„Drehmoment“ – Versionsunterschied

Physikalische Größe
Name	Drehmoment
Formelzeichen

Drehmoment $M$ an einer Welle. Im gezeichneten Fall wirkt die Kraft $F$ senkrecht zum Abstandsvektor $r$ , der sich somit mit dem *Hebelarm* deckt.

Das Drehmoment ist eine physikalische Größe in der klassischen Mechanik. Es beschreibt die mögliche Wirkung einer Kraft in Bezug auf einen gedachten oder tatsächlichen Drehpunkt. Das Drehmoment spielt für Drehbewegungen die gleiche Rolle wie die Kraft für die geradlinige Bewegung. Ein Drehmoment kann einen Körper tordieren oder seine Rotation beschleunigen oder bremsen. Die international verwendete Maßeinheit für das Drehmoment ist das Newtonmeter. Das für das Drehmoment übliche Formelzeichen ist $M$ . Es lehnt sich an die englische Bezeichnung moment of force an.

Wirkt eine Kraft $F$ senkrecht auf einen Hebelarm der Länge $r$ , so ergibt sich der Betrag des Drehmoments aus der Länge des Hebelarms multipliziert mit dem Betrag der Kraft:

M=r\,F\;.

Allgemein ist das Drehmoment das Vektorprodukt aus Abstandsvektor und Kraftvektor:

{\vec {M}}\,=\,{\vec {r}}\times {\vec {F}}\;.

Unterschiedliche Bezeichnungen in der Technik

In der Technik wird dem Drehmoment je nach Anwendung eine unterschiedliche Bezeichnung gegeben:

Abtriebsmoment: Das Drehmoment, das an der Welle einer Kraftmaschine oder an der Ausgangswelle eines Drehmomentwandlers (Getriebe) gemessen wird. Für die angetriebene Arbeitsmaschine oder den Drehmomentwandler ist es das Antriebsmoment.
Anfahrmoment: Das Drehmoment, das eine Kraftmaschine aus dem Stand leisten kann, oder das eine Arbeitsmaschine oder ein Fahrzeug beim Anfahren benötigt.
Antriebsmoment: Das Drehmoment, das an der Eingangswelle einer Arbeitsmaschine oder eines Drehmomentwandlers, an der Radachse eines Fahrzeugs oder an der Achse eines Propellers wirkt. Für die treibende Kraftmaschine oder den treibenden Drehmomentwandler ist es das Abtriebsmoment.
Anziehdrehmoment bzw. Anzugsdrehmoment: Das Drehmoment, das beim Befestigen (Anziehen) einer Schraube aufgebracht wird.
Bemessungsmoment: Das Drehmoment, für das ein Bauteil bei der Konstruktion bemessen wurde.
Biegemoment: Ein Drehmoment oder dessen Anteil, das einen längliches Bauteil auf Biegung beansprucht.
Kippmoment: In der Baustatik das Drehmoment, das ein aufrecht stehendes Objekt umzukippen droht (zum Beispiel einen Turm mit durch Windkraft entstehendem Drehmoment). In der Elektrotechnik das maximale Drehmoment in der Drehmoment/Drehzahl-Kennlinie eines Asynchronmotors.
Kräftepaar: Das Drehmoment durch zwei gleich große Kräfte, die in entgegengesetzter Richtung und zueinander versetzt auf einen Körper einwirken^[1].
Lastmoment: Das Drehmoment, das eine Arbeitsmaschine der antreibenden Kraftmaschine oder dem Drehmomentwandler entgegensetzt. Für die Kraftmaschine oder den Drehmomentwandler ist es das Abtriebsmoment.
Nennmoment: Das Nennmoment ist derjenige, meist gerundete Wert des Drehmoments, der als typisch angesehen wird , wenn die Drehmoment-Wirkung in Kurzform beschrieben werden soll.
Torsionsmoment: Das Drehmoment, oder dessen Anteil, das ein Bauteil auf Verdrehung (Torsion) belastet.

