Energieskala benötigt.)

Mithilfe der Naturgesetze, die die o. g. Konstanten definieren, lassen sich die Planck-Einheiten auch durch folgende Beziehungen einführen:

Während der Zeiteinheit legt Licht im Vakuum eine Längeneinheit zurück. (Naturgesetz: $r=c\cdot t$ )
Die Energieeinheit ist die Quantenenergie einer Schwingung, deren Periode gleich einer Zeiteinheit ist. (Naturgesetz: $E=h/t$ )
Die Einheitsmasse ist die Masse, die einer Energieeinheit äquivalent ist. (Naturgesetz: $E=m\cdot c^{2}$ )
Die Längeneinheit ist derjenige Abstand zweier Körper von je einer Masseneinheit, in dem ihre Gravitationsenergie die Größe einer Energieeinheit hat. (Naturgesetz: $E=G\cdot m^{2}/r$ )

Stoney-Einheiten

Das erste natürliche Einheitensystem wurde 1874 von George Johnstone Stoney vorgeschlagen, nachdem er mit dem Konzept einheitlicher Ladungsträger in den Atomen die letzte dazu nötige Naturkonstante gefunden hatte. In Stoneys Einheitensystem werden gleich 1 gesetzt:

die Elementarladung: $e=1$
die Lichtgeschwindigkeit: $c=1$
die Newtonsche Gravitationskonstante: $G=1$

Zur Definition der Ladung benutzte Stoney das elektrostatische cgs-System, so dass auch die Coulomb-Konstante ${\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}=1$ . Nach Stoney sind die natürlichen Einheiten für Länge, Masse und Zeit daher um den Faktor ${\sqrt {\alpha }}\approx 0{,}085$ kleiner als nach Planck ( $\alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\cdot \hbar c}}\approx {\frac {1}{137}}$ ist die Feinstrukturkonstante).

Die Stoney-Einheiten werden heute praktisch nicht mehr benutzt, sind aber von historischem Interesse.

Teilchenphysik

Einige Teilchenphysik-Einheiten in SI-Einheiten
Größe	geschriebene Einheit	tatsächliche Einheit	Wert in SI-Einheiten
Energie	$1\,\mathrm {eV}$		$1{,}60218\cdot 10^{-19}\$ J
Länge	${\frac {1}{1\,\mathrm {eV} }}$	${\frac {c\hbar }{1\,\mathrm {eV} }}$	$1{,}97327\cdot 10^{-7}\$ m
Zeit	${\frac {1}{1\,\mathrm {eV} }}$	${\frac {\hbar }{1\,\mathrm {eV} }}$	$6{,}58212\cdot 10^{-16}\$ s
Masse	$1\,\mathrm {eV}$	${\frac {1\,\mathrm {eV} }{c^{2}}}$	$1{,}78266\cdot 10^{-36}\$ kg
Temperatur	$1\,\mathrm {eV}$	${\frac {1\,\mathrm {eV} }{k_{\mathrm {B} }}}$	$1{,}16044\cdot 10^{4}\$ K

In der Teilchenphysik (Hochenergiephysik) spielt die Gravitation nur eine untergeordnete Rolle. Daher wird hier die Gravitationskonstante im SI-System belassen. Gleich 1 gesetzt werden lediglich:

die Lichtgeschwindigkeit: $c=1$
das Plancksche Wirkungsquantum: $\hbar =1$
die Boltzmann-Konstante: $k_{\mathrm {B} }=1$
die Elektrische Feldkonstante: $\varepsilon _{0}=1$

Die Einheit der Energie wird dadurch nicht festgelegt; üblicherweise wird hierfür die Einheit Elektronvolt verwendet. Alle anderen Einheiten lassen sich dann durch Potenzen dieser Energieeinheit ausdrücken (vgl. Tabelle). So ist das Elektronvolt zugleich die Einheit der Masse; dadurch wird die Äquivalenz von Masse und Energie besonders deutlich. Zeit und Raum bekommen entsprechend dem Konzept der Raumzeit dieselbe Dimension und die Einheit 1/eV.

