„Mehrdimensionale Normalverteilung“ – Versionsunterschied

In der multivariaten Statistik ist die mehrdimensionale, oder auch multivariate Normalverteilung genannt eine multivariate Verteilung und stellt eine Verallgemeinerung der (eindimensionalen) Normalverteilung auf mehrere Dimensionen dar.^[1] Eine zweidimensionale Normalverteilung wird auch bivariate Normalverteilung genannt.

Bestimmt wird eine mehrdimensionale Normalverteilung durch zwei Verteilungsparameter – den Erwartungswertvektor $\mu$ und durch die Kovarianzmatrix $\Sigma$ , welche den Parametern $\mu$ und $\sigma ^{2}$ der eindimensionalen Normalverteilungen entsprechen.

Multivariat normalverteilte Zufallsvariablen treten als Grenzwerte bestimmter Summen unabhängiger mehrdimensionaler Zufallsvariablen auf. Dies ist die Verallgemeinerung des zentralen Grenzwertsatz zum mehrdimensionalen zentralen Grenzwertsatz.

Weil sie entsprechend dort auftreten, wo mehrdimensionale zufällige Größen als Überlagerung vieler voneinander unabhängiger Einzeleffekte angesehen werden können, haben sie für die Praxis eine große Bedeutung.

Aufgrund der sogenannten Reproduktionseigenschaft der mehrdimensionalen Normalverteilung lässt sich die Verteilung von Summen (und Linearkombinationen) multivariat normalverteiler Zufallsvariabler konkret angeben.

Die mehrdimensionale Normalverteilung: allgemeiner Fall

10000 Stichproben einer zweidimensionalen Normalverteilung mit $\sigma _{1}=1$ , $\sigma _{2}=2$ und ρ = 0.7

Eine $p$ -dimensionale reelle Zufallsvariable $X$ ist normalverteilt mit Erwartungswertvektor $\mu$ und (positiv definiter) Kovarianzmatrix $\Sigma$ , wenn sie eine Dichtefunktion der Form

f_{X}(\mathbf {x} )={\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{p}\det(\Sigma )}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right)

besitzt. Man schreibt

X\sim {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}).

Für die zugehörige Verteilungsfunktion $F$ gibt es keine geschlossene Form. Die entsprechenden Integrale müssen numerisch berechnet werden.

Der Wert im Exponentialteil der Dichtefunktion $({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})$ entspricht der Mahalanobis-Distanz, welche die Distanz vom Testpunkt ${\mathbf {x} }$ zum Mittelwert ${\boldsymbol {\mu }}$ darstellt. Im Vergleich mit der Dichtefunktion der eindimensionalen Normalverteilung spielt bei der mehrdimensionalen Normalverteilung $\Sigma$ die Rolle von $\sigma ^{2}$ .

Die mehrdimensionale Normalverteilung hat die folgenden Eigenschaften:

Sind die Komponenten von X paarweise unkorreliert, so sind sie auch stochastisch unabhängig.

Die affine Transformation $Y=a+B\,X$ mit einer Matrix $B\in \mathbb {R} ^{q\times p}$ (mit $q\leq p$ ) und $a\in \mathbb {R} ^{q}$ ist $q$ -dimensional normalverteilt: $Y\sim {\mathcal {N}}_{q}(a+B\mu ,B\Sigma B^{T})$ . Dies gilt aber nach der hier gegebenen Definition nur, wenn $B\Sigma B^{T}\,$ nicht-singulär ist, also eine nicht-verschwindende Determinante hat.

Die affine Transformation

Y=\Sigma ^{-{\frac {1}{2}}}(X-\mu )

standardisiert den Zufallsvektor

X\,

: es ist

Y\sim {\mathcal {N}}_{p}(0,E)\,

(mit Einheitsmatrix

E

).

$X\,$ kann auch eine singuläre Kovarianzmatrix besitzen. Man spricht dann von einer degenerierten oder singulären mehrdimensionalen Normalverteilung. In diesem Fall existiert keine Dichtefunktion.