Maßeinheit

Die Maßeinheit des Drehmoments ist das Newtonmeter (N m). Mit den Basiseinheiten Kilogramm, Meter und Sekunde gilt:

1\ \mathrm {N\,m} =1\ {\frac {\mathrm {kg\,m^{2}} }{\mathrm {s^{2}} }}

Die Einheit der mechanischen Arbeit ist ebenfalls das Newtonmeter. Dennoch sind Drehmoment und Arbeit unterschiedliche physikalische Größen, die sich nicht ineinander umrechnen lassen. Arbeit wird geleistet, wenn bei einer Bewegung entlang einer Strecke eine Kraft(komponente) parallel zur Bewegung wirkt. Beim Drehmoment wirkt dagegen die Kraft senkrecht zu der durch den Hebelarm gebildeten Strecke. Die Arbeit ist eine skalare Größe. Das Drehmoment ist dagegen ein Pseudovektor.

Um Verwechslungen mit der Einheit der Arbeit zu vermeiden, kann für das Drehmoment auch die Einheit

{\frac {\mathrm {N\,m} }{\mathrm {rad} }}

verwendet werden.^[2] Dabei ist $\mathrm {rad}$ die Maßeinheit Radiant für ebene Winkel.

Zusammenhang von Drehmoment und Kraft

Bei der Beschreibung des Drehmoments als Vektorprodukt aus Kraft- und Abstandsvektor gilt für die Seite, in die der auf beiden Vektoren senkrechte Ergebnisvektor zeigt, die Drei-Finger-Regel. Dieser Vektor kennzeichnet sowohl den Betrag als auch den Drehsinn des Drehmoments, denn das Vektorprodukt zeichnet weniger eine Richtung als einen Drehsinn aus.^[3] Der Drehsinn ist mit der Korkenzieherregel codiert.

Das Vektorprodukt für eine am Punkt ${\vec {r}}_{1}$ angreifenden Kraft ${\vec {F}}$ lautet für das Drehmoment ${\vec {M}}$ in Bezug auf den Punkt ${\vec {r}}_{0}$ wie folgt:

{\vec {M}}=({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{0})\times {\vec {F}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}

.

${\vec {r}}_{1}$ und ${\vec {r}}_{0}$ sind die Ortsvektoren von Angriffs- beziehungsweise Bezugspunkt.

Der Kraftpfeil lässt sich auf seiner Wirkungslinie so verschieben, dass der Abstandsvektor ${\vec {r}}$ senkrecht zu ihm steht, wie im Bild rechts. Der Abstandsvektor in dieser Lage wird als Hebelarm bezeichnet. Betragsmäßig gilt dann Kraft mal Hebelarm. Der rote Pfeil stellt das Drehmoment als Vektor ${\vec {M}}$ dar. Seine Länge ist ein Maß für den Betrag, seine Richtung ein Zeichen für den Drehsinn, wobei die Korkenzieherregel anzuwenden ist. Die Richtung der in Abwesenheit von Gegenmomenten beschleunigten Drehbewegung des Zylinders wird von einem zusätzlich gezeichneten, zum Kreis gebogenen Pfeil angedeutet. Da die Pfeilspitze nicht eine lineare sondern eine Drehrichtung symbolisiert, wird der Drehmomenten-Vektor gelegentlich auch mit einer doppelten Spitze gezeichnet.^[4] Der Bezugspunkt ${\vec {r}}_{0}$ befindet sich auf der Achse des gezeichneten Zylinders. Er wird mit dem Kreuzprodukt nicht beschrieben.

Das Drehmoment hat auch die Eigenschaften, die mit einem axialen Vektor beschrieben werden können.

Ähnlichkeit von Kraft und Drehmoment

Das Drehmoment nimmt in der klassischen Mechanik für Drehbewegungen eine ähnliche Rolle ein, wie die Kraft für geradlinige Bewegungen.

