Asymptotische Dichte

Die asymptotische Dichte (auch natürliche Dichte) ist ein zahlentheoretischer Grenzwert, der den Anteil einer Untermenge natürlicher Zahlen an der Menge natürlicher Zahlen angibt.

Asymptotische Dichte

Sei und definiere die Zählfunktion

für ein , wobei die Mächtigkeit bezeichnet.

Falls der Grenzwert

existiert, so nennt man ihn die asymptotische Dichte von . Es gilt .

Erläuterungen

Bei der asymptotischen Dichte handelt es sich um einen Spezialfall einer allgemeinen Dichte von der Form

Die asymptotische Dichte erhält man bei der Wahl für alle .

Eine weitere übliche Dichtefunktion ist die logarithmische Dichte , welche man durch die Wahl für alle erhält. Für den natürlichen Logarithmus gilt

wobei die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Somit definiert man die logarithmische Dichte als

falls sie existiert.

Obere und untere asymptotische Dichte

Die obere asymptotische Dichte von ist durch

definiert, wobei lim sup der Limes superior ist. Ebenso ist die durch

definierte untere asymptotische Dichte von . hat nur dann eine asymptotische Dichte , wenn gilt. In diesem Fall existiert der Grenzwert

und daher kann durch ihn definiert werden.

Beispiele

  • Wenn für die Menge existiert, dann gilt für die bezüglich komplementäre Menge :
  • Für eine beliebige endliche Menge natürlicher Zahlen gilt:
  • Für die Menge aller Quadratzahlen gilt:
  • Für die Menge aller geraden Zahlen gilt:
  • Allgemeiner gilt für jede arithmetische Folge mit positivem :
  • Für die Menge aller Primzahlen erhält man aufgrund des Primzahlsatzes:
  • Die Menge aller quadratfreien natürlichen Zahlen hat die Dichte mit der Riemannschen Zetafunktion .
  • Die Dichte abundanter Zahlen liegt zwischen 0,2474 und 0,2480.
  • Die Menge aller Zahlen, deren Binärdarstellung eine ungerade Anzahl an Stellen hat, ist ein Beispiel für eine Menge ohne asymptotische Dichte. Für die untere und obere asymptotische Dichte gilt in diesem Fall:

Quellen

  • Melvyn B. Nathanson: Elementary methods in number theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 195). Springer, New York 2000, ISBN 0-387-98912-9 (englisch, zbmath.org).
  • Hans-Heinrich Ostmann: Additive Zahlentheorie (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 7). Erster Teil: Allgemeine Untersuchungen. Springer-Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg 1956, ISBN 978-3-662-11030-0 (books.google.de – Leseprobe).
  • Jörn Steuding: Probabilistic number theory. (PDF) In: psu.edu. citeseerx.ist.psu.edu, abgerufen am 7. Februar 2016.
  • Gérald Tenenbaum: Introduction to analytic and probabilistic number theory (= Cambridge studies in advanced mathematics. Band 46). Cambridge university press, Cambridge 1995, ISBN 0-521-41261-7 (französisch, zbmath.org).