Vorbereitung :

Rotierende Strukturen - oder allgemeiner - Strukturen mit konstanter aber sonst willkürlicher Geschwindigkeit sind wichtige Elemente des Maschinenbaus wie z.B. Wellen und Blätter von Propellern, Hubschraubern oder Windenergiekonvertern.

Die Berechnung von Schwingungen in solchen Strukturen verlangt besondere Aufmerksamkeit.
Zu den klassischen Matrizen der Masse, Dämpfung und Steifigkeit müssen sogenannte Gyroskopische Matrizen hinzugefügt werden.

Die Bewegungsgleichungen lauten dann:

worin:

     M,D,K  klassische Matrizen der Masse, Dämpfung, Steifigkeit
     G      gyroskopische Matrix der Deformationsgeschwindigkeit
            (enthält z.B. Coriolis-Elemente)
     N      gyroskopische Matrix der elastischen Deformation
            (enthält z.B. Zentrifugalelemente)
     B      gyroskopische Matrix kleiner Fußpunkterregungen
     A      gyroskopische Matrix der Struktur im nicht
            schwingenden Zustand
     V      Versetzungsmatrix (enthält die Abstände zwischen Fuß-
            und Grid-Punkten)
     rE     kleine Gridpunktverschiebungen, Komponenten gemessen
            relativ zur bewegten Struktur (nicht inertial)
     sE     kleine Fuß- oder Referenz-Punkt-Erregung (wichtig für
            den Anschluß von nichtrotierenden Strukturteilen)
         (große) konstante Geschwindigkeit 
            des Strukturreferenzpunktes
     pE     variable äußere Erregerlasten
     pU     konstante Lasten auf den Gridpunkten infolge von 
            , notwendig für die
            Steifigkeitskorrektur, die aus den konstanten
            Anfangsverformungen resultiert
     Alle gyroskopischen Matrizen sind abhängig von 

Diese Gleichungen sind direkt vergleichbar mit den klassischen Bewegungsgleichungen einer nicht rotierenden Struktur. Verfügbare Lösungsroutinen sind ohne Anpassung verwendbar. Eine andere Physik ist nicht erforderlich, die Besonderheiten der rotierenden Massen sind in den Matrizen bereits erfasst. Eine direkte Kopplung mit nichtrotierenden Strukturen ist möglich.

Für den einfachsten Anwendungsfall (ein Gridpunkt, D=K=0) ergibt sich ein Kreisel mit den Eigenwerten:

0 für die Verformung in Richtung der - und um die - Drehachse.
die Drehgeschwindigkeit, für die anderen translatorischen Verformungen und

der Kehrwert der Euler-Periode, für eine rotatorische Verformung.

Der letzte Eigenwert ist verschieden, je nachdem welche Freiheitsgrade betrachtet werden. Für sE=0 erhält man von der linken Seite der Bewegungsgleichung. Für rE=0 erhält man den Kehrwert der Euler-Periode von der rechten Seite der Gleichung. sE=0 bedeutet, daß der Fußpunkt eingespannt ist, rE=0 erlaubt eine Bewegung des Fußpunktes. Die Eigenvektoren für Eigenwerte ≠ 0 beschreiben Kreise, die zwei translatorische oder zwei rotatorische Verformungen koppeln.

Referenzen

K.König "Zur Berechnung von Schwingungen in bewegten Strukturen"
VDI Bericht 536 (1984) S.75-89

K.König "Gyroscopic Matrices in Computation of Vibration"
Forum Aeroelastics DGLR, AAAI, RAeS in Aachen 17.-19.4.1989