„Landé-Faktor“ – Versionsunterschied

In der Physik gibt der dimensionslose Landé-Faktor (nach Alfred Landé) oder auch gyromagnetische Faktor $g\,\!$ für ein geladenes Teilchen im Magnetfeld an, um wie viel stärker sich der Spin auf seine Energie auswirkt als ein gleich großer Bahndrehimpuls:

Der Drehimpuls ${\vec {L}}$ eines geladenen Punktteilchens trägt im Magnetfeld ${\vec {B}}$ zur Energie $E\,\!$ bei mit

E_{L}=\mu \,{\frac {\vec {L}}{\hbar }}\cdot {\vec {B}}.

Dabei ist

\hbar

das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum und

\mu ={\frac {q}{2\,m}}\,\hbar

das Magneton des Teilchens mit Masse

m

und Ladung

q\,;

das Magneton des Elektrons heißt Bohrsches Magneton, das Magneton des Protons heißt Kernmagneton und ist wegen der größeren Masse des Protons etwa zweitausend mal kleiner.

Der Spin ${\vec {S}}$ eines geladenen Punktteilchens trägt im Magnetfeld ${\vec {B}}$ zur Energie $E\,\!$ bei mit

E_{S}=g\,\mu \,{\frac {\vec {S}}{\hbar }}\cdot {\vec {B}}.

Insgesamt ergibt der Vergleich der beiden Energien:

{\frac {E_{S}}{\vec {S}}}=g\cdot {\frac {E_{L}}{\vec {L}}}(=g\cdot {\frac {\mu }{\hbar }}\cdot {\vec {B}}).

Theorie und Experiment

Elektron

In der theoretischen Beschreibung des Elektrons durch die Schrödinger-Gleichung gibt es zunächst keinen Spin. Man kann ihn jedoch mit der nichtrelativistischen Pauli-Gleichung einbeziehen, in der der gyromagnetische Faktor noch frei wählbar, also unerklärt ist. Die relativistische Beschreibung des Elektrons durch die Dirac-Gleichung für Spin-½-Fermionen sagt dagegen voraus:

g_{\text{Elektron, Dirac}}=2.

Dieser Wert kann auch ohne Einbeziehung relativistischer Annahmen aus der Linearisierung der Schrödingergleichung berechnet werden.^[1]

Erste Messungen des gyromagnetischen Faktors des Elektrons ergaben etwa den Dirac-Wert $2\,\!$ , genauere Experimente zeigten dann geringe Abweichungen. Diese werden in der Form ${\frac {g-2}{2}}$ anomales magnetisches Moment genannt, Experimente zu ihrer Bestimmung heißen auch (g-2)-Experimente.

Die Dirac-Gleichung berücksichtigt nicht die mögliche Erzeugung und Vernichtung von Photonen und Elektron-Positronpaaren. Dies leistet erst die Quantenelektrodynamik, in der die Ankopplung des Elektrons an das Magnetfeld korrigiert wird. Diese Korrekturen liefern für den Landé-Faktor des Elektrons einen theoretischen Wert von

g_{\text{Elektron, theoretisch}}=2{,}002\,319\,304\,8(8)\,,

wohingegen Experimente nach derzeitiger Messgenauigkeit einen Wert von

g_{\text{Elektron, gemessen}}=2{,}002\,319\,304\,361\,53(53)

^[2]

ergeben. Die präzise Berechnung des g-Faktors und der Vergleich mit dem Experiment etwa beim Myon dient zu Präzisionstests des Standardmodells der Elementarteilchen.

Zusammengesetzte Teilchen

Zusammengesetze Teilchen haben deutlich andere gyromagnetische Faktoren:

$g_{\text{Proton}}=5{,}585\,694\,713(46)$ ^[3]

$g_{\text{Neutron}}=-3{,}826\,085\,45(90).$ ^[4]

Die g-Faktoren dieser Nukleonen sind nicht genau berechenbar, da das Verhalten ihrer Bestandteile, Quarks und Gluonen, nicht genügend genau bekannt ist.