Bedingte Verteilung bei partieller Kenntnis des Zufallsvektors: Bedingt man einen multivariat normalverteilten Zufallsvektor auf einen Teilvektor, so ist das Ergebnis selbst wieder multivariat normalverteilt, für

{X}={\binom {{X}_{1}}{{X}_{2}}}\sim {\mathcal {N}}\left({\binom {{\mu }_{1}}{{\mu }_{2}}},{\begin{pmatrix}{\Sigma }_{11}&{\Sigma }_{12}\\{\Sigma }_{21}&{\Sigma }_{22}\end{pmatrix}}\right)

gilt

X_{1}\mid X_{2}\sim {\mathcal {N}}\left(\mu _{1}+\Sigma _{12}\Sigma _{22}^{-1}(X_{2}-\mu _{2}),\Sigma _{11}-\Sigma _{12}\Sigma _{22}^{-1}\Sigma _{21}\right)

,

insbesondere hängt der Erwartungswert linear vom Wert von

X_{2}

ab und die Kovarianzmatrix ist unabhängig vom Wert von

X_{2}

.

Die Randverteilung der mehrdimensionalen Normalverteilung

Sei $X\sim {\mathcal {N}}_{n}(\mu ,\Sigma )$ multivariat normalverteilt. Für eine beliebige Partition $X=:(X_{1},X_{2})$ mit $X_{1}\in \mathbb {R} ^{k}$ und $X_{2}\in \mathbb {R} ^{n-k}$ , $k<n$ , gilt, dass die Randverteilungen $\mathrm {P} _{X_{1}}$ und $\mathrm {P} _{X_{2}}$ (multivariate) Normalverteilungen sind.

Die Umkehrung gilt allerdings nicht, wie folgendes Beispiel zeigt:

Sei $X_{1}\sim {\mathcal {N}}_{k}(0,E_{k})$ und sei $X_{2}$ definiert durch

X_{2}:=\left\{{\begin{array}{rl}X_{1}&{\text{ mit Wahrscheinlichkeit }}p_{1}\\-X_{1}&{\text{ mit Wahrscheinlichkeit }}p_{2},\end{array}}\right.

wobei $p_{1}+p_{2}=1$ . Dann ist ebenso $X_{2}\sim {\mathcal {N}}_{k}(0,E_{k})$ und

\operatorname {Cov} \left(X_{1},X_{2}\right)=\left({\begin{array}{cc}E_{k}&\left(p_{1}-p_{2}\right)E_{k}\\\left(p_{1}-p_{2}\right)E_{k}&E_{k}\end{array}}\right).

Demnach ist die Kovarianz (und damit die Korrelation) von $X_{1}$ und $X_{2}$ gleich $0$ genau dann, wenn $p_{1}=p_{2}={\frac {1}{2}}$ . Aber $X_{1}$ und $X_{2}$ sind nach Definition nicht unabhängig, da $X_{2}$ immer gleich $\pm X_{1}$ ist. Daher ist insbesondere $X:=(X_{1},X_{2})$ nicht multivariat normalverteilt.

Die p-dimensionale Standardnormalverteilung

Dichte der zweidimensionalen Standardnormalverteilung

Das Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\mathbb {R} ^{p}$ , das durch die Dichtefunktion

f_{X}:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{p})\mapsto {\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{p}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{p}x_{i}^{2}\right)

definiert wird, heißt Standardnormalverteilung der Dimension $p$ . Die $p$ -dimensionale Standardnormalverteilung ist abgesehen von Translationen (d. h. Erwartungswert $\mu \neq 0$ ) die einzige multivariate Verteilung, deren Komponenten stochastisch unabhängig sind und deren Dichte zugleich rotationssymmetrisch ist.

Momente und Kumulanten

Wie im eindimensionalen Fall, sind alle Momente der mehrdimensionalen Normalverteilung durch die ersten beiden Momente definiert. Alle Kumulanten außer den ersten beiden sind 0. Die ersten beiden Kumulanten sind dabei der Mittelwert $\mu$ und die Kovarianz $\Sigma$ . In Bezug auf das multivariate Momentenproblem hat die Normalverteilung die Eigenschaft, dass sie durch ihre Momente eindeutig definiert ist. Das heißt, wenn alle Momente einer mehrdimensionalen Wahrscheinlichkeitsverteilung existieren und den Momenten einer mehrdimensionalen Normalverteilung entsprechen, ist die Verteilung die eindeutige mehrdimensionale Normalverteilung mit diesen Momenten.^[2]

Dichte der zweidimensionalen Normalverteilung

Die Dichtefunktion der zweidimensionalen Normalverteilung mit Mittelwert = (0,0), $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=1$ und Korrelationskoeffizient $\varrho$ ist

f_{X}(x_{1},x_{2})={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\varrho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2(1-\varrho ^{2})}}(x_{1}^{2}-2\varrho \,x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})\right).