**Entsprechungen zwischen geradliniger Bewegung und Drehbewegung**
	Geradlinige Bewegung	Drehbewegung
gegen einen Widerstand geleistete Arbeit	Kraft mal Weg $W={\vec {F}}\cdot ({\vec {r}}_{0}-{\vec {r}}_{1})$	Drehmoment mal Drehwinkel (Bogenmaß) $W=\left\|{\vec {M}}\right\|(\alpha _{0}-\alpha _{1})$
Leistung (Physik)	Kraft mal Geschwindigkeit $P={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$	Drehmoment mal Winkelgeschwindigkeit $P={\vec {M}}\cdot {\vec {\omega }}$
2. Newtonsches Gesetz	Kraft gleich Masse mal Beschleunigung ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$	Drehmoment gleich Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung ${\vec {M}}=J{\vec {\alpha }}$
Zeitintegral liefert	Impuls ${\vec {p}}=\int {\vec {F}}\;\mathrm {d} t$	Drehimpuls ${\vec {L}}=\int {\vec {M}}\;\mathrm {d} t$

Messung des Drehmoments

ruhender Körper

Ein auf einen drehbaren, aber ruhenden Körper wirkendes Drehmoment lässt sich durch Anbringen eines statischen Gegenmomentes messen. Direkte Messgröße ist die über einen in der Länge bekannten Hebelarm aufzubringende Gegenkraft, bei der der Körper in Ruhe bleibt. Das zu messende Drehmoment ergibt sich aus dem Produkt der Werte der Gegenkraft und der Hebelarmlänge.

Eine weitere Möglichkeit ist eine Verformung infolge des Drehmoments zu messen und dann über die Elastizität des Werkstoffs auf das Moment zu schließen.

drehender Körper

Das die Drehgeschwindigkeit verändernde Drehmoment lässt sich durch Messen der Winkelbeschleunigung α bestimmen, wenn das Trägheitsmoment J bekannt ist. Die Auswertung erfolgt mit der Formel

M=J\ \alpha

.

Bei Übertragung einer Leistung P zum Beispiel über rotierende Welle interessiert die Abhängigkeit des dabei wirkenden Drehmomentes von der Drehzahl n (Drehmomentkurve). Dafür ist der Beharrungszustand n=konstant herzustellen. Gemessen werden die Leistung und die Drehzahl. Die Auswertung erfolgt mit der Formel

M={\frac {P}{2\pi n}}

.

Das Messen der Leistung erfolgt mit Hilfe einer sogenannten Leistungsbremse: Pendelmaschine, Pronyscher Zaum oder Wasserwirbelbremse.

Drehmomente an ausgewählten Maschinen

Beispiel: Elektromotor

Elektromotoren haben ein relativ hohes Anfahrmoment, das bei Drehstrommotoren durch temporären Betrieb in Dreieckschaltung noch erhöht werden kann. Das Bild zeigt das Abtriebsmoment eines Asynchronmotors in Abhängigkeit von der Drehzahl. Der normale Betriebsbereich ist rechts von den Kipppunkten K1 oder K2 auf der steil abfallenden Kurve. Der Bereich links von den Kipppunkten ist der Anfahrbereich, der wegen des schlechten Wirkungsgrads möglichst schnell durchfahren werden soll.

Beispiel: Drehmoment und Leistung eines Verbrennungsmotors

Der bei Automobilen verwendete Begriff maximales Drehmoment des Verbrennungsmotors bei einer bestimmten Drehzahl bezeichnet das maximale vom Motor an der Kurbelwelle abgegebene Drehmoment. Das an der Kurbelwelle bei Volllast abgegebene Drehmoment ist nicht über den gesamten Drehzahlbereich des Motors konstant, sondern hat in einem bestimmten Bereich des nutzbaren Drehzahlbereiches ein Maximum.

