Wachstum (Gruppentheorie)

Im mathematischen Gebiet der Gruppentheorie zählt die Wachstumsrate einer Gruppe grob die Anzahl der Elemente, die sich als Produkte der Länge aus gegebenen Erzeugern darstellen lassen.

Wachstum von Graphen

Es sei ein Graph und ein fest gewählter Knoten.

Für sei die Anzahl der Knoten , für die es einen Weg aus maximal Kanten von nach gibt.

Die Wachstumsrate des Graphen ist per Definition die Wachstumsrate der Folge .

Wachstum von Gruppen

Es sei eine endlich erzeugte Gruppe und ein endliches Erzeugendensystem. Als Wachstumsrate der Gruppe bezeichnet man die Wachstumsrate des Cayleygraphen für .

Genauer bedeutet dies das Folgende: Ist , so lässt sich jedes Gruppenelement als Wort schreiben, wobei , die Indizes Elemente von und die Exponenten beliebige ganze Zahlen sind. Für jedes sei die Anzahl der Elemente von , die eine solche Schreibung mit besitzen. Die Wachstumsrate der Gruppe ist dann gerade die Wachstumsrate der Folge .

Unterschiedliche Erzeugendensysteme geben zwar unterschiedliche Cayleygraphen und damit auch unterschiedliche Folgen , jedoch sind die Cayleygraphen unterschiedlicher endlicher Erzeugendensysteme zueinander bilipschitz-äquivalent, womit die Wachstumsrate der Folge nur von der Gruppe und nicht vom gewählten Erzeugendensystem abhängt.

Beispiele

Literatur

  • J. Milnor: Growth of finitely generated solvable groups. J. Differential Geometry 2 (1968), 447–449.

Einzelnachweise

  1. M. Gromow: Groups of polynomial growth and expanding maps. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 53 (1981), 53–73.
  2. B. Kleiner: A new proof of Gromov's theorem on groups of polynomial growth. J. Amer. Math. Soc. 23 (2010), no. 3, 815–829.
  3. R. I. Grigortschuk: Degrees of growth of finitely generated groups and the theory of invariant means. (Russisch) Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 48 (1984), no. 5, 939–985.
  4. J. Milnor: A note on curvature and fundamental group. J. Differential Geometry 2 (1968), 1–7.