Jeweils 10.000 Stichproben zweidimensionaler Normalverteilungen mit ρ = −0.8, 0, 0.8 (alle Varianzen sind 1).

Im allgemeineren zweidimensionalen Fall mit Mittelwert = (0,0) und beliebigen Varianzen ist die Dichtefunktion

f_{X}(x_{1},x_{2})={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}{\sqrt {1-\varrho ^{2}}}}}\,\exp \left(-{\frac {1}{2(1-\varrho ^{2})}}\left[{\frac {x_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}-{\frac {2\varrho x_{1}x_{2}}{\sigma _{1}\sigma _{2}}}\right]\right),

und den allgemeinsten Fall mit Mittelwert = $(\mu _{1},\mu _{2})$ bekommt man durch Translation (ersetze $x_{1}$ durch $x_{1}-\mu _{1}$ und $x_{2}$ durch $x_{2}-\mu _{2}$ ).

Beispiel für eine mehrdimensionale Normalverteilung

Betrachtet wird eine Apfelbaumplantage mit sehr vielen gleich alten, also vergleichbaren Apfelbäumen. Man interessiert sich für die Merkmale Größe der Apfelbäume, die Zahl der Blätter und die Erträge. Es werden also die Zufallsvariablen definiert:

$X_{1}$ : Höhe eines Baumes [m]; $X_{2}$ : Ertrag [100 kg]; $X_{3}$ : Zahl der Blätter [1000 Stück].

Die Variablen sind jeweils normalverteilt wie

X_{1}\sim {\mathcal {N}}(4;1);X_{2}\sim {\mathcal {N}}(20;100);X_{3}\sim {\mathcal {N}}(20;225);.

Die meisten Bäume sind also um 4 ± 1 m groß, sehr kleine oder sehr große Bäume sind eher selten. Bei einem großen Baum ist der Ertrag tendenziell größer als bei einem kleinen Baum, aber es gibt natürlich hin und wieder einen großen Baum mit wenig Ertrag. Ertrag und Größe sind korreliert, die Kovarianz beträgt ${\mathsf {Cov}}(X_{1},X_{2})=9$ und der Korrelationskoeffizient $\varrho _{12}=0{,}9$ .

Ebenso ist ${\mathsf {Cov}}(X_{1},X_{3})=12{,}75$ mit dem Korrelationskoeffizienten $\varrho _{13}=0{,}85$ , und ${\mathsf {Cov}}(X_{2},X_{3})=120$ mit dem Korrelationskoeffizienten $\varrho _{23}=0{,}8$ .

Fasst man die drei Zufallsvariablen im Zufallsvektor $X:=(X_{1},X_{2},X_{3})$ zusammen, ist $X$ multivariat normalverteilt. Dies gilt allerdings nicht im Allgemeinen (vgl. Die Randverteilung der mehrdimensionalen Normalverteilung). Im vorliegenden Fall gilt dann für die gemeinsame Verteilung von $X$

{\boldsymbol {\mu }}={\begin{pmatrix}4\\20\\20\end{pmatrix}}

und

\Sigma ={\begin{pmatrix}1&9&12{,}75\\9&100&120\\12{,}75&120&225\end{pmatrix}}.

Die entsprechende Korrelationsmatrix ist

R={\begin{pmatrix}1&0{,}9&0{,}85\\0{,}9&1&0{,}8\\0{,}85&0{,}8&1\end{pmatrix}}.

Stichproben bei mehrdimensionalen Verteilungen

In der Realität werden in aller Regel die Verteilungsparameter einer mehrdimensionalen Verteilung nicht bekannt sein. Diese Parameter müssen also geschätzt werden.

