Limesmenge

In der Theorie dynamischer Systeme bezeichnet man als Limesmengen (oder Grenzwertmenge) diejenigen Punkte des Zustandsraums, denen sich Orbits (für positive oder negative Zeit) unendlich oft annähern.

Definition

Sei $(T,X,\Phi )$ ein dynamisches System mit $T=\mathbb {Z}$ (diskret) oder $T=\mathbb {R}$ (kontinuierlich). T ist meist die Zeit und X der Zustandsraum. Sei $x\in X$ ein Punkt des Zustandsraumes.

Die $\omega$ -Limesmenge von $x$ ist

\omega (x,\Phi ):=\left\{y\in X:\exists t_{n}\rightarrow \infty ,\Phi (t_{n},x)\rightarrow y\right\}

.

Die $\alpha$ -Limesmenge von $x$ ist

\alpha (x,\Phi ):=\left\{y\in X:\exists t_{n}\rightarrow -\infty ,\Phi (t_{n},x)\rightarrow y\right\}

.

Alternativ lassen sich Limesmengen auch wie folgt charakterisieren:

\omega (x,\Phi )=\bigcap _{n\in T}{\overline {\left\{\Phi (t,x):t>n\right\}}}

,

\alpha (x,\Phi )=\bigcap _{n\in T}{\overline {\left\{\Phi (t,x):t<n\right\}}}

.

Die Limesmengen sind abgeschlossen und invariant unter $\Phi$ . Falls $X$ kompakt ist, sind die Limesmengen nicht leer.

Typen

Literatur

Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (mat.univie.ac.at).

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