Zweipunktverteilung

Die Zweipunktverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie ist eine einfache diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auf einer zweielementigen Menge definiert wird. Bekanntester Spezialfall ist die Bernoulli-Verteilung, die auf definiert ist.

Definition

Eine Zufallsvariable auf mit heißt zweipunktverteilt, wenn

ist.

Die Verteilungsfunktion ist dann

Eigenschaften

Sei im Folgenden .

Erwartungswert

Der Erwartungswert einer zweipunktverteilten Zufallsgröße ist

.

Varianz und weitere Streumaße

Für die Varianz gilt

.

Demnach ist die Standardabweichung

und der Variationskoeffizient

.

Symmetrie

Ist , so ist die Zweipunktverteilung symmetrisch um ihren Erwartungswert.

Schiefe

Die Schiefe der Zweipunktverteilung ist

.

Wölbung und Exzess

Der Exzess der Zweipunktverteilung ist

und damit ist die Wölbung

.

Höhere Momente

Die -ten Momente ergeben sich als

.

Dies kann beispielsweise mit der momenterzeugenden Funktion gezeigt werden.

Modus

Der Modus der Zweipunktverteilung ist

Median

Der Median der Zweipunktverteilung ist

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Sind , so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist für beliebiges gegeben als

.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist für beliebiges gegeben als

.

Konstruktion der Verteilung zu vorgegebenen Parametern

Sind Erwartungswert , Standardabweichung und Schiefe vorgegeben, erhält man wie folgt eine passende Zweipunktverteilung:

Summen von zweipunktverteilten Zufallsvariablen

Die Zweipunktverteilung ist für nicht reproduktiv. Das heißt, wenn zweipunktverteilt sind, dann ist nicht mehr zweipunktverteilt. Einzige Ausnahme ist der degenerierte Fall mit (bzw. ). Dann handelt es sich um eine Dirac-Verteilung auf (bzw. auf ), die entsprechend reproduktiv und sogar unendlich teilbar ist.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Bernoulli-Verteilung

Eine Zweipunktverteilung auf ist eine Bernoulli-Verteilung.

Beziehung zur Rademacher-Verteilung

Die Rademacher-Verteilung ist eine Zweipunktverteilung mit .

Literatur

  • Thomas Mack: Versicherungsmathematik. 2. Auflage. Verlag Versicherungswirtschaft, 2002, ISBN 388487957X.
  • P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Zweipunktverteilung (two-point distribution), S. 526–527.