Man zieht eine Stichprobe vom Umfang $T$ . Jede Realisation $t\in \{1,\ldots ,T\}$ des Zufallsvektors ${\boldsymbol {x}}$ könnte man als Punkt in einem $K$ -dimensionalen Hyperraum auffassen. Man erhält so die $(T\times K)$ -Datenmatrix ${\boldsymbol {X}}$ als

{\boldsymbol {X}}={\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&\cdots &x_{1k}&\cdots &x_{1K}\\x_{21}&x_{22}&\cdots &x_{2k}&\cdots &x_{2K}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{t1}&x_{t2}&\cdots &x_{tk}&\cdots &x_{tK}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{T1}&x_{T2}&\cdots &x_{Tk}&\cdots &x_{TK}\end{pmatrix}}_{(T\times K)}={\begin{pmatrix}\ {\boldsymbol {x}}_{1}^{T}\\\ {\boldsymbol {x}}_{2}^{T}\\\vdots \\\ {\boldsymbol {x}}_{t}^{T}\\\vdots \\\\{\boldsymbol {x}}_{T}^{T}\end{pmatrix}}_{(T\times K)}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {x}}_{(1)}{\boldsymbol {x}}_{(2)}&\cdots &{\boldsymbol {x}}_{(k)}&\cdots &{\boldsymbol {x}}_{(K)}\end{pmatrix}}_{(T\times K)}

, wobei

{\boldsymbol {x}}_{(1)}=1\!\!1_{T}={\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots \\1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}_{(T\times 1)}

die in jeder Zeile die Koordinaten eines Punktes enthält.

Der Erwartungswertvektor wird geschätzt durch den Mittelwertvektor der $K$ arithmetischen Mitteln der Spalten von ${\boldsymbol {X}}$

{\widehat {E({\boldsymbol {x}})}}={\boldsymbol {\bar {x}}}={\begin{pmatrix}{\bar {x}}_{1}\\{\bar {x}}_{2}\\\vdots \\{\bar {x}}_{k}\\\vdots \\{\bar {x}}_{K}\end{pmatrix}}

mit den Komponenten

{\bar {x}}_{k}={\frac {1}{T}}\sum _{i=1}^{T}x_{tk}

.

Für die Schätzung der Kovarianzmatrix erweist sich die bezüglich der arithmetischen Mittelwerte zentrierte Datenmatrix ${\boldsymbol {X}}^{*}$ als nützlich. Sie berechnet sich als

{\boldsymbol {X}}^{*}={\boldsymbol {X}}-{\boldsymbol {x}}_{(1)}=1\!\!1_{T}\cdot {\boldsymbol {\bar {x}}}^{T}

,

mit den Elementen $x_{tk}^{*}$ , wobei ${\boldsymbol {x}}_{(1)}=1\!\!1_{T}$ den Einsvektor, einen Spaltenvektor der Länge $T$ mit lauter Einsen, darstellt. Es wird also bei allen Einträgen das arithmetische Mittel der zugehörigen Spalte subtrahiert.

Die $(K\times K)$ -Kovarianzmatrix hat die geschätzten Komponenten

s_{jk}={\widehat {\operatorname {Cov} }}({\boldsymbol {X}}_{J},{\boldsymbol {X}}_{K})={\frac {1}{T-1}}\sum _{t=1}^{T}x_{tj}^{*}x_{tk}^{*}

.

Sie ergibt sich als

{\widehat {\boldsymbol {\Sigma }}}={\boldsymbol {S}}={\frac {1}{T-1}}{\boldsymbol {X}}^{*T}{\boldsymbol {X}}^{*}

.

Die Korrelationsmatrix ${\boldsymbol {R}}$ wird geschätzt durch die paarweisen Korrelationskoeffizienten

r_{jk}={\frac {\sum \limits _{t=1}^{T}x_{tj}^{*}x_{tk}^{*}}{{\sqrt {\sum \limits _{t=1}^{T}{x_{tj}^{*}}^{2}}}{\sqrt {\sum \limits _{t=1}^{T}{x_{tk}^{*}}^{2}}}}}

,

auf ihrer Hauptdiagonalen stehen Einsen.

Beispiel zu Stichproben

Es wurden 10 Apfelbäume zufällig ausgewählt und jeweils 3 Eigenschaften gemessen: $X_{1}$ : Höhe eines Baumes [m]; $X_{2}$ : Ertrag [100 kg]; $X_{3}$ : Zahl der Blätter [1000 Stück]. Diese 10 Beobachtungen werden in der Datenmatrix $X$ zusammengefasst:

X={\begin{pmatrix}3{,}3&24&27\\4{,}9&41&55\\5{,}9&46&52\\5{,}2&49&54\\3{,}6&29&34\\4{,}2&33&51\\5{,}0&42&43\\5{,}1&35&54\\6{,}8&60&70\\5{,}0&41&50\end{pmatrix}}

.

