Eine Übertragungsfunktion (auch Systemfunktion oder Frequenzgang genannt) beschreibt das Verhalten eines linearen, zeitinvarianten Systems S, das genau einen Eingang und einen Ausgang besitzt, im Frequenzbereich. Man nennt sie auch RAO (engl: Response Amplification Operator).

Ein System transformiert ein Eingangssignal in ein oder mehrere Ausgangssignale . Man schreibt auch y=S(x) oder, um zu betonen, dass S keine reelle Funktion ist, y=S[x]; und für die einzelnen Werte y(t)=S[x](t). In anderen Worten: ist zwar eine Folge der Ursache , jedoch ist das y zu einem einzelnen Zeitpunkt keine Funktion allein des x zum gleichen Zeitpunkt, sondern hängt auch von der Vorgeschichte ab. Beispiele:

• Unebenheiten der Straßenoberfläche -> Schwingungen eines Autos,
• Spannungsverlauf Eingangsbuchse -> Spannungsverlauf Ausgangsbuchse eines Verstärkers,
• Seegang -> Schwingungen eines Schiffes oder einer Offshore-Plattform,
• elektrisches Signal -> Schwingungen der Membran eines Lautsprechers.

Eingangssignal und Ausgangssignal werden als Überlagerung von je einer Sinus- und Cosinusschwingung für jede von endlich oder unendlich vielen Frequenzen angenommen.

Die Übertragungsfunktion ist dann diejenige komplexwertige Funktion

,

welche, in Abhängigkeit von der Frequenz (oder zweckmäßiger: Kreisfrequenz) , beschreibt, um welchen Faktor das System die Amplitude verändert und um welchen Phasenwinkel es die Phase verschiebt. Für ein reelles System, welches reelle Signale in reelle Signale überführt, ist die Phase der Übertragungsfunktion eine antisymmetrische Funktion der Kreisfrequenz: .

Wenn Eingangssignal und Ausgangssignal im Frequenzbereich vorliegen, d. h. in Form ihrer komplexen Fourierspektren oder Fourierkoeffizienten

dann definiert man als Übertragungsfunktion den Quotienten, also das Verhältnis von Ausgangs-Fourierspektrum zu Eingangs-Fourierspektrum:

In manchen Literaturquellen ist die Übertragungsfunktion allerdings konjugiert komplex hierzu definiert, d. h. es besteht keine Einigkeit darüber, ob ein positiver Phasenwinkel "voreilend" oder "nacheilend" bedeutet.

Während es sich hier um eine Betrachtung im Frequenzbereich handelt, ist mit gewissen Einschränkungen etwas ähnliches auch im Zeitbereich möglich, und zwar genau dann, wenn das Eingangssignal die Ursache und das Ausgangssignal die Wirkung ist. Die entsprechende Funktion im Zeitbereich nennt man Impulsantwortfunktion, diese ist (abgesehen von einem Faktor) die inverse Fouriertransformierte der Übertragungsfunktion. Ob Übertragungsfunktion oder Impulsantwortfunktion genommen wird, richtet sich nach den Anforderungen. Die Impulsantwortfunktion wird anstelle der Übertragungsfunktion verwendet, wenn in Echtzeit transformiert wird und insofern der zukünftige Verlauf des Eingangssignals noch unbekannt ist.

Nach der obengenannten Definition ist die Übertragungsfunktion (abgesehen von einem konstanten Faktor) die Fouriertransformierte der Impulsantwortfunktion. In diesem Sinne wird sie in den Ingenieurwissenschaften verwendet und in der Praxis eingesetzt.

Demgegenüber kennt man in der Systemtheorie als noch allgemeinere Definition die Übertragungsfunktion als Laplace-Transformierte statt nur Fouriertransformierte der Impulsantwortfunktion.

Zur Auslegung von Filtern mit passiven oder aktiven Komponenten wird die Übertragungsfunktion als einfache Potenzfunktion angesetzt:

wobei P die normalisierte Frequenz ist mit und die Grenzfrequenz darstellt.

Die höchste Potenz von P bezeichnet dabei die Ordnung des eingesetzten Filters. Die Steilheit des Verstärkungsabfalles steigt mit der Ordnung des Filters.

Ungerade Ordnungen erhält man, indem der Koeffizient gesetzt wird.

Eine typische Anwendung der Übertragungsfunktion besteht darin, dass man sie im Rahmen von Modellversuchen misst und danach die Möglichkeit hat, das System numerisch zu simulieren.

Eine wichtige Rolle spielt die Übertragungsfunktion in der Signaltheorie, der Regelungstechnik sowie in Schiffbau und Offshoretechnik. Da sie für die Analyse und numerische Simulation nicht nur elektrischer, sondern auch mechanischer Schwingungen eingesetzt wird und ihre Implementation als Software keine Spezial-Hardware voraussetzt, stellt sie kein Teilgebiet der Elektronik oder Elektrotechnik dar.

In den beiden letztgenannten Anwendungen hängen die sechs Übertragungsfunktionen für die sechs Freiheitsgrade (surge, sway, heave, roll, pitch, yaw) zusätzlich von der Ausbreitungsrichtung des Seegangs sowie von der Geschwindigkeit des Schiffes ab. Der Betrag der Übertragungsfunktion als Funktion der Seegangskreisfrequenz weist in den Eigenfrequenzen Maxima auf. Bei einem unverankerten Schiff ist die erste Eigenfrequenz der Freiheitsgrade surge, sway, heave null, mangels Rückstellkräften. Bei einer in allen Richtungen verankerten Offshore-Plattform ist die erste Eigenfrequenz dieser drei horizontalen Freiheitsgrade ungleich null und im allgemeinen so niedrig, dass sie weniger von den Seegangskräften erster Ordnung angeregt wird, sondern von den Seegangsdriftkräften, d.h. von den Schwankungen der Wellenamplituden im irregulären Seegang.

Digitales Filter, FFT, Frequenzgang, Fourier-Transformation, Laplace-Transformation, Faltung, Signalanalyse