Atomare Einheiten

In der Atomphysik ist das System der Atomaren Einheiten gebräuchlich. Hier werden auf 1 gesetzt:

die Elektronenmasse: $m_{\mathrm {e} }=1$
die Elementarladung: $e=1$
das Plancksche Wirkungsquantum: $\hbar =1$
die Coulomb-Konstante: $1/(4\pi \varepsilon _{0})=1$

Relativitätstheorie

In der Allgemeinen Relativitätstheorie werden gleich 1 gesetzt:

die Lichtgeschwindigkeit: $c=1$
die Gravitationskonstante: $G=1$

und in Situationen mit einer dominanten Masse auch oft^[1]^[2]^[3]

die zentrale Masse: $M=1$
die Coulomb-Konstante: $k_{\mathrm {C} }=1$

Quantenchromodynamik

In der Quantenchromodynamik ist das Proton von zentralem Interesse. Hier werden auf 1 gesetzt:

die Lichtgeschwindigkeit: $c=1$
die Protonenmasse: $m_{\mathrm {p} }=1$
das Plancksche Wirkungsquantum: $\hbar =1$
die Boltzmann-Konstante: $k_{\mathrm {B} }=1$

Sonstige Vorschläge

Mit CODATA-2014^[4] wurden vorgeschlagen

eine Liste mit sieben natürlichen Einheiten (n.u.), die teils ungewöhnliche natürliche Größen verwenden: $\hbar /(m_{\mathrm {e} }c)$ für die Länge, $\hbar /(m_{\mathrm {e} }c^{2})$ für die Zeit, $m_{\mathrm {e} }$ für die Masse (Ladung und Temperatur sind nicht aufgeführt),
und eine Liste mit 23 atomaren Einheiten (a.u.), ebenfalls mit teils ungewöhnlichen natürlichen Größen: Bohrscher Radius $a_{0}$ für die Länge, $\hbar /E_{\mathrm {h} }$ für die Zeit ( $E_{\mathrm {h} }$ ist die Hartree-Energie), $m_{\mathrm {e} }$ für die Masse, $e$ für die Ladung (die Temperatur wird nicht aufgeführt).

Literatur

Helmut Hilscher: Elementare Teilchenphysik. Vieweg, 1996, ISBN 3-322-85004-8, S. 6–7.
Peter Pohling: Durchs Universum mit Naturkonstanten. Verlag Books on Demand, Norderstedt 2013, ISBN 978-3-7322-6236-6.
Michael Ruhrländer: Aufstieg zu den Einsteingleichungen. Einführung in die quantitative Allgemeine Relativitätstheorie. Pro Business, Berlin 2014, ISBN 978-3-86386-779-9, S. 578.

Einzelnachweise

↑ Andreas Müller: Lexikon der Astronomie
↑ Steven Fuerst, Kinwah Wu: Radiation Transfer of Emission Lines in Curved Space-Time. S. 4.
↑ Ezra Newman, Tim Adamo (Scholarpedia, 2014): Kerr-Newman metric. doi:10.4249/scholarpedia.31791
↑ Peter J. Mohr, David B. Newell, Barry N. Taylor: CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2014. In: Zenodo. 2015, doi:10.5281/zenodo.22826, arxiv:1507.07956.

[valeria-1] Andreas Müller: Lexikon der Astronomie

[fuerstandwu-2] Steven Fuerst, Kinwah Wu: Radiation Transfer of Emission Lines in Curved Space-Time. S. 4.

[newmanadamo-3] Ezra Newman, Tim Adamo (Scholarpedia, 2014): Kerr-Newman metric. doi:10.4249/scholarpedia.31791

[CODATA2014-4] Peter J. Mohr, David B. Newell, Barry N. Taylor: CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2014. In: Zenodo. 2015, doi:10.5281/zenodo.22826, arxiv:1507.07956.

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[2]

[3]

[4]

Deutschland 1933 und 1945

Natürliche Einheiten

Inhaltsverzeichnis

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