Die Mittelwerte berechnen sich, wie beispielhaft an ${\bar {x}}_{1}$ gezeigt, als

{\bar {x}}_{1}={\frac {1}{10}}(3{,}3+4{,}9+\ldots +5{,}0)=4{,}9

.

Sie ergeben den Mittelwertvektor

{\boldsymbol {\bar {x}}}={\begin{pmatrix}4{,}9\\40\\49\end{pmatrix}}

.

Für die zentrierte Datenmatrix $X^{*}$ erhält man die zentrierten Beobachtungen, indem von den Spalten der entsprechende Mittelwert abzogen wird:

{\begin{array}{lll}3{,}3-4{,}9=-1{,}6&24-40=-16&27-49=-22\\4{,}9-4{,}9=0&41-40=1&55-49=6\\\vdots \end{array}}

,

also

X^{*}={\begin{pmatrix}-1{,}6&-16&-22\\0{,}0&1&6\\1{,}0&6&3\\0{,}3&9&5\\-1{,}3&-11&-15\\-0{,}7&-7&2\\0{,}1&2&-6\\0{,}2&-5&5\\1{,}9&20&21\\0{,}1&1&1\end{pmatrix}}

.

Man berechnet für die Kovarianzmatrix die Kovarianzen, wie im Beispiel,

s_{12}={\widehat {\operatorname {Cov} }}(X_{1},X_{2})={\frac {1}{9}}(-1{,}6\cdot (-16)+0\cdot 1+\ldots +0{,}1\cdot 1)={\frac {90{,}80}{9}}\approx 10{,}09

und entsprechend die Varianzen

s_{22}={\hat {V}}(X_{2})={\frac {1}{9}}((-16)^{2}+1^{2}+...+1^{2})={\frac {974}{9}}\approx 108{,}22

,

so dass sich die Kovarianzmatrix

S={\begin{pmatrix}1{,}06&10{,}09&10{,}91\\10{,}09&108{,}22&106{,}22\\10{,}91&106{,}22&142{,}89\end{pmatrix}}

ergibt.

Entsprechend erhält man für die Korrelationsmatrix zum Beispiel

r_{12}={\frac {10{,}09}{\sqrt {1{,}06\cdot 108{,}22}}}\approx 0{,}9439

bzw. insgesamt

R={\begin{pmatrix}1&0{,}9439&0{,}8884\\0{,}9439&1&0{,}8542\\0{,}8884&0{,}8542&1\end{pmatrix}}.

Erzeugung mehrdimensionaler, normalverteilter Zufallszahlen

Eine oft verwendete Methode zur Erzeugung eines Zufallsvektors $X$ einer $N$ -dimensionalen Normalverteilung mit Mittelwertvektor $\mu$ und (symmetrischer und positiv definiter) Kovarianzmatrix $\Sigma$ kann wie folgt angegeben werden:

Bestimme eine Matrix $A$ , so dass $AA^{T}=\Sigma$ . Dazu kann die Cholesky-Zerlegung von $\Sigma$ oder eine Quadratwurzel von $\Sigma$ verwendet werden.
Sei $Z=(Z_{1},\ldots ,Z_{N})^{T}$ ein Vektor, dessen $N$ Komponenten stochastisch unabhängige, standardnormalverteilte Zufallszahlen sind. Diese können beispielsweise mit Hilfe der Box-Muller-Methode generiert werden.
Mit der affinen Transformation $X=\mu +AZ$ ergibt sich die gewünschte $N$ -dimensionale Normalverteilung.

Anmerkungen

↑ Mehrdimensionale und multivariate Normalverteilung werden in diesem Artikel synonym verwendet. Bei Hartung/Elpelt: Multivariate Statistik haben sie aber (in Kapitel 1, Abschnitt 5) unterschiedliche Bedeutungen: hier ist die multivariate Normalverteilung eine Matrix-Verteilung.
↑ Kleiber, Stoyanov: Multivariate distributions and the moment problem, Journal of Multivariate Analysis, Volume 113, January 2013, Seiten 7–18, doi:10.1016/j.jmva.2011.06.001.

Literatur

Mardia, KV, Kent, JT, Bibby, JM: Multivariate Analysis, New York 1979
Fahrmeir, Ludwig, Hamerle, Alfred, Tutz, Gerhard (Hrsg.): Multivariate statistische Verfahren, New York 1996
Hartung, Joachim, Elpelt, Bärbel: Multivariate Statistik, München, Wien 1999
Flury, Bernhard, A first course in multivariate statistics, New York, 1997.