Das Drehmoment M für Viertaktmotoren berechnet sich aus:

M={\frac {V_{h}p_{e}}{4\pi }}

Hierbei ist V_h das Hubvolumen und p_e der effektive Mitteldruck, der Faktor $2\pi$ im Nenner stammt aus der Formel für die Arbeit eines Drehmoments, die entlang des Umfanges $2\pi$ verrichtet wird. Der Wert $2\pi$ wird bei Viertaktmotoren mit 2 multipliziert, da Viertaktmotoren nur bei jeder zweiten Umdrehung Arbeit verrichten. Für Zweitaktmotoren gilt entsprechend:

M={\frac {V_{h}p_{e}}{2\pi }}

Rechenbeispiel für das Drehmoment eines Serienfahrzeuges mit 2000 cm³ (=0,002 m³) Hubvolumen, dessen Viertaktmotor bei einer Drehzahl von 2000/min einen Mitteldruck von 9 Bar (=900.000 Pa; 1 Pa = 1 N/m²) erreicht, in SI-Einheiten gerechnet:

M={\frac {0{,}002\,\mathrm {m} ^{3}\cdot 900.000\,{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {m} ^{2}}}}{4\pi }}=143\,\mathrm {N\,m}

Die Gleichung für die Leistung bei einer Drehbewegung lautet (siehe oben):

P=2\pi \ n\ M\

und für eine drehzahlabhängige Leistung

P(n)=2\pi \ n\ M(n)

M(n) ist die für die untersuchte Maschine typische drehzahlabhängige Drehmomentkenngröße, die durch Messung erhalten wird.

Bei einem Verbrennungsmotor, der bei 2000 Umdrehungen pro Minute ein Drehmoment von 143 N m abgibt, berechnet sich die Leistung wie folgt:

P=2\pi \cdot {\frac {2000}{60\ \mathrm {s} }}\cdot 143\ \mathrm {N\,m} \ \approx 30\cdot 10^{3}\ {\frac {\mathrm {N\,m} }{\mathrm {s} }}=30\ \mathrm {kW}

Häufig wird bei Leistungsberechnungen dieser Art die Zahlenwertgleichung benutzt.

Beispiel: Leistung und Drehmoment eines Hydraulikmotors

Die hydraulische Leistung $P$ eines Hydraulikmotors errechnet sich aus den Drücken $p_{1}$ und $p_{2}$ am Motoreingang bzw. -ausgang und dem geschlucktem Ölvolumen $Q=qn$ ( $q$ ist das Volumen je Umdrehung):

P=(p_{1}-p_{2})\,qn

Aus der Gleichung für die Leistung bei einer Drehbewegung (siehe oben)

P=2\pi Mn\

folgt das Drehmoment mit:

M={\frac {(p_{1}-p_{2})\,q}{2\pi }}

Einzelnachweise

↑ Alfred Recknagel: Physik - Mechanik, Verlag Technik, Berlin, 1955, S.176
↑ Das Internationale Einheitensystem (SI). Deutsche Übersetzung der BIPM-Broschüre „Le Système international d‘unités/The International System of Units (8e edition, 2006)“. In: PTB-Mitteilungen. Band 117, Nr. 2, 2007, S. 21 (Online Version (PDF-Datei, 1,4 MB)).
↑ Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 1, Springer 2011, ISBN 978-3-642-12947-6, Seite 63
↑ Unterscheidung des Momentenvektors vom Kraftvektor durch eine doppelte Pfeilspitze [1]

