Gumbel-Verteilung
Die Gumbel-Verteilung (nach Emil Julius Gumbel), die Fisher-Tippett-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) oder Extremal–I–Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die wie die Fréchet-Verteilung zu den Extremwertverteilungen gehört. Die Verteilung heißt auch doppelte Exponentialverteilung.[1]
Definition
Eine stetige Zufallsgröße genügt einer Gumbel-Verteilung mit Skalenparameter und Lageparameter , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
und damit die Verteilungsfunktion
besitzt.
Standard-Fall
Werden keine Parameter angegeben, so sind die Standard-Parameter und gemeint. Dieser Spezialfall wird manchmal auch als Doppelexponentialverteilung bezeichnet.[2] Damit ergibt sich die Dichte
und die Verteilungsfunktion
Durch die affin-linearen Transformationen mit erhält man die oben angegebene Lage-Skalen-Familie von Verteilungen mit den Eigenschaften
- ,
- ,
- und
Eigenschaften
Erwartungswert
Die Gumbelverteilung besitzt den Erwartungswert
- .
Dabei ist die Euler-Mascheroni-Konstante.
Varianz
Die Varianz einer Gumbelverteilung ist
- .
Standardabweichung
Die Standardabweichung einer Gumbelverteilung ist
- .
Anwendung
Sie wird u. a. in folgenden Bereichen benutzt:
- Hydrologie, insbesondere Wasserwirtschaft für extreme Ereignisse wie Hochwasser und Trockenzeiten
- Verkehrsplanung
- Meteorologie (Wettervorhersage)
Beziehung zu anderen Verteilungen
Beziehung zur Extremwertverteilung
Die Gumbel-Verteilung mit den Parametern und ist eine Extremwertverteilung vom Typ I[1] und ergibt sich als Spezialfall für aus der verallgemeinerten Extremwertverteilung, die die Extremwertverteilungen der Typen I, II und III und die zugehörigen Verteilungstypen in einer Verteilungsfamilie zusammenfasst.
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Extreme Value Distribution auf MathWorld
Einzelnachweise
- ↑ a b P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Exponentialverteilung, doppelte, S. 111-112.
- ↑ Hans-Otto Georgii: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 5. Auflage. De Gruyter, Berlin / Boston 2015, ISBN 978-3-11-035969-5, S. 166, doi:10.1515/9783110359701.