[1] Mehrdimensionale und multivariate Normalverteilung werden in diesem Artikel synonym verwendet. Bei Hartung/Elpelt: Multivariate Statistik haben sie aber (in Kapitel 1, Abschnitt 5) unterschiedliche Bedeutungen: hier ist die multivariate Normalverteilung eine Matrix-Verteilung.

[2] Kleiber, Stoyanov: Multivariate distributions and the moment problem, Journal of Multivariate Analysis, Volume 113, January 2013, Seiten 7–18, doi:10.1016/j.jmva.2011.06.001.

[1]

[2]

@@ Zeile 70: / Zeile 70: @@
 die einzige multivariate Verteilung, deren Komponenten stochastisch unabhängig sind und deren Dichte zugleich
 [[Rotationssymmetrie|rotationssymmetrisch]] ist.
-=== Streuintervalle ===
-Für die Standardnormalverteilung können die Streuintervalle analytisch berechnet werden. Mit <math>r'^2=\sum_{i=1}^p x_i^2</math> liegt der Anteil
-:<math>\pi(r)=\frac{\int_0^r f_X(r')r'^{p-1}dp}{\int_0^\infty f_X(r')r'^{p-1}dp}=P(\frac p2,\frac {r^2}2)</math>
-der Messwerte höchstens im Abstand <math>r</math> vom Mittelwert (hier: 0). Dabei ist <math>P</math> die regularisierte [[unvollständige Gammafunktion]] der oberen Grenze.
-{| class="wikitable"
-|+ <math>P(\frac p2,\frac {r^2}2)</math>
-|-
-! <math>\pi</math> in %
-! <math>r=\sigma</math>
-! <math>r=2\sigma</math>
-! <math>r=3\sigma</math>
-|-
-! <math>p=1</math>
-| 68,27
-| 95,45
-| 99,73
-|-
-! <math>p=2</math>
-| 39,35
-| 86,47
-| 98,89
-|-
-! <math>p=3</math>
-| 19,87
-| 73,85
-| 97,07
-|-
-|}
-Entsprechend kann mit der Umkehrfunktion der Streuradius r angegeben werden, in der ein vorgegebener Anteil an Messwerten liegt:
-:<math>r=\sqrt{2 P^{-1}(\frac p2,\pi)}</math>
-{| class="wikitable"
-! <math>r</math> in <math>\sigma</math>
-! <math>\pi=50%</math>
-! <math>\pi=90%</math>
-! <math>\pi=99%</math>
-|-
-! <math>p=1</math>
-| 0,675
-| 1,645
-| 2,576
-|-
-! <math>p=2</math>
-| 1,177
-| 2,146
-| 3,035
-|-
-! <math>p=3</math>
-| 1,538
-| 2,500
-| 3,368
-|-
-|}
 == Momente und Kumulanten ==

Deutsch Etymologie

„Mehrdimensionale Normalverteilung“ – Versionsunterschied

Version vom 22. Oktober 2018, 19:23 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Die mehrdimensionale Normalverteilung: allgemeiner Fall

Die Randverteilung der mehrdimensionalen Normalverteilung

Die p-dimensionale Standardnormalverteilung

Momente und Kumulanten

Dichte der zweidimensionalen Normalverteilung

Beispiel für eine mehrdimensionale Normalverteilung

Stichproben bei mehrdimensionalen Verteilungen

Beispiel zu Stichproben

Erzeugung mehrdimensionaler, normalverteilter Zufallszahlen

Anmerkungen

Literatur

What are your Feelings

„Mehrdimensionale Normalverteilung“ – Versionsunterschied

Version vom 22. Oktober 2018, 19:23 Uhr

Die mehrdimensionale Normalverteilung: allgemeiner Fall

Die Randverteilung der mehrdimensionalen Normalverteilung

Die p-dimensionale Standardnormalverteilung

Momente und Kumulanten

Dichte der zweidimensionalen Normalverteilung

Beispiel für eine mehrdimensionale Normalverteilung

Stichproben bei mehrdimensionalen Verteilungen

Beispiel zu Stichproben

Erzeugung mehrdimensionaler, normalverteilter Zufallszahlen

Anmerkungen

Literatur

What are your Feelings

Share This Article :