Literatur

Wolfgang Nolting: Klassische Mechanik. In: Grundkurs Theoretische Physik. Bd. 1, 8. Auflage. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-34832-0.
Herbert Goldstein, Charles P. Poole und John L. Safko: Klassische Mechanik (Übersetzung: Michael Baer). - 3., vollst. überarb. und erw. Aufl - Weinheim : Wiley-VCH, 2006. (Lehrbuch Physik) - ISBN 3-527-40589-5
Richard P. Feynman: Feynman-Vorlesungen über Physik. Oldenbourg, München/Wien 2007, ISBN 978-3-486-58444-8.
Paul A. Tipler: Physik. 3. korrigierter Nachdruck der 1. Auflage. 1994, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin, 2000, ISBN 3-86025-122-8.
Ludwig Bergmann, Clemens Schaefer: Mechanik - Akustik - Wärme. In: Lehrbuch der Experimentalphysik. Bd. 1, 12. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2008, ISBN 978-3-11-019311-4.
Istvan Szabó: Einführung in die Technische Mechanik, Springer, 1999, ISBN 3-540-44248-0
Peter Gummert, Karl-August Reckling: Mechanik, Vieweg, 1994, ISBN 3-528-28904-X

Weblinks

Commons: Drehmoment – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

[reck2-1] Alfred Recknagel: Physik - Mechanik, Verlag Technik, Berlin, 1955, S.176

[2] Das Internationale Einheitensystem (SI). Deutsche Übersetzung der BIPM-Broschüre „Le Système international d‘unités/The International System of Units (8e edition, 2006)“. In: PTB-Mitteilungen. Band 117, Nr. 2, 2007, S. 21 (Online Version (PDF-Datei, 1,4 MB)).

[3] Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 1, Springer 2011, ISBN 978-3-642-12947-6, Seite 63

[4] Unterscheidung des Momentenvektors vom Kraftvektor durch eine doppelte Pfeilspitze [1]

[1]

[2]

[3]

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 [[Datei:Drehmoment.svg|thumb|Drehmoment <math>M</math> an einer Welle. Im gezeichneten Fall wirkt die Kraft <math>F</math> senkrecht zum Abstandsvektor <math>r</math>, der sich somit mit dem ''Hebelarm'' deckt.]]
-Das '''Drehmoment''' ist eine [[physikalische Größe]] in der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]]. Es spielt für [[Rotation (Physik)|Drehbewegungen]] die gleiche Rolle wie die [[Kraft]] für die [[Translation (Physik)|geradlinige Bewegung]]. Ein Drehmoment kann einen Körper [[Torsion (Mechanik)|tordieren]] oder seine [[Winkelbeschleunigung|Rotation beschleunigen]] oder bremsen. Die [[Internationales Einheitensystem|international verwendete Maßeinheit]] für das Drehmoment ist das [[Newtonmeter]]. Das für das Drehmoment übliche [[Formelzeichen]] ist <math>M</math>. Es lehnt sich an die englische Bezeichnung ''moment of force'' an.
+Das '''Drehmoment''' ist eine [[physikalische Größe]] in der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]]. Es beschreibt die mögliche Wirkung einer Kraft in Bezug auf einen gedachten oder tatsächlichen Drehpunkt. Das Drehmoment spielt für [[Rotation (Physik)|Drehbewegungen]] die gleiche Rolle wie die [[Kraft]] für die [[Translation (Physik)|geradlinige Bewegung]]. Ein Drehmoment kann einen Körper [[Torsion (Mechanik)|tordieren]] oder seine [[Winkelbeschleunigung|Rotation beschleunigen]] oder bremsen. Die [[Internationales Einheitensystem|international verwendete Maßeinheit]] für das Drehmoment ist das [[Newtonmeter]]. Das für das Drehmoment übliche [[Formelzeichen]] ist <math>M</math>. Es lehnt sich an die englische Bezeichnung ''moment of force'' an.
 Wirkt eine Kraft <math>F</math> senkrecht auf einen [[Hebelarm]] der Länge <math>r</math>, so ergibt sich der [[Betrag (Vektor)|Betrag]] des Drehmoments aus der Länge des Hebelarms multipliziert mit dem Betrag der Kraft:

Captcha

„Drehmoment“ – Versionsunterschied

Version vom 22. September 2012, 10:11 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Unterschiedliche Bezeichnungen in der Technik

Maßeinheit

Zusammenhang von Drehmoment und Kraft

Ähnlichkeit von Kraft und Drehmoment