Eine monotone Abbildung ist in der Mathematik eine Abbildung zwischen zwei halbgeordneten Mengen, bei der aus der Ordnung zweier Elemente der Definitionsmenge auf die Ordnung der jeweiligen Bildelemente der Zielmenge geschlossen werden kann. Bleibt die Ordnung der Elemente erhalten, spricht man von einer isotonen oder ordnungserhaltenden Abbildung oder auch von einem Ordnungshomomorphismus. Kehrt sich die Ordnung um, spricht man von einer antitonen oder ordnungsumkehrenden Abbildung.

Bekannte Beispiele monotoner Abbildungen sind (nicht notwendigerweise streng) monotone reelle Funktionen. Der Monotoniebegriff wird aber allgemeiner auch auf vektorwertige Funktionen, Operatoren, Zahlenfolgen, Mengenfolgen und Funktionenfolgen angewandt.

Definition

Sind und zwei halbgeordnete Mengen, dann heißt eine Abbildung isoton, ordnungserhaltend oder ein Ordnungshomomorphismus, wenn für alle Elemente

gilt, und antiton oder ordnungsumkehrend, wenn für alle

gilt. Eine Abbildung heißt monoton, wenn sie isoton oder antiton ist. Sind die entsprechenden strikten Ordnungen und definiert, so heißt eine Abbildung strikt isoton, wenn für alle Elemente

gilt, und strikt antiton, wenn für alle

gilt. Eine Abbildung heißt strikt monoton, wenn sie strikt isoton oder strikt antiton ist.

Beispiele

Monotone Folgen

• Eine Abbildung von nach definiert durch ist genau dann monoton, wenn die Folge eine monotone Folge ist.
• Ist eine beliebige Menge und ihre Potenzmenge, so lässt sich auf der Potenzmenge eine Ordnungsrelation durch die Teilmengenbeziehung definieren. Eine Abbildung von nach definiert durch ist genau dann monoton, wenn die Mengenfolge eine monotone Mengenfolge ist.
• Auf einer Menge von reellwertigen Funktionen mit Definitionsbereich lässt sich eine Ordnung definieren durch

.

Eine Abbildung von nach definiert durch ist genau dann monoton, wenn die Funktionenfolge eine monotone Funktionenfolge ist.

Monotone Funktionen

• Die monotonen Abbildungen von nach sind genau die monotonen reellen Funktionen.
• Betrachtet man auf dem Ordnungen, die durch verallgemeinerte Ungleichung definiert werden, so sind monotonen Abbildungen von nach genau die K-monotonen Funktionen.
• Monotone Abbildungen, die von dem Raum der symmetrischen reellen Matrizen versehen mit der Loewner-Halbordnung nach abbilden, heißen matrix-monotone Funktionen.
• Maße auf einer -Algebra über einer Grundmenge sind monotone Abbildungen von nach .
• Äußere Maße auf der Grundmenge sind monotone Abbildungen von nach .

Eigenschaften

Eine isotone Abbildung stellt einen Ordnungs-Homomorphismus dar, eine antitone Abbildung hingegen einen Ordnungs-Antihomomorphismus. Eine bijektive isotone Abbildung, deren Inverse ebenfalls isoton ist, ist ein Ordnungs-Isomorphismus, eine bijektive antitone Abbildung mit antitoner Inverser ein Ordnungs-Antiisomorphismus.

Die Inverse einer bijektiven isotonen Abbildung muss nicht notwendigerweise selbst wieder isoton sein. Sind beispielsweise mit und mit sowie die (identische) Abbildung , dann ist zwar isoton, aber nicht, denn impliziert nicht . Gleiches gilt für die Antitonie der Inversen einer bijektiven antitonen Abbildung. Daher muss hier bei Iso- und Antiisomorphismen die Isotonie beziehungsweise die Antitonie der Inversen explizit gefordert werden.

Die Hintereinanderausführung zweier isotoner Abbildungen und ist wieder isoton. Nachdem auch die identische Abbildung isoton ist, stellt die Menge der isotonen Selbstabbildungen mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung ein Monoid (das Endomorphismenmonoid) dar. Allgemeiner bilden halbgeordnete Mengen zusammen mit isotonen Abbildungen eine (kartesisch abgeschlossene) Kategorie. Die bijektiven isotonen Selbstabbildungen mit isotonen Inversen bilden mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung entsprechend eine Gruppe (die Automorphismengruppe). Die Hintereinanderausführung zweier antitoner Abbildungen ist jedoch nicht wieder antiton, sondern isoton. Die Hintereinanderausführung einer isotonen mit einer antitonen Abbildung ist unabhängig von der Reihenfolge stets antiton.

Verwandte Begriffe

Eine Abbildung zwischen zwei halbgeordneten Mengen und , für die die Umkehrung

für alle gilt, heißt ordnungsreflektierend. Eine ordnungsreflektierende Abbildung ist stets injektiv. Eine sowohl ordnungserhaltende als auch ordnungsreflektierende Abbildung, für die also

für alle gilt, wird Ordnungseinbettung genannt. Eine surjektive Ordnungseinbettung ist ein Ordnungsisomorphismus und man schreibt dann . Für eine Ordnungseinbettung gilt lediglich .

Literatur

• Rudolf Berghammer: Ordnungen und Verbände. Grundlagen, Vorgehensweisen und Anwendungen. Springer Vieweg, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02710-0, doi:10.1007/978-3-658-02711-7. 
• Steven Roman: Lattices and Ordered Sets. Springer, 2008, ISBN 978-0-387-78900-2, doi:10.1007/978-0-387-78901-9. 
• Bernhard Ganter: Diskrete Mathematik: Geordnete Mengen, Springer, 2013, ISBN 978-3-642-37500-2