Rademacherverteilung

Die Rademacherverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und somit dem mathematischen Teilgebiet der Stochastik zuzuordnen. Bei ihr handelt es sich um eine einfach univariate diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf , die unter anderem zur Definition der symmetrischen einfachen Irrfahrt auf genutzt wird.

Sie ist nach Hans Rademacher (1892–1969) benannt.

Definition

Die Rademacherverteilung ist definiert auf und besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist dann

Eigenschaften

Erwartungswert und andere Lagemaße

Der Erwartungswert einer rademacherverteilten Zufallsvariablen ist

.

Der Median ist

.

Varianz

Die Varianz entspricht der Standardabweichung:

.

Symmetrie

Die Rademacherverteilung ist symmetrisch um die 0.

Schiefe

Die Schiefe ist

.

Exzess und Wölbung

Der Exzess der Rademacherverteilung ist

.

Damit ist die Wölbung

.

Höhere Momente

Die -ten Momente sind

Entropie

Die Entropie ist

gemessen in Bit.

Kumulanten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

.

Damit ist die erste Ableitung

und daher die erste Kumulante. Für die höheren Ableitungen gibt es geschlossene Darstellungen.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist

.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist

.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Zweipunktverteilung

Die Rademacherverteilung ist eine Zweipunktverteilung mit .

Beziehung zur diskreten Gleichverteilung

Die Rademacherverteilung ist eine diskrete Gleichverteilung auf .

Beziehung zur Bernoulliverteilung

Sowohl die Bernoulliverteilung mit als auch die Rademacherverteilung modellieren einen fairen Münzwurf (oder eine faire, zufällige Ja/Nein-Entscheidung). Der Unterschied besteht lediglich darin, dass Kopf (Erfolg) und Zahl (Misserfolg) unterschiedlich kodiert werden.

Beziehung zur Binomialverteilung und der stochastischen Irrfahrt

Sind unabhängige rademacherverteilte Zufallsvariablen, so ist

genau die symmetrische einfache Irrfahrt auf . Demnach ist

also binomialverteilt.

Beziehung zur Laplaceverteilung

Ist rademacherverteilt, und ist exponentialverteilt zum Parameter , so ist laplaceverteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparameter .

Vorkommen

Die Rademacherverteilung wird in der Funktionalanalysis für den Begriff des Typs und Kotyps zur Klassifikation von Banach-Räumen verwendet.