Lineare diophantische Gleichung

Eine lineare diophantische Gleichung (benannt nach dem griechischen Mathematiker Diophantos von Alexandria, vermutlich um 250 n. Chr.) ist eine Gleichung der Form mit ganzzahligen Koeffizienten und , für die nur ganzzahlige Lösungen gesucht werden.[1] Linear bedeutet, dass die Variablen nicht in Potenzen auftreten (im Gegensatz zur allgemeinen diophantischen Gleichung).

Auflösung von Gleichungen mit zwei Variablen

Die lineare diophantische Gleichung

mit vorgegebenen ganzen Zahlen hat genau dann ganzzahlige Lösungen in und , wenn durch den größten gemeinsamen Teiler () von und teilbar ist. D.h. die linke Seite ist durch teilbar, also muss auch durch teilbar sein. Wir nehmen dies im Folgenden an.

Wie bei jeder linearen Gleichung ist die Differenz zweier Lösungen eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung

Sucht man also eine Lösung der ursprünglichen, inhomogenen Gleichung , man spricht dann von einer „Partikularlösung“, so erhält man durch Superposition mit den Lösungen der homogenen Gleichung sämtliche anderen Lösungen der inhomogenen Gleichung .

Geometrisch interpretiert sind Gitterpunkte mit ganzzahligen Koordinaten in der Euklidischen Ebene, die auf der durch definierten Geraden liegen.

Lösungen der homogenen Gleichung

Schreibt man und mit , so ist die homogene Gleichung äquivalent zu

und da und teilerfremd sind, ist durch , und durch teilbar. Sämtliche Lösungen der homogenen Gleichung sind also durch

für eine beliebige ganze Zahl gegeben.

Auffinden einer Partikularlösung

Mithilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus kann man Zahlen bestimmen, so dass

mit

gilt. Setzt man so ist

eine Lösung der Gleichung .

Gesamtheit der Lösungen

Die Gesamtheit der Lösungen von ist gegeben durch

für beliebige ganze Zahlen .

Explizite Lösung mittels Satz von Euler

Der Satz von Euler lautet

Aus folgt .

Darin ist die Eulersche Phi-Funktion, d. h. die Anzahl der zu teilerfremden Restklassen.

Wir nehmen zur Vereinfachung an, dass der bereits herausdividiert ist und deshalb gilt.[2] Dann betrachtet man die Gleichung modulo , was ergibt. Der Satz von Euler liefert dann eine explizite Lösung , nämlich

,

d. h. alle Zahlen der Form .

Eingesetzt in die Ausgangsgleichung ergibt das

,

was nach dem Satz von Euler ebenfalls eine ganze Zahl ist.

Berechnungsbeispiel

Die Gleichung

soll gelöst werden.

Partikularlösung

Bei einfachen Zahlenbeispielen wie diesem lässt sich eine Partikularlösung leicht ablesen oder erraten, hier zum Beispiel .

Der erweiterte euklidische Algorithmus liefert für die gegebene Gleichung

Es folgt . Durch Multiplikation mit ergibt sich:

also die Partikularlösung

Lösungen der homogenen Gleichung

Es ist , also . Die homogene Gleichung

hat also die Lösungen für ganze Zahlen

Gesamtheit der Lösungen

Alle Lösungen ergeben sich also als

beispielsweise sind die Lösungen mit nichtnegativen und

Explizite Lösung mittels Satz von Euler

Nach dem Dividieren durch den erhält man . Mit ergibt sich folglich

 und
.

Literatur

  • Alexander Ossipowitsch Gelfond: Die Auflösung von Gleichungen in ganzen Zahlen (diophantische Gleichungen) (= Kleine Ergänzungsreihe zu den Hochschulbüchern für Mathematik. Band 5). Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1973.

Einzelnachweise

  1. Ilja Nikolajewitsch Bronstein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2000, ISBN 3-8171-2005-2, S. 335.
  2. E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 24.