Beim gyromagnetischen Faktor des Neutrons handelt es sich genau genommen um die Stärke der Spin-Magnetfeld-Energie des Neutrons im Vergleich zur Bahndrehimpuls-Magnetfeld-Energie des Protons, denn das Neutron ist ungeladen und hat keine Bahndrehimpuls-Magnetfeld-Energie.

Bestimmungsgeschichte

Die Bestimmung des g-Faktors des Elektrons erfolgte bei gebundenen Elektronen durch Polykarp Kusch und andere in den 1950er Jahren, für freie Elektronen durch H. Richard Crane ab 1954.

Der Bestimmung des g-Faktors des Myons widmete sich insbesondere Vernon Hughes, gipfelnd in einem Experiment am Brookhaven National Laboratory, dessen Ergebnisse 2002 vorgelegt wurden.^[5] Der Vergleich mit der Theorie ist beim Myon insofern schwieriger, als in den theoretischen Wert die Ergebnisse anderer Experimente mit einfließen. Eine Analyse ergab 2007 aber eine Abweichung von den Vorhersagen des Standardmodells.^[6]

Bestimmung des Landé-Faktors eines Atoms

Für ein Atom errechnet sich der dem Gesamtdrehimpuls ${\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}$ zugehörige Landé-Faktor näherungsweise (d. h. ohne Korrekturen der Quantenelektrodynamik) nach:

g_{J}\approx 1+{\frac {J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}}

$S$ ist dabei die Summe der Elektronenspins, $L$ ist die Summe der Bahndrehimpuls-Quantenzahlen und $J=L+S$ bei mehr als halbgefüllten Schalen und sonst $J=|L-S|$ . Für die Berechnung werden nur die Valenzelektronen berücksichtigt, die sich nach den Hundschen Regeln auf die verschiedenen Niveaus der höchst besetzten Schale verteilen, da die Drehimpuls- und Spin-Quantenzahlen abgeschlossener Schalen zu Null koppeln.

Siehe auch

Herleitung des gyromagnetischen Faktors aus der Dirac-Gleichung

Einzelnachweise

↑ Walter Greiner: Quantenmechanik. Einführung. Band 4, ISBN 3-8171-1765-5.
↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 19. Juni 2011. Wert für $g_{\text{Elektron}}$
↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 19. Juni 2011. Wert für $g_{\text{Proton}}$
↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 19. Juni 2011. Wert für $g_{\text{Neutron}}$
↑ G. W. Bennett, Hughes u.a. Final Report, Brookhaven, Physical Review D, Bd.73, 2006
↑ Hagiwara, Martin, Nomura, Teubner, Improved prediction for g-2 of the muon, Physics Letters B, Bd.649, 2007, S.173

[1] Walter Greiner: Quantenmechanik. Einführung. Band 4, ISBN 3-8171-1765-5.

[2] CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 19. Juni 2011. Wert für $g_{\text{Elektron}}$

[3] CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 19. Juni 2011. Wert für $g_{\text{Proton}}$

[4] CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 19. Juni 2011. Wert für $g_{\text{Neutron}}$

[5] G. W. Bennett, Hughes u.a. Final Report, Brookhaven, Physical Review D, Bd.73, 2006

[6] Hagiwara, Martin, Nomura, Teubner, Improved prediction for g-2 of the muon, Physics Letters B, Bd.649, 2007, S.173

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
 :<math> E_S = g\,\mu\, \frac{\vec S}{\hbar}\cdot \vec{B}.</math>
+Insgesamt ergibt der Vergleich der beiden Energien:
+:<math> \frac{E_S}{\vec S} = g \cdot \frac{E_L}{\vec L} ( = g \cdot \frac{\mu}{\hbar}\cdot \vec{B}) .</math>
 == Theorie und Experiment ==

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„Landé-Faktor“ – Versionsunterschied

Version vom 4. Mai 2012, 15:14 Uhr

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